Derivada de secante al cuadrado, sec^2(x) – Demostración y Gráficas

Demostración de la derivada de la función secante al cuadrado

Como requisito previo, revise la fórmula de la regla de la cadena y su demostración en este artículo: Regla de la Cadena. Del mismo modo, puedes revisar la prueba de la derivada de la función secante visitando este enlace: Derivada de Secante, sec(x).

Recordemos que

$latex \sec^{2}{(x)} \neq \sec{(x^2)}$

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa como una herramienta más sencilla para demostrar la derivada de la función secante al cuadrado.

Suponiendo que se nos pide encontrar la derivada de

$latex F(x) = \sec^{2}{(x)}$

Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función de potencia y una función trigonométrica en este escenario. Para ser más exactos, se trata de una función elevada a una potencia de dos y una función trigonométrica de secante, basada en nuestra F(x) dada.

Para una mejor representación, podemos reescribirla como

$latex F(x) = \sec^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\sec{(x)})^2$

Se hace evidente que la función de potencia dada es la función exterior a considerar, mientras que la función secante, siendo elevada por la función de potencia dada, es la función interior. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \sec{(x)}$

La función secante trigonométrica, como función interna de f(u), se denotará como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \sec{(x)}$

Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica secante en términos de x, tenemos

$latex g(x) = \sec{(x)}$

$latex g'(x) = \sec{(x)}\tan{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)})$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\sec{(x)})) \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec^{2}{(x)} \cdot \tan{(x)}$

lo que nos lleva a la fórmula de la derivada de la secante al cuadrado x

$latex \frac{d}{dx} \sec^{2}{(x)} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

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¿Por qué la derivada de la secante al cuadrado y la tangente al cuadrado son la misma?

Usted puede preguntarse por qué

$latex \sec^{2}{(x)}$

y también

$latex \tan^{2}{(x)}$

tienen derivados similares.

Recordemos que la identidad de Pitágoras para secantes y tangentes es

$latex \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)}$

Entonces, podemos derivar ambos lados de esta ecuación para obtener:

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

La derivada de una constante es igual a cero, entonces:

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

Esto significa que la derivada de la secante al cuadrado es igual a la derivada de la tangente al cuadrado.

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Gráfica de secante cuadrado de x vs. la derivada de la secante al cuadrado x

Teniendo a la función

$latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$

su gráfica es la siguiente

Si es que derivamos a la función $latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$, tenemos

$latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

y su gráfica es

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Examinando estas gráficas, se puede ver que la función original $latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex [1,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$

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Ejemplos

En los siguientes ejemplos, podemos aprender cómo derivar funciones secante cuadrado compuestas.

Práctica de derivadas de funciones secante cuadrado

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Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas al cuadrado? Mira estas páginas:

• Derivada de seno al cuadrado, sin^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de coseno al cuadrado, cos^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de tangente al cuadrado, tan^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de cosecante al cuadrado, csc^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de cotangente al cuadrado, cot^2(x) – Demostración y Gráficas