Regla de la Cadena - Fórmula, Demostración y Ejemplos

La Regla de la Cadena es una de las técnicas de derivadas más comunes aplicadas en Cálculo Diferencial (o Cálculo I). Se utiliza para derivar una composición de funciones. La regla de la cadena se puede demostrar usando uno de los pilares del cálculo, que son los límites.

En este artículo, exploraremos todo sobre la regla de la cadena. Cubriremos su definición, fórmula, demostraciones y aplicaciones. También veremos algunos ejemplos y problemas de práctica para aplicar los principios de la regla de la cadena.

CÁLCULO

Fórmulas de la regla de la cadena de derivadas

Relevante para…

Aprender sobre la regla de la cadena con ejemplos.

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La regla de la cadena y su fórmula

¿Qué es la regla de la cadena?

La regla de la cadena se define como la derivada de una composición de al menos dos tipos diferentes de funciones como:

$y' = \frac{d}{dx}[f \left( g(x) \right)]$

donde g(x) es un dominio de la función f(u).

También podemos llamar a la función f como la función externa y a la función g como la función interna. En esta composición, f(x) y g(x) deben ser dos tipos diferentes de funciones que no pueden evaluarse algebraicamente en un solo tipo de función.

Recuerda que una composición de funciones puede considerarse como una función dentro de otra función o como una función de otra función.

La fórmula de la regla de la cadena

La fórmula de la regla de la cadena se puede expresar verbalmente como la derivada de la función externa f multiplicada por la derivada de la función interna g. La función interna g es el dominio de la derivada de la función externa f.

La fórmula de la regla de la cadena se puede ilustrar como:

\frac{d}{dx} (f(g(x))) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{x}(g(x))

donde derivamos f(g(x)) usando el método de derivada de la función f y usando g(x) como el dominio de la función f y luego multiplicando la derivada de la función f por la derivada de g(x).

En otra forma, también se puede ilustrar como:

\frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) = \frac{d}{du}(f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))

en donde

$f(u) =$ la función exterior
$u = g(x)$ , el dominio de la función exterior $f(u)$
$\frac{d}{du}(f(u)) =$ la derivada de la función exterior $f(u)$ en términos de $u$
$\frac{d}{dx}(g(x)) =$ la derivada de la función interna $g(x)$ en términos de $x$

La diferencia entre la regla de la cadena y la regla de la potencia

Hay un concepto erróneo común de que la fórmula de la regla de la cadena es una forma ampliada de la fórmula de la regla de la potencia o que la fórmula de la regla de la potencia es una forma más simple de la fórmula de la regla de la cadena. Pero la verdad es que estas dos fórmulas son diferentes.

Se puede derivar una función de potencia simple como $x^2$ usando la regla de la cadena si consideramos $f(u) = u^2$ como una función externa de $f(g(x))$ y $latex g(x) = x$ como una función interna dentro de la función externa f.

Sin embargo, si lo analizas, no podemos derivar la función exterior f, que es una función de potencia, sin conocer la aplicación de la regla de la potencia.

Por lo tanto, en esta fórmula

$\frac{d}{dx}(u^n) = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$

donde $n$ es un exponente y $u$ es cualquier tipo de función elevada a un exponente $n$ , podemos considerar esto como uno de los casos especiales o formas de la fórmula de la regla de la cadena. Pero eso no significa que la regla de la cadena y la regla de la potencia sean intercambiables.

En este contexto, podemos decir que esta es una aplicación de la fórmula de la regla de la potencia multiplicada por una derivada de u, que es causada por la regla de la cadena. Esto sucede porque la función exterior es una función potencia mientras que la función interior representada por $u$ puede ser cualquier otro tipo de función elevada a un exponente $n$ .

Para ampliar esto, tenemos

$u^n = f(u)$

$u = g(x)$

en donde

$f(u)$ es la función exterior de una función compuesta
$g(x)$ es la función interna dentro de una función externa f de una función compuesta
$u = g(x)$ es el dominio de la función exterior f

Dado que los principios de la regla de la potencia y la regla de la cadena son diferentes e independientes entre sí, podemos afirmar que estas dos reglas no son intercambiables.

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Demostración de la regla de la cadena

Prueba de la regla de la cadena usando límites

Sabemos en Cálculo que los límites se consideran uno de los pilares de esta rama matemática. Por lo tanto, tiene sentido que la mayoría, si no todos, los métodos derivados se basaron en límites, y la regla de la cadena es uno de ellos.

Al obtener las derivadas usando límites (también conocido como obtener la pendiente de una línea tangente), podemos simplificar una fórmula que satisfaga las condiciones establecidas por la regla de la cadena.

Al obtener los límites de la función compuesta $f(g(x))$ a medida que h se acerca a cero,

$\frac{d}{dx}(f(g(x))) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}}$

llegaríamos con la fórmula estándar de la regla de la cadena.

$\frac{d}{dx} (f(g(x))) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$

Para obtener más información sobre la demostración de la regla de la cadena usando límites, visita nuestro artículo sobre la demostración de la regla de la cadena.

Cuándo usar la regla de la cadena para encontrar derivadas

La fórmula de la regla de la cadena es una herramienta eficiente para derivar funciones compuestas como las siguientes:

a. $H(x) = f(g(x))$ , donde g(x) es una función interna dentro de la función externa f.

b. $H(x) = f \circ g(x)$ , similar a la letra a pero escrita en un formato alternativo.

c. $H(x) = f(g(h(j(x)))$ , donde f es la función más externa de una composición de cuatro funciones.

d. $H(x) = (f_{1…n} (x))$ , donde la función compuesta H(x) puede incluir una composición de múltiples funciones y $n$ denota la cantidad total de funciones en la composición.

Estos son los ejemplos más comunes de funciones que usan la regla de la cadena para problemas de derivación.

Aunque se puede argumentar que una función puede ser simplificada algebraicamente antes de que se pueda derivar usando los métodos de derivadas más simples (o incluso una función derivada trascendental), ese no es siempre el caso.

Por lo tanto, tenemos la regla de la cadena para que aún sea posible derivar una composición de funciones que son muy difíciles de operar algebraicamente o incluso imposibles de operar, especialmente en el caso de funciones trascendentales.

Cómo usar la regla de la cadena, un tutorial paso a paso

Supongamos que tenemos que derivar

$H(x) = \sin{(x^3)}$

Como puedes observar, esta función dada puede considerarse una función compuesta. Por lo tanto, podemos usar la fórmula de la regla de la cadena para derivar este problema.

Paso 1: Escribimos la fórmula de la regla de la cadena como referencia:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$

Ten en cuenta que puedes usar cualquier forma de la fórmula de la regla de la cadena siempre que la encuentres más eficiente según tu preferencia o el problema dado.

Paso 2: Identifica cuántas funciones tenemos en la función compuesta dada. En este ejemplo, tenemos dos. Al enumerar estas dos funciones, tenemos

Si es que $g(x) = u$ , entonces

$f(g(x)) = f(u)$
$f(u) = \sin{(u)}$

$u = g(x) = x^3$

Si es que $f(g(x)) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Nota: Aplicamos la técnica de sustitución para derivar la función externa f para que sea más eficiente y menos confusa, especialmente para los principiantes.

Paso 3: Apliquemos ahora la fórmula de la regla de la cadena:

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du}(f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du}(\sin{(u)}) \cdot \frac{d}{dx}(x^3)$

$\frac{d}{dx} H(x) = (\cos{(u)}) \cdot (3x^2)$

Paso 4: Sustituye la función interna $g(x)$ en $u$ de la ecuación derivada:

$\frac{d}{dx} H(x) = (\cos{(x^3)}) \cdot (3x^2)$

Paso 5: Simplifica algebraicamente y aplica las identidades trigonométricas necesarias u otras propiedades específicas de la función cuando corresponda:

$\frac{d}{dx} H(x) = 3x^2 \cdot \cos{(x^3)}$

Paso 6: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como su respuesta final:

$H'(x) = 3x^2 \cos{(x^3)}$

Regla de la Cadena – Ejemplos con respuestas

Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada. Se recomienda que intentes resolver los problemas de tú mismo antes de mirar la solución para que puedas practicar y dominar completamente este tema.

EJEMPLO 1

Deriva la función: $H(x) = (12x+6)^{24}$

Solución

Paso 1: Escribe la fórmula de la regla de la cadena como referencia:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$

Paso 2: Al reconocer las dos funciones, tenemos

Si es que $g(x) = u$ , entonces

$f(g(x)) = f(u)$
$f(u) = u^{24}$

$u = g(x) = 12x+6$

Si es que $f(g(x)) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Paso 3: Apliquemos ahora la fórmula de la regla de la cadena:

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du}(f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du}(u^{24}) \cdot \frac{d}{dx}(12x+6)$

$\frac{d}{dx} H(x) = (24u^{23}) \cdot (12)$

Paso 4: Sustituye la función interna $g(x)$ en la $u$ de la ecuación derivada:

$\frac{d}{dx} H(x) = (24(12x+6)^{23}) \cdot (12)$

Paso 5: Simplifica algebraicamente:

$\frac{d}{dx} H(x) = 288 \cdot (12x+6)^{23}$

Paso 6: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como su respuesta derivada final:

$H'(x) = 288(12x+6)^{23}$

EJEMPLO 2

Encuentra la derivada de $f(x) = \sqrt[12]{6x-3}$ .

Solución

Paso 1: Enumera la fórmula de la regla de la cadena como referencia:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$

Paso 2: Si es que $g(x) = u$ , entonces

$f(g(x)) = f(u)$
$f(u) = \sqrt[12]{u}$
$f(u) = u^{\frac{1}{12}}$

$u = g(x) = 6x-3$

Si es que $f(g(x)) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Paso 3: Apliquemos ahora la fórmula de la regla de la cadena:

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du}(f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du}(u^{\frac{1}{12}}) \cdot \frac{d}{dx}(6x-3)$

$\frac{d}{dx} H(x) = \left(\frac{1}{12}u^{-\frac{11}{12}} \right) \cdot (6)$

Paso 4: Sustituye la función interna $g(x)$ en la $u$ de la ecuación derivada:

$\frac{d}{dx} H(x) = \left(\frac{1}{12} \cdot (6x-3)^{-\frac{11}{12}} \right) \cdot (6)$

Paso 5: Simplifica algebraicamente:

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{6}{12 \cdot (6x-3)^{\frac{11}{12}}}$

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{1}{2 \cdot (6x-3)^{\frac{11}{12}}}$

Paso 6: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como la respuesta final:

$H'(x) = \frac{1}{2 \sqrt[12]{(6x-3)^{11}}}$
en forma radical

EJEMPLO 3

Deriva la función: $\cos{(12x^2+6x-3)}$ .

Solución

Paso 1: Enumera la fórmula de la regla de la cadena como referencia:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$

Paso 2: En este ejemplo, tenemos $g(x) = u$ , entonces

$f(g(x)) = f(u)$
$f(u) = \cos{(u)}$

$u = g(x) = 12x^2+6x-3$

Si es que $f(g(x)) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Paso 3: Apliquemos ahora la fórmula de la regla de la cadena:

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du}(f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du}(\cos{(u)}) \cdot \frac{d}{dx}(12x^2+6x-3)$

$\frac{d}{dx} H(x) = (-\sin{(u)}) \cdot (24x+6)$

Paso 4: Sustituye la función interna $g(x)$ en la $u$ de la ecuación derivada:

$\frac{d}{dx} H(x) = (-\sin{(12x^2+6x-3)}) \cdot (24x+6)$

Paso 5: Simplifica algebraicamente:

$\frac{d}{dx} H(x) = -(24+6) \cdot \sin{(12x^2+6x-3)}$

Paso 6: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta final:

$H'(x) = - (24 + 6) \sin{(12x^2+6x-3)}$

EJEMPLO 4

¿Cuál es la derivada de $\csc{\ln{(12x+6)}}$ ?

Solución

Paso 1: Escribe la fórmula de la regla de la cadena como referencia:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$

Paso 2: Identifica cuántas funciones tienes en el problema. En este ejemplo, hay tres. Al separar estas tres funciones, tenemos

Si es que $g(h(x)) = u$ , entonces

$f(g(h(x))) = f(u)$
$f(u) = \csc{(u)}$

Si es que $g(h(x)) = v$ , entonces

$g(h(x)) = g(v)$
$g(v) = \ln{(v)}$

$v = h(x) = 12x+6$

Si es que $f(g(h(x))) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(h(x)))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Si es que $g(h(x)) = g(v)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [g(h(x))] = \frac{d}{dv} [g(v)]$

Paso 3: Apliquemos ahora la fórmula de la regla de la cadena:

$f_{1…n}'(x) = f_1′ \left( f_{2…n}(x) \right) \cdot f_2′ \left( f_{3…n}(x) \right)$
$\cdots f_{n-1}' \left(f_{n…n}(x)\right) \cdot f_n'(x)$

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du} f(u) \cdot \frac{d}{dv} g(v) \cdot \frac{d}{dx} h(x)$

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du}(\csc{(u)}) \cdot \frac{d}{dv}(\ln{(v)}) \cdot \frac{d}{dx}(12x+6)$

$\frac{d}{dx} H(x) = (-\csc{(u)} \cot{(u)}) \cdot (\frac{1}{v}) \cdot {12}$

Paso 4: Substituye $g(h(x))$ y $h(x)$ en $u$ y $v$ :

$\frac{d}{dx} H(x) = (-\csc{(\ln{(12x+6)})} \cot{(\ln{(12x+6)})})$ $\cdot (\frac{1}{12x+6}) \cdot {12}$

Paso 5: Simplifica algebraicamente:

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{-12 \csc{(\ln{(12x+6)})} \cot{(\ln{(12x+6)})}}{12x+6}$

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{-12 \csc{(\ln{(12x+6)})} \cot{(\ln{(12x+6)})}}{6(x+2)}$

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{-2 \csc{(\ln{(12x+6)})} \cot{(\ln{(12x+6)})}}{(x+2)}$

Paso 6: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como la respuesta final:

$H'(x) = -\frac{2 \csc{(\ln{(12x+6)})} \cot{(\ln{(12x+6)})}}{(x+2)}$

EJEMPLO 5

Deriva lo siguiente: $e^{\sin^{2}{(6x-3)}}$

Solución

Paso 1: Escribe la fórmula de la regla de la cadena como referencia:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$

Paso 2: Identifica cuántas funciones tienes en el problema. En este ejemplo, hay cuatro. Al enumerar estas cuatro funciones, tenemos

Si es que $f(g(h(j(x)))) = u$ , entonces

$f(g(h(j(x)))) = f(u)$
$f(u) = e^u$

Si es que $g(h(j(x))) = v$ , entonces

$g(h(j(x))) = g(v)$
$g(v) = v^2$

Si es que $h(j(x)) = w$ , entonces

$h(j(x)) = h(w)$
$h(w) = \sin{(w)}$

$w = j(x) = 6x-3$

Si es que $f(g(h(j(x)))) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(h(j(x))))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Si es que $g(h(j(x))) = g(v)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [g(h(j(x)))] = \frac{d}{dv} [g(v)]$

Si es que $h(j(x)) = h(w)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [h(j(x))] = \frac{d}{dw} [h(w)]$

Paso 3: Apliquemos ahora la fórmula de la regla de la cadena:

$f_{1…n}'(x) = f_1′ \left( f_{2…n}(x) \right) \cdot f_2′ \left( f_{3…n}(x) \right)$
$\cdots f_{n-1}' \left(f_{n…n}(x)\right) \cdot f_n'(x)$

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du} f(u) \cdot \frac{d}{dv} g(v)$ $\cdot \frac{d}{dw} h(w) \cdot \frac{d}{dx} j(x)$

$\frac{d}{dx} H(x) = \frac{d}{du} (e^u) \cdot \frac{d}{dv} (v^2)$ $\cdot \frac{d}{dw} (\sin{(w)}) \cdot \frac{d}{dx} (6x-3)$

$\frac{d}{dx} H(x) = (e^u) \cdot (2v) \cdot (\cos{(w)}) \cdot (6)$

Paso 4: Substituye $g(h(j(x)))$ , $h(j(x))$ , y $j(x)$ en $u$ , $v$ , y $w$ :

$\frac{d}{dx} H(x) = (e^{\sin^{2}{(6x-3)}}) \cdot (2(\sin{(6x-3)}))$ $\cdot (\cos{(6x-3)}) \cdot (6)$

Paso 5: Simplifica algebraicamente:

$\frac{d}{dx} H(x) = 12 \cdot \sin{(6x-3)}$ $\cdot \cos{(6x-3)} \cdot e^{\sin^{2}{(6x-3)}}$

Paso 6: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como la respuesta final:

$H'(x) = 12 \sin{(6x-3)} \cos{(6x-3)} e^{\sin^{2}{(6x-3)}}$

→ Calculadora de Derivadas

Regla de la Cadena – Problemas de práctica

Resuelve los siguientes problemas de diferenciación y prueba tus conocimientos sobre este tema. Usa la fórmula de la regla de la cadena detallada arriba para resolver los ejercicios.