Derivada de tangente al cuadrado, tan^2(x) – Demostración y Gráficas

Demostración de la derivada de la función tangente al cuadrado usando la regla de la cadena

Puedes revisar la fórmula de la regla de la cadena visitando este enlace: Regla de la Cadena. Asimismo, puedes visitar este otro enlace para la demostración de la derivada de la función tangente: Derivada de Tangente, tan(x).

Ten en cuenta que

$latex \tan^{2}{(x)} \neq \tan{(x^2)}$

Podemos usar la regla de la cadena para derivar a esta función, ya que es una función compuesta. Entonces, empezamos con

$latex F(x) = \tan^{2}{(x)}$

Observamos que hay dos funciones que componen F(x), una función de potencia y una función trigonométrica. Específicamente, son una función elevada a una potencia de dos y una función tangente.

Si es que reescribimos a la función de la siguiente manera, podemos visualizar esto de mejor forma:

$latex F(x) = \tan^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\tan{(x)})^2$

Ahora, podemos ver claramente que la función tangente es la función interna y la función potencia es la función externa. Entonces, podemos escribir:

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \tan{(x)}$

Si es que denotamos a la función tangente como g(x), tenemos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \tan{(x)}$

Ahora, derivamos a la función externa fácilmente:

$latex f(u) = u^2$

$latex f^{\prime}(u) = 2u$

Y también derivamos a la función interna:

$latex g(x) = \tan{(x)}$

$latex g^{\prime}(x) = \sec^{2}{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f^{\prime}(u)$ por la derivada de la función interior $latex g^{\prime}(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\sec^{2}{(x)})$

Sustituyendo u en f'(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\tan{(x)})) \cdot (\sec^{2}{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\tan{(x)} \cdot \sec^{2}{(x)}$

Esto nos lleva a la fórmula de la derivada de la tangente al cuadrado x.

$latex \frac{d}{dx} \tan^{2}{(x)} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

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Relación entre la derivada de la tangente al cuadrado y la secante al cuadrado

Quizás te preguntes por qué la derivada de ambas funciones

$latex \tan^{2}{(x)}$

y

$latex \sec^{2}{(x)}$

son las mismas.

De acuerdo con la fórmula de Pitágoras para tangentes y secantes,

$latex \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)}$

Si tratamos de derivar ambos lados de la ecuación, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

Evaluando la derivada del primer término del lado derecho de la ecuación, que es la derivada de una constante 1, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

Por eso tanto la tangente al cuadrado como la secante al cuadrado tienen la misma derivada.

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Gráfica de tangente al cuadrado de x vs. la derivada de la tangente al cuadrado de x

La gráfica de la función

$latex f(x) = \tan^{2}{(x)}$

es

Derivando $latex f (x) = \tan^{2}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

que tiene la siguiente gráfica

Comparando sus gráficas, tenemos

De las gráficas, puedes ver que la función original $latex f(x) = \tan^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex [0,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$

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Ejemplos

Los siguientes ejemplos muestran cómo encontrar la derivada de una función tangente cuadrado compuesta.

Práctica de derivadas de funciones tangente cuadrado

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Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas al cuadrado? Mira estas páginas:

• Derivada de seno al cuadrado, sin^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de coseno al cuadrado, cos^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de secante al cuadrado, sec^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de cosecante al cuadrado, csc^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de cotangente al cuadrado, cot^2(x) – Demostración y Gráficas