Derivada de tangente al cuadrado, tan^2(x) – Demostración y Gráficas

Demostración de la derivada de la función tangente al cuadrado usando la regla de la cadena

Puedes revisar la fórmula de la regla de la cadena visitando este enlace: Regla de la Cadena. Asimismo, puedes visitar este otro enlace para la demostración de la derivada de la función tangente: Derivada de Tangente, tan(x).

Ten en cuenta que

$latex \tan^{2}{(x)} \neq \tan{(x^2)}$

Podemos usar la regla de la cadena para derivar a esta función, ya que es una función compuesta. Entonces, empezamos con

$latex F(x) = \tan^{2}{(x)}$

Observamos que hay dos funciones que componen F(x), una función de potencia y una función trigonométrica. Específicamente, son una función elevada a una potencia de dos y una función tangente.

Si es que reescribimos a la función de la siguiente manera, podemos visualizar esto de mejor forma:

$latex F(x) = \tan^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\tan{(x)})^2$

Ahora, podemos ver claramente que la función tangente es la función interna y la función potencia es la función externa. Entonces, podemos escribir:

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \tan{(x)}$

Si es que denotamos a la función tangente como g(x), tenemos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \tan{(x)}$

Ahora, derivamos a la función externa fácilmente:

$latex f(u) = u^2$

$latex f^{\prime}(u) = 2u$

Y también derivamos a la función interna:

$latex g(x) = \tan{(x)}$

$latex g^{\prime}(x) = \sec^{2}{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f^{\prime}(u)$ por la derivada de la función interior $latex g^{\prime}(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\sec^{2}{(x)})$

Sustituyendo u en f'(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\tan{(x)})) \cdot (\sec^{2}{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\tan{(x)} \cdot \sec^{2}{(x)}$

Esto nos lleva a la fórmula de la derivada de la tangente al cuadrado x.

$latex \frac{d}{dx} \tan^{2}{(x)} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

Relación entre la derivada de la tangente al cuadrado y la secante al cuadrado

Quizás te preguntes por qué la derivada de ambas funciones

$latex \tan^{2}{(x)}$

y

$latex \sec^{2}{(x)}$

son las mismas.

De acuerdo con la fórmula de Pitágoras para tangentes y secantes,

$latex \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)}$

Si tratamos de derivar ambos lados de la ecuación, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

Evaluando la derivada del primer término del lado derecho de la ecuación, que es la derivada de una constante 1, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

Por eso tanto la tangente al cuadrado como la secante al cuadrado tienen la misma derivada.

Gráfica de tangente al cuadrado de x vs. la derivada de la tangente al cuadrado de x

La gráfica de la función

$latex f(x) = \tan^{2}{(x)}$

es

Derivando $latex f (x) = \tan^{2}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

que tiene la siguiente gráfica

Comparando sus gráficas, tenemos

De las gráficas, puedes ver que la función original $latex f(x) = \tan^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex [0,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$

Ejemplos

Los siguientes ejemplos muestran cómo encontrar la derivada de una función tangente cuadrado compuesta.

Práctica de derivadas de funciones tangente cuadrado

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas al cuadrado? Mira estas páginas:

• Derivada de seno al cuadrado, sin^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de coseno al cuadrado, cos^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de secante al cuadrado, sec^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de cosecante al cuadrado, csc^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de cotangente al cuadrado, cot^2(x) – Demostración y Gráficas