Derivada de seno al cuadrado, sin^2(x) – Demostración y Gráficas

La función de seno al cuadrado es la función seno x cuando se eleva a la potencia de dos. La derivada de la función seno al cuadrado es igual al seno de 2x, sin(2x). Podemos encontrar esta derivada usando la regla de la cadena y las derivadas de las funciones trigonométricas fundamentales.

En este artículo, veremos cómo calcular la derivada de la función compuesta seno al cuadrado. Repasaremos los principios, la fórmula, la comparación gráfica de seno x cuadrado no derivado y derivado, prueba, técnicas para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de seno al cuadrado

Relevante para

Aprender a derivar la función seno al cuadrado.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de seno al cuadrado

Relevante para

Aprender a derivar la función seno al cuadrado.

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Demostración de la función derivada de seno cuadrado usando la regla de la cadena

Si lo necesitas, recomendamos revisar la fórmula de la regla de la cadena, como requisito previo de este tema, visitando este enlace: Regla de la Cadena. Asimismo, puede visitar este otro enlace para la demostración de la función derivada del seno: Derivada de Seno, sin(x).

Ten en cuenta que

$latex \sin^{2}{(x)} \neq \sin{(x^2)}$

Dejando a un lado la confusión, la primera es una «función trigonométrica completa» elevada a la potencia de dos, mientras que la segunda es una función trigonométrica de «una variable elevada a la potencia de dos».

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa para encontrar la fórmula derivada de la función seno al cuadrado, siempre que ya haya dominado la fórmula de la regla de la cadena y la función derivada del seno.

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex F(x) = \sin^{2}{(x)}$

Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función de potencia y una función trigonométrica en este escenario. Basándonos en nuestra F(x) dada, son una función elevada a una potencia de dos y una función trigonométrica de seno.

Para una representación más fácil, podemos reescribir esto como

$latex \frac{dy}{dx} = \sin^{2}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = (\sin{(x)})^2$

Es evidente ahora que la función potencia dada es la función exterior, mientras que la función seno al cuadrado por la función potencia dada es la función interior. Podemos establecer la función externa como

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \sin{(x)}$

Estableciendo la función seno trigonométrica como la función interna de f(u) denotándola como g(x), tenemos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex g(x) = \sin{(x)}$

$latex u = g(x)$

Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica seno en términos de x, tenemos

$latex g(x) = \sin{(x)}$

$latex g'(x) = \cos{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\cos{(x)})$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\sin{(x)})) \cdot (\cos{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sin{(x)}\cos{(x)}$

Aplicando las identidades de doble ángulo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \sin{(2x)}$

Esto nos lleva a la fórmula derivada del seno al cuadrado x.

$latex \frac{d}{dx} \sin^{2}{(x)} = \sin{(2x)}$


¿Cómo derivar una función de seno cuadrado?

Como se señaló anteriormente, el seno al cuadrado es una función compuesta de potencia y la función trigonométrica seno. En lugar de usar constantemente el método de la regla de la cadena, podemos simplemente utilizar la fórmula derivada establecida para una función de seno cuadrado.

MÉTODO 1: Cuando el cuadrado de un seno de cualquier ángulo x se va a derivar en términos del mismo ángulo x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sin^{2}{(x)} \right) = \sin{(2x)}$

Paso 1: Analiza si el seno al cuadrado de un ángulo es función de ese mismo ángulo. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \sin^{2}{(x)}$, comprueba si es una función del mismo ángulo x o f(x).

Nota: si $latex \sin^{2}{(x)}$ es una función de un ángulo o variable diferente como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Luego aplique directamente la fórmula derivada comprobada de la función seno cuadrado

$latex \frac{dy}{dx} = \sin{(2x)}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Cuando lo dado es un seno al cuadrado de cualquier función v y debe derivarse en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sin^{2}{(v)} \right) = \sin{(2v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \sin^{2}{(v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \sin^{2}{(v)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $ látex G(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex g(v) = \sin{(v)}$

y también

$latex h(x) = v$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada de la función seno cuadrado, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sin^{2}{(v)} \right) = \sin{(2v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x) = v$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex v$.

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \sin{(2v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de seno cuadrado de x vs. la derivada del seno al cuadrado de x

Dada la función

$latex f(x) = \sin^{2}{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de seno al cuadrado sin^2x

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \sin^{2}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = \sin{(2x)}$

que si se representa gráficamente, muestra

Gráfica de la derivada de sin^2x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de seno al cuadrado y su derivada

Mirando las diferencias entre estas funciones basadas en esos gráficos, puedes ver que la función original $latex f(x) = sin^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [0,1]$

mientras que la derivada $latex f'(x) = \sin{(2x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-1,1]$


Ejemplos

Estos son algunos ejemplos de cómo derivar una función de seno cuadrado aplicando el primer o el segundo método.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\beta) = \sin^{2}{(\beta)}$

Solución: Analizando la función seno al cuadrado dada, vemos que es un cuadrado de un seno de un solo ángulo $latex \beta$. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si el cuadrado del seno de $latex \beta$ es una función de $latex \beta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función seno cuadrado y derivar en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = \sin{(2\beta)}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex G(x) = \sin^{2}{(3x-2)}$

Solución: Analizando la función seno al cuadrado dada, es un cuadrado de un seno de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función seno cuadrado como $latex G(x) = \sin^{2}{(v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x. En este problema,

$latex v = 3x-2$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \sin{(v)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Para este problema tenemos

$latex g(v) = \sin{(v)}$

y también

$latex h(x) = v = 3x-2$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada de la función seno cuadrado, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sin^{2}{(v)} \right) = \sin{(2v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x)$ o $latex v$. Dado que nuestro $latex v$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex v$.

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{d}{dx} \left(3x-2 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = 3$

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \sin{(2v)} \cdot 3$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$

$latex \frac{dy}{dx} = \sin{(2v)} \cdot 3$

$latex \frac{dy}{dx} = \sin{(2(3x-2))} \cdot 3$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.

$latex \frac{dy}{dx} = 3\sin{(2(3x-2))}$

Y la respuesta final es:

$latex G'(x) = 3\sin{(2(3x-2))}$

o también

$latex G'(x) = 3\sin{(6x-4)}$


Véase también

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