Derivada de secante al cuadrado, sec^2(x) – Demostración y Gráficas

La derivada de la secante al cuadrado es igual a dos veces la tangente por la secante al cuadrado, 2tan(x)sec2(x). Esta derivada se puede encontrar usando la regla de la cadena y las derivadas de las funciones trigonométricas fundamentales.

A continuación, conoceremos cómo derivar a la función secante al cuadrado, veremos la comparación gráfica de la secante al cuadrado y su derivada y resolveremos algunos ejercicios.

CÁLCULO
Derivada de secante al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la secante al cuadrado.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de secante al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la secante al cuadrado.

Ver demostración

Demostración de la derivada de la función secante al cuadrado

Como requisito previo, revise la fórmula de la regla de la cadena y su demostración en este artículo: Regla de la Cadena. Del mismo modo, puedes revisar la prueba de la derivada de la función secante visitando este enlace: Derivada de Secante, sec(x).

Recordemos que

$latex \sec^{2}{(x)} \neq \sec{(x^2)}$

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa como una herramienta más sencilla para demostrar la derivada de la función secante al cuadrado.

Suponiendo que se nos pide encontrar la derivada de

$latex F(x) = \sec^{2}{(x)}$

Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función de potencia y una función trigonométrica en este escenario. Para ser más exactos, se trata de una función elevada a una potencia de dos y una función trigonométrica de secante, basada en nuestra F(x) dada.

Para una mejor representación, podemos reescribirla como

$latex F(x) = \sec^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\sec{(x)})^2$

Se hace evidente que la función de potencia dada es la función exterior a considerar, mientras que la función secante, siendo elevada por la función de potencia dada, es la función interior. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \sec{(x)}$

La función secante trigonométrica, como función interna de f(u), se denotará como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \sec{(x)}$

Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica secante en términos de x, tenemos

$latex g(x) = \sec{(x)}$

$latex g'(x) = \sec{(x)}\tan{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)})$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\sec{(x)})) \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec^{2}{(x)} \cdot \tan{(x)}$

lo que nos lleva a la fórmula de la derivada de la secante al cuadrado x

$latex \frac{d}{dx} \sec^{2}{(x)} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$


¿Por qué la derivada de la secante al cuadrado y la tangente al cuadrado son la misma?

Usted puede preguntarse por qué

$latex \sec^{2}{(x)}$

y también

$latex \tan^{2}{(x)}$

tienen derivados similares.

Recordemos que la identidad de Pitágoras para secantes y tangentes es

$latex \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)}$

Entonces, podemos derivar ambos lados de esta ecuación para obtener:

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

La derivada de una constante es igual a cero, entonces:

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

Esto significa que la derivada de la secante al cuadrado es igual a la derivada de la tangente al cuadrado.


Gráfica de secante cuadrado de x vs. la derivada de la secante al cuadrado x

Teniendo a la función

$latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$

su gráfica es la siguiente

Gráfica de secante al cuadrado sec^2x

Si es que derivamos a la función $latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$, tenemos

$latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

y su gráfica es

Gráfica de la derivada de sec^2x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de secante al cuadrado y su gráfica

Examinando estas gráficas, se puede ver que la función original $latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex [1,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$


Ejemplos

En los siguientes ejemplos, podemos aprender cómo derivar funciones secante cuadrado compuestas.

EJEMPLO 1

¿Cuál es la derivada de la función $latex f(x) = \sec^2(8x)$?

Dado que tenemos una función compuesta, vamos a usar la regla de la cadena para derivarla.

Entonces, la función $latex u=8x$ puede ser considerada como la función interna. Esto significa que tenemos $latex f(u)=\tan^2(u)$.

Usando la regla de la cadena con estas funciones, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$

$$\frac{dy}{dx}=2\tan(u)\sec^2(u) \times 8$$

Por último, hacemos la sustitución $latex u=8x$ y tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=16\tan(8x)\sec^2(8x)$$

EJEMPLO 2

Determina la derivada de la función $latex F(x) = \sec^2(5x^3-4x)$.

Esta función también puede ser derivada usando la regla de la cadena, en donde $latex u=5x^3-4x$ es la función interna.

Entonces, la función externa es $latex f (u) = \sec^2(u)$ y su derivada es:

$$\frac{d}{du} ( \sec^2(u) ) = 2\tan(u)\sec^2(u)$$

Ahora, calculamos la derivada de la función interna $latex g(x)=u=5x^3-4x$:

$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(5x^3-4x)$$

$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 15x^2-4$$

Luego, multiplicamos a la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$

$$\frac{dy}{dx} = 2\tan(u)\sec^2(u) \cdot (15x^2-4)$$

Por último, hacemos la sustitución $latex u=5x^3-4x$ y simplificamos:

$$\frac{dy}{dx} = 2\tan(5x^3-4x)\sec^2(5x^3-4x) \cdot (15x^2-4)$$

$$\frac{dy}{dx} = (30x^2-8)\tan(5x^3-4x)\sec^2(5x^3-4x)$$

Práctica de derivadas de funciones secante cuadrado

Práctica de derivadas de secante cuadrado
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Véase también

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Imagen de perfil del autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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