Derivada de Cotangente, cot(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de la cotangente es una de las primeras funciones trascendentales introducidas en el cálculo diferencial (o cálculo I). La derivada de la función cotangente es igual a menos cosecante al cuadrado, -csc2(x). Esta derivada se puede demostrar usando límites e identidades trigonométricas.

En este artículo, discutiremos cómo derivar la función trigonométrica cotangente. Cubriremos breves fundamentos, su fórmula, una comparación gráfica de cotangente y su derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de cotangente cot(x)

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de la cotangente.

Ver demostración

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Derivada de cotangente cot(x)

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de la cotangente.

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Demostración de la Derivada de la Función Cotangente

La función trigonométrica cotangente de un ángulo se define como la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto de un ángulo en un triángulo rectángulo. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos

triángulo rectángulo ABC

donde C es 90°. Para el triángulo rectángulo de muestra, obtener la cotangente del ángulo A se puede evaluar como

$latex \cot{(A)} = \frac{b}{a}$

donde A es el ángulo, b es su lado adyacente y a es su lado opuesto.

Antes de aprender la demostración de la derivada de la función cotangente, se recomienda aprender el teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa & Cho-Sha-Cao, y el primer principio de los límites como requisitos previos.

Para repasar, cualquier función se puede derivar igualándola al límite de

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex f(x) = \cot{(x)}$

entonces, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cot{(x+h)} – \cot{(x)} }{h}}$$

Analizando nuestra ecuación, podemos observar que tanto el primer como el segundo término en el numerador del límite son cotangentes de una suma de dos ángulos x y h y una cotangente del ángulo x. Con esta observación, podemos intentar aplicar las identidades de relación definitorias para cotangente, coseno y seno. Aplicando esto, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\cos{(x+h)}}{\sin{(x+h)}} – \frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} }{h}}$$

Reordenando algebraicamente aplicando algunas reglas de fracciones, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\cos{(x+h)}\sin{(x)} – \sin{(x+h)}\cos{(x)}}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)}\cos{(x+h)} – \cos{(x)}\sin{(x+h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

Mirando el numerador reorganizado, podemos intentar aplicar las identidades de suma y diferencia para el seno y el coseno, también llamadas identidades de Ptolomeo.

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x-(x+h))} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x-x-h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(-h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

Basado en las identidades trigonométricas de un seno de un ángulo negativo, es igual al seno negativo de ese mismo ángulo pero en forma positiva. Aplicando esto a nuestro numerador, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ -\sin{(h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

Reordenando aplicando el límite del producto de dos funciones, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \cdot \frac{-1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \cdot \left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}}\right) \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ a $latex \theta$ cuando $latex \theta$ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \sin{(h)}$ sobre $latex h$. Aplicando tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {1} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

Finalmente, hemos evaluado el límite de lo que queda en la ecuación. Sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+(0))}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{1}{\sin{(x)}\sin{(x)}}$$

Sabemos que por las identidades del recíproco, la función trigonométrica recíproca del seno es cosecante. Aplicando, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = – \left( \frac{1}{\sin{(x)}} \cdot \frac{1}{\sin{(x)}} \right)$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = – (\csc{(x)} \cdot \csc{(x)})$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -(\csc^{2}{(x)})$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = -\csc^{2}{(x)}$$

Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘cotangente’ es:

$$\frac{d}{dx} (\cot{(x)}) = -\csc^{2}{(x)}$$


¿Cómo derivar una función cotangente?

El proceso de derivación de una función cotangente es muy sencillo, suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función cotangente y cómo llegamos a su fórmula derivada.

MÉTODO 1: Derivada de la Cotangente de cualquier ángulo x en términos del mismo ángulo x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cot{(x)} \right) = -\csc^{2}{(x)}$

Paso 1: Analiza si la cotangente de un ángulo es función de ese mismo ángulo. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \cot{(x)}$, comprueba si es una función del mismo ángulo x o f(x).

Nota: si $latex \cot{(x)}$ es una función de un ángulo o variable diferente, como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Luego aplique directamente la fórmula derivada de la función cotangente

$latex \frac{dy}{dx} = -\csc^{2}{(x)}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada de la cotangente de cualquier función u en función de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cot{(u)} \right) = -\csc^{2}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función como $latex F(x) = \cot{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \cot{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \cot{(u)}$

y también

$latex g(x) = u$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función cotangente, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cot{(u)} \right) = -\csc^{2}{(u)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -\csc^{2}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 6: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de cotangente de x vs. la derivada de la cotangente de x

Dada la función

$latex f(x) = \cot{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de cotangente cot(x)

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \cot{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = -\csc^{2}{(x)}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de cot(x)

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de cot(x) y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \cot{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

mientras que la derivada $latex f'(x) = -\csc^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,-1]$ or $latex y \leq -1$


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer o segundo método para derivar una función cotangente.

EJEMPLO 1

Deriva: $latex f(\beta) = \cot{(\beta)}$

Solución: Podemos ver que esto es solo una cotangente de un solo ángulo $latex \beta$. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si la cotangente de $latex \beta$ es función de $latex \beta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Al aplicar directamente la fórmula derivada de la función cotangente y derivar en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = -\csc^{2}{(\beta)}$

EJEMPLO 2

Deriva: $latex F(x) = \cot{\left(3-6x^2 \right)}$

Solución: Analizando la función cotangente dada, es una cotangente de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función cotangente como $latex F(x) = \cot{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x. en este problema,

$latex u = 3-6x^2$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \cot{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \cot{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 3-6x^2$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función cotangente, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cot{(u)} \right) = -\csc^{2}{(u)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$. Dado que nuestra $latex u$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex u$.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(3-6x^2 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = -12x$

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = (-\csc^{2}{(u)}) \cdot (-12x)$

Paso 6: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

$latex \frac{dy}{dx} = (-\csc^{2}{(u)}) \cdot (-12x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (-\csc^{2}{(3-6x^2)}) \cdot (-12x)$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.

$latex \frac{dy}{dx} = (-\csc^{2}{(3-6x^2)}) \cdot (-12x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \csc^{2}{(3-6x^2)} \cdot 12x$

$latex \frac{dy}{dx} = 12x\csc^{2}{(3-6x^2)}$

Y la respuesta final es:

$latex F'(x) = 12x\csc^{2}{(3-6x^2)}$

o también

$latex F'(x) = 12x\csc^{2}{(3(1-2x^2))}$


Véase también

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