La derivada de la función cotangente es igual a menos cosecante al cuadrado, -csc2(x). Para demostrar esta derivada, podemos usar límites e identidades trigonométricas.
En este artículo, aprenderemos a derivar la función trigonométrica cotangente. Veremos cómo demostrar esta derivada, una comparación gráfica de cotangente y algunos ejemplos.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de la cotangente.
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Demostración de la Derivada de la Función Cotangente
La función trigonométrica cotangente de un ángulo se define como la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto de un ángulo en un triángulo rectángulo. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos
donde C es 90°. Para el triángulo rectángulo de muestra, obtener la cotangente del ángulo A se puede evaluar como
$latex \cot{(A)} = \frac{b}{a}$
donde A es el ángulo, b es su lado adyacente y a es su lado opuesto.
Antes de aprender la demostración de la derivada de la función cotangente, se recomienda aprender el teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa & Cho-Sha-Cao, y el primer principio de los límites como requisitos previos.
Para repasar, cualquier función se puede derivar igualándola al límite de
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
Supongamos que nos piden obtener la derivada de
$latex f(x) = \cot{(x)}$
entonces, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cot{(x+h)} – \cot{(x)} }{h}}$$
Analizando nuestra ecuación, podemos observar que tanto el primer como el segundo término en el numerador del límite son cotangentes de una suma de dos ángulos x y h y una cotangente del ángulo x. Con esta observación, podemos intentar aplicar las identidades de relación definitorias para cotangente, coseno y seno. Aplicando esto, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\cos{(x+h)}}{\sin{(x+h)}} – \frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} }{h}}$$
Reordenando algebraicamente aplicando algunas reglas de fracciones, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\cos{(x+h)}\sin{(x)} – \sin{(x+h)}\cos{(x)}}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)}\cos{(x+h)} – \cos{(x)}\sin{(x+h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$
Mirando el numerador reorganizado, podemos intentar aplicar las identidades de suma y diferencia para el seno y el coseno, también llamadas identidades de Ptolomeo.
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x-(x+h))} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x-x-h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(-h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$
Basado en las identidades trigonométricas de un seno de un ángulo negativo, es igual al seno negativo de ese mismo ángulo pero en forma positiva. Aplicando esto a nuestro numerador, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ -\sin{(h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$
Reordenando aplicando el límite del producto de dos funciones, tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \cdot \frac{-1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \cdot \left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}}\right) \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ a $latex \theta$ cuando $latex \theta$ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \sin{(h)}$ sobre $latex h$. Aplicando tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {1} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
Finalmente, hemos evaluado el límite de lo que queda en la ecuación. Sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+(0))}\sin{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x)}\sin{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{1}{\sin{(x)}\sin{(x)}}$$
Sabemos que por las identidades del recíproco, la función trigonométrica recíproca del seno es cosecante. Aplicando, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = – \left( \frac{1}{\sin{(x)}} \cdot \frac{1}{\sin{(x)}} \right)$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = – (\csc{(x)} \cdot \csc{(x)})$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -(\csc^{2}{(x)})$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = -\csc^{2}{(x)}$$
Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘cotangente’ es:
$$\frac{d}{dx} (\cot{(x)}) = -\csc^{2}{(x)}$$
Gráfica de cotangente de x vs. la derivada de la cotangente de x
Dada la función
$latex f(x) = \cot{(x)}$
su gráfica es
Al derivar a la función $latex f(x) = \cot{(x)}$, obtenemos
$latex f'(x) = -\csc^{2}{(x)}$
y su gráfica es
Comparando sus gráficas, tenemos
Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \cot{(x)}$ tiene un dominio de
$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$
dentro de los intervalos finitos de
$latex (-2\pi,2\pi)$
y existe dentro del rango de
$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales
mientras que la derivada $latex f'(x) = -\csc^{2}{(x)}$ tiene un dominio de
$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$
dentro de los intervalos finitos de
$latex (-2\pi,2\pi)$
y existe dentro del rango de
$latex (-\infty,-1]$ or $latex y \leq -1$
Ejemplos
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo derivar una función cotangente compuesta.
EJEMPLO 1
¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \cot(9x)$?
Solución
Para derivar esta función, consideramos que tenemos a una función compuesta, ya que la cotangente es aplicada a $latex 9x$.
Considerando a $latex u=9x$ como la función interna, tenemos $latex f(u)=\cot(u)$ y usando la regla de la cadena, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\csc^2(u) \times 9$$
Por último, sustituimos $latex u=9x$ de vuelta en la función y tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=-9\csc^2(9x)$$
EJEMPLO 2
Deriva la función $latex F(x) = \cot(7x^2-7)$
Solución
Esta función puede ser derivada usando la regla de la cadena porque es una función cotangente compuesta.
Entonces, vamos a empezar escribiendo a la función cotangente como $latex f (u) = \cot(u)$, donde $latex u = 7x^2-7$.
Ahora, vamos a encontrar la derivada de la función exterior $latex f(u)=\cot(u)$:
$$\frac{d}{du} ( \cot(u) ) = -\csc^2(u)$$
Luego, encontramos la derivada de la función interna $latex u=g(x)=7x^2-7$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(7x^2-7)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 14x$$
Para usar la regla de la cadena, multiplicamos a la derivada de la función externa por la derivada de la función interna:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = -\csc^2(u) \cdot 14x$$
Por último, substituimos $latex u=7x^2-7$ de vuelta:
$$\frac{dy}{dx} = -\csc^2(7x^2-7) \cdot 14x$$
$$\frac{dy}{dx} = -14x\csc^2(7x^2-7)$$
EJEMPLO 3
Encuentra la derivada de $latex f(x) = \cot(\sqrt{x})$
Solución
Para derivar esta función, usamos la regla de la cadena y consideramos a $latex u=\sqrt{x}$ como la función interna.
Entonces, podemos encontrar la derivada $latex \frac{du}{dx}$ al escribir a $latex u=\sqrt{x}$ como $latex u=x^{\frac{1}{2}}$:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Ahora, consideramos que $latex f(u)=\cot(u)$ y usamos la regla de la cadena:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\csc^2(u) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Sustituyendo $latex u=\sqrt{x}$ de vuelta y simplificando, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=-\csc^2(\sqrt{x}) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\csc^2(\sqrt{x})$$
Práctica de derivadas de funciones cotangente compuestas
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas? Mira estas páginas:
- Derivada de Seno, sin(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Coseno, cos(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Tangente, tan(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Secante, sec(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Cosecante, csc(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
