Derivada de secante al cuadrado, sec^2(x) – Demostración y Gráficas

El cuadrado de una función secante es la función secante elevada a la potencia de dos. La derivada de la secante al cuadrado es igual a dos veces la tangente por la secante al cuadrado, 2tan(x)sec2(x). Esta derivada se puede encontrar usando la regla de la cadena y las derivadas de las funciones trigonométricas fundamentales.

Repasaremos los conceptos básicos, la definición, la fórmula, la comparación gráfica de la secante derivada y derivada al cuadrado, la prueba, las técnicas de derivación y algunas instancias más relevantes.

CÁLCULO
Derivada de secante al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la secante al cuadrado.

Ver demostración

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Derivada de secante al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la secante al cuadrado.

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Demostración de la derivada de la función secante al cuadrado

Como requisito previo, revise la fórmula de la regla de la cadena y su demostración en este artículo: Regla de la Cadena. Del mismo modo, puedes revisar la prueba de la derivada de la función secante visitando este enlace: Derivada de Secante, sec(x).

Recordemos que

$latex \sec^{2}{(x)} \neq \sec{(x^2)}$

Para evitar malentendidos, la primera es una «función trigonométrica completa» elevada a la potencia de dos, mientras que la segunda es una función trigonométrica del «cuadrado de una variable».

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa como una herramienta más sencilla para probar la derivada de la función secante al cuadrado, siempre que ya sepas cómo probar la fórmula de la regla de la cadena y la derivada de una función secante.

Suponiendo que se nos pide encontrar la derivada de

$latex F(x) = \sec^{2}{(x)}$

Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función de potencia y una función trigonométrica en este escenario. Para ser más exactos, se trata de una función elevada a una potencia de dos y una función trigonométrica de secante, basada en nuestra F(x) dada.

Para una mejor representación, podemos reescribirla como

$latex \frac{dy}{dx} = \sec^{2}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = (\sec{(x)})^2$

Se hace evidente que la función de potencia dada es la función exterior a considerar, mientras que la función secante, siendo elevada por la función de potencia dada, es la función interior. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \sec{(x)}$

La función secante trigonométrica, como función interna de f(u), se denotará como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \sec{(x)}$

Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica secante en términos de x, tenemos

$latex g(x) = \sec{(x)}$

$latex g'(x) = \sec{(x)}\tan{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)})$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\sec{(x)})) \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec^{2}{(x)} \cdot \tan{(x)}$

lo que nos lleva a la fórmula de la derivada de la secante al cuadrado x

$latex \frac{d}{dx} \sec^{2}{(x)} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$


Relación entre la derivada de la secante al cuadrado y la tangente al cuadrado, ¿en qué se parecen?

Usted puede preguntarse por qué

$latex \sec^{2}{(x)}$

y también

$latex \tan^{2}{(x)}$

tienen derivados similares.

De acuerdo con la fórmula de Pitágoras para secantes y tangentes,

$latex \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)}$

Si tratamos de derivar ambos lados de la ecuación, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

Evaluando la derivada del primer término en el lado derecho de la ecuación, donde la derivada es cero, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

Por eso tanto la secante al cuadrado como la tangente al cuadrado tienen la misma derivada, por la fórmula pitagórica de las secantes y las tangentes.


¿Cómo se deriva una función secante al cuadrado? Métodos más rápidos

La secante al cuadrado, como se dijo anteriormente, es una función compuesta de potencia y de la función trigonométrica secante. En lugar de usar la fórmula de la regla de la cadena repetidamente como lo hicimos en la prueba, podemos simplemente usar la fórmula derivada establecida para una función secante al cuadrado.

MÉTODO 1: Derivada del cuadrado de una secante de cualquier ángulo x en función del mismo ángulo x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sec^{2}{(x)} \right) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

Paso 1: Determina si la secante al cuadrado de un ángulo es una función del mismo ángulo. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \sec^{2}{(x)}$, determina si es una función del mismo ángulo x o f(x).

Nota: si $latex \sec^{2}{(x)}$ es una función de un ángulo o variable diferente, como f(t) o f(y), se usará la diferenciación implícita, que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Luego aplique directamente la fórmula derivada comprobada de la función secante al cuadrado

$latex \frac{dy}{dx} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

Si no se puede simplificar nada más, entonces esa es la solución final.

MÉTODO 2: Derivada del cuadrado de una secante de cualquier función v en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sec^{2}{(v)} \right) = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \sec^{2}{(v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Trata $latex \sec^{2}{(v)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $ látex G(x)$. Haciendo esto, tenemos

$latex g(v) = \sec{(v)}$

y también

$latex h(x) = v$

Paso 3: Derive la función externa $latex g(v)$ y use la derivada de la función secante al cuadrado, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sec^{2}{(v)} \right) = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)}$

Paso 4: Derive la función interna $latex h(x) = v$. Use cualquier regla derivada apropiada que se aplique a $latex v$.

Paso 5: Multiplique algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$ para aplicar completamente la regla de la cadena

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$.

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de funciones siempre que corresponda, luego finalice la respuesta.


Gráfica de secante cuadrado de x vs. la derivada de la secante al cuadrado x

Teniendo a la función

$latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de secante al cuadrado sec^2x

Como ya sabemos, derivar $latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$ es

$latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

que se grafica como

Gráfica de la derivada de sec^2x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de secante al cuadrado y su gráfica

Al examinar las diferencias entre estas funciones basándote en los gráficos anteriores, puedes ver que la función original $latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex [1,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$


Ejemplos

Estos son algunos ejemplos de cómo derivar una función secante al cuadrado usando el primer o el segundo método.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\beta) = \sec^{2}{(\beta)}$

Solución: Después de examinar la función secante al cuadrado dada, muestra que es solo un cuadrado de una secante de un solo ángulo $latex \beta$. Por lo tanto, podemos aplicar el primer método a este problema.

Paso 1: Evalúa si el cuadrado de la secante de $latex \beta$ es una función de $latex \beta$. Está en este problema. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función secante al cuadrado y derivar en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = 2\tan{(\beta)}\sec^{2}{(\beta)}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex G(x) = \sec^{2}{(3x^2-7)}$

Solución: Después de examinar la función secante al cuadrado dada, se muestra que es el cuadrado de una secante de una función polinomial. Por lo tanto, podemos aplicar el segundo método a este problema.

Paso 1: Exprese la función secante al cuadrado como $latex G(x) = \sec^{2}{(v)}$, usando $latex v$ para representar cualquier función que no sea x, que es el ángulo de la secante al cuadrado . En este problema,

$latex v = 3x^2-7$

Sustituyamos esto más tarde mientras evaluamos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \sec{(v)}$ como la función externa $latex g(v)$. Entonces $latex v$ será la función interna, denotada como $latex h(x)$ también. Para este problema tenemos

$latex g(v) = \sec{(v)}$

y también

$latex h(x) = v = 3x^2-7$

Paso 3: Obtenga la función externa $latex g(v)$ usando la derivada de la función secante al cuadrado, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sec^{2}{(v)} \right) = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)}$

Paso 4: Obtenga la función interna $latex h(x)$ o $latex v$. Dado que nuestro $latex v$ en este problema es una función polinomial, apliquemos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex v$.

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{d}{dx} \left(3x^2-7 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = 6x$

Paso 5: Evalúe la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)} \cdot 6x$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$.

$$\frac{dy}{dx} = 2\tan{(v)}\sec^{2}{(v)} \cdot 6x$$

$$\frac{dy}{dx} = 2\tan{(3x^2-7)}\sec^{2}{(3x^2-7)} \cdot 6x$$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.

$$\frac{dy}{dx} = 2\cdot6x \cdot \tan{(3x^2-7)}\sec^{2}{(3x^2-7)}$$

$$\frac{dy}{dx} = 6x\tan{(3x^2-7)}\sec^{2}{(3x^2-7)}$$

Y la respuesta final es:

$$G'(x) = 6x\tan{(3x^2-7)}\sec^{2}{(3x^2-7)}$$


Véase también

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