Derivada de Cotangente, cot(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de la función cotangente es igual a menos cosecante al cuadrado, -csc2(x). Para demostrar esta derivada, podemos usar límites e identidades trigonométricas.

En este artículo, aprenderemos a derivar la función trigonométrica cotangente. Veremos cómo demostrar esta derivada, una comparación gráfica de cotangente y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de cotangente cot(x)

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de la cotangente.

Ver demostración

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Derivada de cotangente cot(x)

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de la cotangente.

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Demostración de la Derivada de la Función Cotangente

La función trigonométrica cotangente de un ángulo se define como la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto de un ángulo en un triángulo rectángulo. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos

triángulo rectángulo ABC

donde C es 90°. Para el triángulo rectángulo de muestra, obtener la cotangente del ángulo A se puede evaluar como

$latex \cot{(A)} = \frac{b}{a}$

donde A es el ángulo, b es su lado adyacente y a es su lado opuesto.

Antes de aprender la demostración de la derivada de la función cotangente, se recomienda aprender el teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa & Cho-Sha-Cao, y el primer principio de los límites como requisitos previos.

Para repasar, cualquier función se puede derivar igualándola al límite de

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex f(x) = \cot{(x)}$

entonces, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cot{(x+h)} – \cot{(x)} }{h}}$$

Analizando nuestra ecuación, podemos observar que tanto el primer como el segundo término en el numerador del límite son cotangentes de una suma de dos ángulos x y h y una cotangente del ángulo x. Con esta observación, podemos intentar aplicar las identidades de relación definitorias para cotangente, coseno y seno. Aplicando esto, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\cos{(x+h)}}{\sin{(x+h)}} – \frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} }{h}}$$

Reordenando algebraicamente aplicando algunas reglas de fracciones, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\cos{(x+h)}\sin{(x)} – \sin{(x+h)}\cos{(x)}}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)}\cos{(x+h)} – \cos{(x)}\sin{(x+h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

Mirando el numerador reorganizado, podemos intentar aplicar las identidades de suma y diferencia para el seno y el coseno, también llamadas identidades de Ptolomeo.

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x-(x+h))} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x-x-h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(-h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

Basado en las identidades trigonométricas de un seno de un ángulo negativo, es igual al seno negativo de ese mismo ángulo pero en forma positiva. Aplicando esto a nuestro numerador, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ -\sin{(h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}}}$$

Reordenando aplicando el límite del producto de dos funciones, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \cdot \frac{-1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \cdot \left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}}\right) \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ a $latex \theta$ cuando $latex \theta$ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \sin{(h)}$ sobre $latex h$. Aplicando tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {1} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

Finalmente, hemos evaluado el límite de lo que queda en la ecuación. Sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x+(0))}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(-\frac{1}{\sin{(x)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{1}{\sin{(x)}\sin{(x)}}$$

Sabemos que por las identidades del recíproco, la función trigonométrica recíproca del seno es cosecante. Aplicando, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = – \left( \frac{1}{\sin{(x)}} \cdot \frac{1}{\sin{(x)}} \right)$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = – (\csc{(x)} \cdot \csc{(x)})$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -(\csc^{2}{(x)})$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = -\csc^{2}{(x)}$$

Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘cotangente’ es:

$$\frac{d}{dx} (\cot{(x)}) = -\csc^{2}{(x)}$$


Gráfica de cotangente de x vs. la derivada de la cotangente de x

Dada la función

$latex f(x) = \cot{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de cotangente cot(x)

Al derivar a la función $latex f(x) = \cot{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = -\csc^{2}{(x)}$

y su gráfica es

Gráfica de la derivada de cot(x)

Comparando sus gráficas, tenemos

Gráfica de cot(x) y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \cot{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

mientras que la derivada $latex f'(x) = -\csc^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,-1]$ or $latex y \leq -1$


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo derivar una función cotangente compuesta.

EJEMPLO 1

¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \cot(9x)$?

Solución

EJEMPLO 2

Deriva la función $latex F(x) = \cot(7x^2-7)$

Solución

EJEMPLO 3

Encuentra la derivada de $latex f(x) = \cot(\sqrt{x})$

Solución

Práctica de derivadas de funciones cotangente compuestas

Práctica de derivadas de cotangente
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Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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