Derivada de Tangente, tan(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de la tangente es una de las primeras funciones trascendentales introducidas en el cálculo diferencial (o cálculo I). La derivada de la función tangente es igual a secante al cuadrado, sec2(x). Podemos probar esta derivada utilizando límites e identidades trigonométricas.

En este artículo, discutiremos cómo derivar la función trigonométrica tangente. Cubriremos breves fundamentos, su fórmula, una comparación gráfica de tangente y su derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de tangente tan(x)

Relevante para

Aprender sobre la demostración y las gráficas de la derivada de la tangente.

Ver demostración

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Derivada de tangente tan(x)

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Demostración de la Derivada de la Función Tangente usando límites

La función trigonométrica tangente de un ángulo se define como la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente de un ángulo en un triángulo rectángulo. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos

triángulo rectángulo ABC

donde C es 90°. Por lo tanto, obtener la tangente del ángulo A se puede evaluar como

$latex \tan{(A)} = \frac{a}{b}$

Antes de aprender la demostración de la derivada de la función tangente, se recomienda aprender el teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa & Cho-Sha-Cao y el primer principio de los límites como requisitos previos.

Recordemos que cualquier función puede derivarse equiparándola hasta el límite de

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex f(x) = \tan{(x)}$

entonces, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \tan{(x+h)} – \tan{(x)} }{h}}$$

Con esta ecuación, todavía no es posible expresar el límite debido al denominador h donde si se sustituye por cero, quedará indefinido. Por lo tanto, podemos comprobar si puede ser útil aplicar algunas identidades trigonométricas.

Analizando nuestra ecuación, podemos observar que tanto el primer como el segundo término en el numerador del límite es una tangente de la suma de dos ángulos x y h y una tangente del ángulo x. Con esta observación, podemos intentar aplicar las identidades de relación definitorias para tangente, seno y coseno. Aplicando esto, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\sin{(x+h)}}{\cos{(x+h)}} – \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}} }{h}}$$

Reordenando algebraicamente aplicando algunas reglas de fracción, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\sin{(x+h)}\cos{(x)} – \cos{(x+h)}\sin{(x)}}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h)}\cos{(x)} – \cos{(x+h)}\sin{(x)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}}}$$

Mirando el numerador reorganizado, podemos intentar aplicar las identidades de suma y diferencia para el seno y el coseno, también llamadas identidades de Ptolomeo.

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h-x)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(h)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}}}$$

Reordenando aplicando el límite del producto de dos funciones, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \cdot \frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ a $latex \theta$ cuando $latex \theta$ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \sin{(h)}$ sobre $latex h$. Aplicando tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {1} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

Finalmente, hemos hecho posible evaluar el límite de lo que queda en la ecuación. Evaluando sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+(0))}\cos{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x)}\cos{(x)}} \right)}$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{\cos{(x)}\cos{(x)}}$$

Sabemos que mediante las identidades, el recíproco del coseno de la función trigonométrica es secante. Aplicando, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{\cos{(x)}} \cdot \frac{1}{\cos{(x)}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \sec{(x)} \cdot \sec{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \sec^{2}{(x)}$$

Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘tangente’ es:

$$\frac{d}{dx} (\tan{(x)}) = \sec^{2}{(x)}$$


¿Cómo derivar una función tangente?

El proceso de derivación de una función tangente es muy sencillo, suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función tangente y cómo llegamos a su fórmula derivada.

MÉTODO 1: Derivada de la Tangente de cualquier ángulo x en términos del mismo ángulo x.

$latex \frac{d}{dx} \left( \tan{(x)} \right) = \sec^{2}{(x)}$

Paso 1: Analiza si la tangente de un ángulo es función de ese mismo ángulo. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \tan{(x)}$, verifica si es una función del mismo ángulo x o f(x).

Nota: si $latex \tan{(x)}$ es una función de un ángulo o variable diferente, como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Luego aplique directamente la fórmula derivada de la función tangente

$latex \frac{dy}{dx} = \sec^{2}{(x)}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada de la Tangente de cualquier función u en términos de x.

$latex \frac{d}{dx} \left( \tan{(u)} \right) = \sec^{2}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función como $latex F(x) = \tan{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \tan{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \tan{(u)}$

y también

$latex g(x) = u$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función tangente, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \tan{(u)} \right) = \sec^{2}{(u)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \sec^{2}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 6: Sustituye $látex u$ en $látex f'(u)$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de Tangente de x vs. la derivada de la tangente de x

Dada la función

$latex f(x) = \tan{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de tangente tan(x)

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \tan{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = \sec^{2}{(x)}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de tan(x)

Ilustrando ambos gráficos en uno, tenemos

Gráfica de tan(x) y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \tan{(x)}$ tiene un dominio de

$$\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

mientras que la derivada $latex f ‘(x) = \sec^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex [1,\infty)$ or $latex y \geq 1$


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer o segundo método para derivar una función tangente.

EJEMPLO 1

Deriva: $latex f(\beta) = \tan{(\beta)}$

Solución: Analizando la función tangente dada, vemos que es solo una tangente de un solo ángulo $latex \beta $. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si la tangente de $latex \beta$ es función de $latex \beta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aplique directamente la fórmula derivada de la función tangente y deriva en términos de $latax \beta $. Como no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = \sec^{2}{(\beta)}$

EJEMPLO 2

Deriva: $latex F(x) = \tan{\left(3x^2+6 \right)}$

Solución: Analizando la función tangente dada, vemos que es una tangente de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función tangente como $latex f (x) = \tan(u)$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x. En este problema,

$latex u = 3x^2+6$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \tan{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \tan{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 3x^2+6$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función tangente, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \tan{(u)} \right) = \sec^{2}{(u)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$. Dado que nuestra $latex u$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex u$.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(3x^2+6 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = 6x$

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \sec^{2}{(u)} \cdot 6x$

Paso 6: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \sec^{2}{(u)} \cdot 6x$

$latex \frac{dy}{dx} = \sec^{2}{(3x^2+6)} \cdot 6x$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.

$latex \frac{dy}{dx} = \sec^{2}{(3x^2+6)} \cdot 6x$

$latex \frac{dy}{dx} = 6x\sec^{2}{(3x^2+6)}$

Y la respuesta final es:

$latex F'(x) = 6x\sec^{2}{(3x^2+6)}$

o también

$latex F'(x) = 6x\sec^{2}{(3(x^2+2))}$


Véase también

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