Derivada de Secante, sec(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de la secante es una de las primeras funciones trascendentales introducidas en el cálculo diferencial (o cálculo I). La derivada de la función secante es igual a la secante multiplicada por la tangente, sec(x)tan(x). Podemos demostrar esta derivada utilizando límites e identidades trigonométricas.

En este artículo, discutiremos cómo derivar la función trigonométrica secante. Cubriremos breves fundamentos, su fórmula, una comparación de gráficas de la secante y su derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de secante sec(x)

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de la secante.

Ver demostración

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Derivada de secante sec(x)

Relevante para

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Demostración de la derivada de la función secante

La función trigonométrica secante de un ángulo se define como la relación entre la hipotenusa y el lado adyacente de un ángulo en un triángulo rectángulo. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos

triángulo rectángulo ABC

donde C es 90 °. Para el triángulo mostrado, obtener el secante del ángulo A se puede evaluar como

$latex \sec{(A)} = \frac{c}{b}$

donde A es el ángulo, C es la hipotenusa, y B es su lado adyacente.

Antes de aprender la prueba de la derivada de la función secante, se le recomienda aprender el teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa y Cho-Sha-Cao, y el primer principio de los límites como requisitos previos.

Recordemos que cualquier función puede derivarse usando límites de la siguiente manera

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Supongamos que se nos pide que obtengamos el derivado de

$latex f(x) = \sec{(x)}$

entonces, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sec{(x+h)} – \sec{(x)} }{h}}$$

Analizando nuestra ecuación, podemos observar que tanto el primer como el segundo término en el numerador del límite es una secante de la suma de dos ángulos x y h y una secante del ángulo x. Con esta observación, podemos tratar de aplicar las identidades de relación definitorias para secante y coseno. Aplicando esto, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{1}{\cos{(x+h)}} – \frac{1}{\cos{(x)}} }{h}}$$

Reordenando algebraicamente aplicando algunas reglas de fracción, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{ \cos{(x)} – \cos{(x+h)} }{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \cos{(x)} – \cos{(x+h)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} }$$

Mirando el numerador reorganizado, podemos intentar aplicar las identidades de producto-suma del coseno.

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{x+(x+h)}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-(x+h)}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{x+x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-x-h}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{-h}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

Basado en las identidades trigonométricas de un seno de un ángulo negativo, esto es igual al seno negativo de ese mismo ángulo pero en forma positiva. Aplicando esto al segundo multiplicando del numerador, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot \left( -\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \right) }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

Reordenando algebraicamente y aplicando el límite del producto de dos funciones, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{\cos{(x+h)}\cos{(x)} \cdot h} \right)}$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \cdot \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$

Aplicando algunas reglas de fracciones a la segunda multiplicando, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right)}$$

De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ a $latex \theta$ cuando $latex \theta$ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ sobre $latex \frac{h}{2}$. Aplicando tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {1}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \cos{(x+h)}\cos{(x)} } \right)}$$

Finalmente, hemos hecho posible evaluar el límite de lo que queda en la ecuación. Evaluando sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x+(0)}{2}\right)} }{ \cos{(x+(0))}\cos{(x)} } \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{\sin{\left(\frac{2x}{2}\right)} }{ \cos{(x)}\cos{(x)} } \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{\sin{(x)} }{ \cos{(x)}\cos{(x)} }$$

Aplicando algunas identidades trigonométricas para simplificar la fórmula derivada mediante el uso de identidades de relaciones definidas, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{ \sin{(x)} }{ \cos{(x)} } \cdot \frac{1}{\cos{(x)}} $$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \tan{(x)} \cdot \sec{(x)} $$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \sec{(x)} \tan{(x)}$$

Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘secante’ es:

$$\frac{d}{dx} (\sec{(x)}) = \sec{(x)} \tan{(x)}$$


¿Cómo derivar una función secante?

El proceso para derivar una función secante es muy sencillo suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función secante y cómo llegamos a su fórmula derivada.

Método 1: Derivada de la secante de cualquier ángulo x en términos del mismo ángulo x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sec{(x)} \right) = \sec{(x)}\tan{(x)}$

Paso 1: Analice si la secante de un ángulo es una función de ese mismo ángulo. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \sec(x)$, verifique si es una función del mismo ángulo x o f(x). Después de esto, proceda al paso 2 hasta que complete los pasos de derivación.

Nota: si $latex \sec{(x)}$ es una función de un ángulo o variable diferente, como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Luego aplique directamente la fórmula derivada de la función secante

$latex \frac{dy}{dx} = \sec{(x)}\tan{(x)}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

Método 2: Derivada de la secante de cualquier función u en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sec{(u)} \right) = \sec{(u)}\tan{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función como $latex f(x) = \sec(u)$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \sec{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \sec{(u)}$

y también

$latex g(x) = u$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función secante, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sec{(u)} \right) = \sec{(u)}\tan{(x)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u $. Use la regla derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \sec{(u)}\tan{(x)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 6: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de la secante de x vs. la derivada de la secante de x

Dada la función

$latex f(x) = \sec{(x)}$

la gráfica se ilustra como

Gráfica de secante sec(x)

Y como sabemos ahora, derivando $latex f (x) = \sec(x)$, obtenemos

$latex f'(x) = \sec{(x)}\tan{(x)}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de sec(x)

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de sec(x) y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \sec{(x)}$ tiene un dominio de

$$\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$

mientras que la derivada $latex f ‘(x) = \sec(x) \tan(x) $ tiene un dominio de

$$ \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales


Ejemplos

A continuación se presentan algunos ejemplos de uso del primer o segundo método para derivar una función secante.

EJEMPLO 1

Deriva: $latex f(\beta) = \sec{(\beta)}$

Solución: Analizando la función secante dada, vemos que es solo un secante de un solo ángulo $latex \beta$. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si la secante de $latex \beta$ es función de $latex \beta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aplique directamente la fórmula derivada de la función secante y deriva en términos de $latex \beta$. Como no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = \sec{(\beta)}\tan{(\beta)}$

EJEMPLO 2

Deriva: $latex F(x) = \sec{\left(8x^2-4 \right)}$

Solución: Analizando la función secante dada, es un secante de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función secante como $latex f(x) = \sec(u)$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x. En este problema,

$latex u = 8x^2-4$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \sec{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \sec{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 8x^2-4$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función secante, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sec{(u)} \right) = \sec{(u)}\tan{(u)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g (x) $ o $latex u $. Dado que nuestra $latex u $ en este problema es una función polinómica, utilizaremos la regla de potencia y la suma/diferencia de los derivados para derivar $latex u $.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(8x^2-4 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = 16x$

Paso 5: Aplique la fórmula de regla de cadena básica multiplicando algebricamente la derivada de la función externa $latex f (u) $ por la derivada de la función interna $latex g (x) $

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \sec{(u)}\tan{(u)} \cdot 16x$

Paso 6: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

$$\frac{dy}{dx} = \sec{(u)}\tan{(u)} \cdot 16x$$

$$\frac{dy}{dx} = \sec{(8x^2-4)}\tan{(8x^2-4)} \cdot 16x$$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de funciones siempre que corresponda para finalizar la respuesta.

$$\frac{dy}{dx} = \sec{(8x^2-4)}\tan{(8x^2-4)} \cdot 16x$$

$$\frac{dy}{dx} = 16x \sec{(8x^2-4)}\tan{(8x^2-4)}$$

Y la respuesta final es:

$$F'(x) = 16x \sec{(8x^2-4)}\tan{(8x^2-4)}$$

o también

$$F'(x) = 16x \sec{(4(2x^2-1))}\tan{(4(2x^2-1))}$$


Véase también

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