Derivada de tangente al cuadrado, tan^2(x) – Demostración y Gráficas

La función tangente al cuadrado es la función tangente x cuando se eleva a la potencia de dos. La derivada de la tangente al cuadrado es igual a dos veces la tangente por la secante al cuadrado, 2tan(x)sec2(x). Esta derivada se puede calcular utilizando la regla de la cadena y las derivadas de las funciones trigonométricas fundamentales.

En este artículo, veremos cómo calcular la función compuesta tangente al cuadrado. Repasaremos los principios, la definición, la fórmula, la comparación gráfica de la tangente x al cuadrado no derivada y derivada, la prueba, las técnicas para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de tangente al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la tangente al cuadrado.

Ver demostración

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Derivada de tangente al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la tangente al cuadrado.

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Demostración de la derivada de la función tangente al cuadrado usando la regla de la cadena

Puedes revisar la fórmula de la regla de la cadena visitando este enlace: Regla de la Cadena. Asimismo, puedes visitar este otro enlace para la demostración de la derivada de la función tangente: Derivada de Tangente, tan(x).

Ten en cuenta que

$latex \tan^{2}{(x)} \neq \tan{(x^2)}$

Dejando a un lado la confusión, la primera es una «función trigonométrica completa» elevada a la potencia de dos, mientras que la segunda es una función trigonométrica de «una variable elevada a la potencia de dos».

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa para hacer la fórmula derivada de la función tangente al cuadrado, siempre que ya haya dominado la fórmula de la regla de la cadena y la función derivada de la tangente.

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex F(x) = \tan^{2}{(x)}$

Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función de potencia y una función trigonométrica en este escenario. Basándonos en nuestra F(x) dada, son una función elevada a una potencia de dos y una función trigonométrica tangente.

Para una representación más fácil, podemos reescribir nuestra dada como

$latex \frac{dy}{dx} = \tan^{2}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = (\tan{(x)})^2$

Es evidente ahora que la función de potencia dada es la función exterior, mientras que la función tangente al cuadrado por la función de potencia dada es la función interior. Podemos establecer la función externa como

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \tan{(x)}$

Estableciendo la función tangente trigonométrica como la función interna de f(u) denotándola como g(x), tenemos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \tan{(x)}$

Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica tangente en términos de x, tenemos

$latex g(x) = \tan{(x)}$

$latex g'(x) = \sec^{2}{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\sec^{2}{(x)})$

Sustituyendo u en f'(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\tan{(x)})) \cdot (\sec^{2}{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\tan{(x)} \cdot \sec^{2}{(x)}$

Esto nos lleva a la fórmula de la derivada de la tangente al cuadrado x.

$latex \frac{d}{dx} \tan^{2}{(x)} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$


Relación entre la derivada de la tangente al cuadrado y la secante al cuadrado, ¿por qué son iguales?

Quizás te preguntes por qué la derivada de ambas funciones

$latex \tan^{2}{(x)}$

y

$latex \sec^{2}{(x)}$

son las mismas.

De acuerdo con la fórmula de Pitágoras para tangentes y secantes,

$latex \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)}$

Si tratamos de derivar ambos lados de la ecuación, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

Evaluando la derivada del primer término del lado derecho de la ecuación, que es la derivada de una constante 1, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

Por eso tanto la tangente al cuadrado como la secante al cuadrado tienen la misma derivada.


¿Cómo derivar una función tangente al cuadrado?

Como se señaló anteriormente, la tangente al cuadrado es una función compuesta de potencia y de la función trigonométrica tangente. En lugar de usar constantemente el método de la regla de la cadena, podemos simplemente utilizar la fórmula de la derivada establecida para una función tangente al cuadrado.

MÉTODO 1: Cuando el cuadrado de una tangente de cualquier ángulo x se va a derivar en términos del mismo ángulo x

$latex \frac{d}{dx} \left( \tan^{2}{(x)} \right) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

Paso 1: Analice si la tangente cuadrada de un ángulo es una función de ese mismo ángulo. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \tan^{2}{(x)}$, comprueba si es una función del mismo ángulo x o f(x).

Nota: si $latex \tan^{2}{(x)}$ es una función de un ángulo diferente o variable como f(t) o f(y), utilizará diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Luego aplique directamente la fórmula derivada comprobada de la función tangente al cuadrado

$latex \frac{dy}{dx} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

Método 2: cuando el dado es una tangente cuadrada de cualquier función v en su lugar y se deriva en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \tan^{2}{(v)} \right) = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \tan^{2}{(v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \tan^{2}{(v)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex g(v) = \tan{(v)}$

y también

$latex h(x) = v$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada de la función tangente al cuadrado, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \tan^{2}{(v)} \right) = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x) = v$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex v$.

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de tangente al cuadrado de x vs. la derivada de la tangente al cuadrado de x

Dada la función

$latex f(x) = \tan^{2}{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de tangente al cuadrado tan^2x

Y como sabemos ahora, derivando $latex f (x) = \tan^{2}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

que si se representa gráficamente como

Gráfica de la derivada de tan^2x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de tangente al cuadrado y su derivada

Mirando las diferencias entre estas funciones basadas en esos gráficos, puedes ver que la función original $latex f(x) = \tan^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex [0,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$


Ejemplos

Estos son algunos ejemplos de cómo derivar una función tangente al cuadrado aplicando el primer o el segundo método.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\beta) = \tan^{2}{(\beta)}$

Solución: Analizando la función tangente al cuadrado dada, es solo un cuadrado de una tangente de un solo ángulo $latex \beta$. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si el cuadrado de la tangente de $latex \beta$ es una función de $latex \beta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, proceda al paso 2.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función tangente al cuadrado y derivar en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = 2\tan{(\beta)}\sec^{2}{(\beta)}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex G(x) = \tan^{2}{(7x^2-3)}$

Solución: Analizando la función tangente al cuadrado dada, es un cuadrado de una tangente de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función tangente al cuadrado como $latex G(x) = \tan^{2}{(v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x. En este problema,

$latex v = 7x^2-3$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \tan{(v)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Para este problema tenemos

$latex g(v) = \tan{(v)}$

y también

$latex h(x) = v = 7x^2-3$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada de la función tangente al cuadrado, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \tan^{2}{(v)} \right) = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x)$ o $latex v$. Dado que nuestro $latex v$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex v$.

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{d}{dx} \left(7x^2-3 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = 14x$

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)} \cdot 14x$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$

$$\frac{dy}{dx} = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)} \cdot 14x$$

$$\frac{dy}{dx} = 2\tan{(7x^2-3)}\sec^{2}{(7x^2-3)} \cdot 14x$$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.

$$\frac{dy}{dx} = 2\cdot14x \cdot \tan{(7x^2-3)}\sec^{2}{(7x^2-3)}$$

$$\frac{dy}{dx} = 28x\tan{(7x^2-3)}\sec^{2}{(7x^2-3)}$$

Y la respuesta final es:

$$G'(x) = 28x\tan{(7x^2-3)}\sec^{2}{(7x^2-3)}$$


Véase también

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