Regla de la Cadena - Ejercicios Resueltos y para Resolver

Los problemas de derivación que involucran la composición de funciones se pueden resolver usando la fórmula de la regla de la cadena. Esta fórmula nos permite derivar una composición de funciones como f(g(x)).

Aquí, veremos un resumen de la regla de la cadena. Además, exploraremos varios ejercicios con respuestas para comprender la aplicación de la fórmula de la regla de la cadena.

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Fórmulas de la regla de la cadena de derivadas

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Resumen de la regla de la cadena

La regla de la cadena es una herramienta muy útil que se utiliza para derivar una composición de diferentes funciones. Es una regla que establece que la derivada de una composición de al menos dos tipos diferentes de funciones es igual a la derivada de la función exterior f(u) multiplicada por la derivada de la función interior g(x), donde u=g(x).

Esto nos da la fórmula de la regla de la cadena como:

\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{x}(g(x))

o en otra forma, se puede ilustrar como:

\frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right)' = \frac{d}{du}(f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))

en donde

$f(u) =$ la función exterior
$u = g(x)$ , el dominio de la función externa $f(u)$
$\frac{d}{du}(f(u)) =$ la derivada de la función exterior $f(u)$ en términos de $u$
$\frac{d}{dx}(g(x)) =$ la derivada de la función interna $g(x)$ en términos de $x$

Usamos esta fórmula para derivar funciones que tienen las siguientes formas:

$H(x) = f(g(x))$

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Regla de la Cadena – Ejercicios resueltos

Usando la fórmula detallada arriba, podemos derivar varias funciones que se escriben como composiciones. Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada.

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de $H(x) = (x^3 - 3x^2 + 2x)^5$ .

Solución

Lo primero que debemos hacer es escribir la fórmula de la regla de la cadena para nuestra referencia:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

Si eres principiante, se recomienda que identifiques las funciones involucradas en la composición. De lo contrario, puedes usar directamente la fórmula de la regla de la cadena con menos pasos, siempre que conozcas las derivadas de las funciones involucradas.

Suponiendo que eres principiante, identifiquemos las funciones involucradas a partir de la composición de funciones:

Tenemos lo siguiente

$H(x) = (x^3 - 3x^2 + 2x)^5$

Si es que $g(x) = u$ , entonces

$f(g(x)) = f(u)$
$f(u) = u^5$

$u = g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$

Si es que $f(g(x)) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Aplicando la fórmula de la regla de la cadena tenemos:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} \left(f(u)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} \left(u^5) \right) \cdot \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x)$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = (5u^4) \cdot (3x^2-6x+2)$

Dado que $u = g(x)$ , sustituyamos $g(x)$ en $u$ :

$\frac{d}{dx} (H(x)) = [5 \cdot (x^3 - 3x^2 + 2x)^4]$ $\cdot (3x^2-6x+2)$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$H'(x) = (5x^3-15x^2+10x)^4 \cdot (3x^2-6x+2)$

Y la respuesta final es:

$H'(x) = (5x^3-15x^2+10x)^4 (3x^2-6x+2)$

EJERCICIO 2

Encuentra la derivada de $H(x) = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 2x}$ .

Solución

Primero escribamos la fórmula de la regla de la cadena para nuestra referencia:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

Identifiquemos las funciones involucradas a partir de la composición de funciones:

Tenemos

$H(x) = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 2x}$

Dado que esta es una función radical, siempre se recomienda reescribirla de forma radical a exponente para que sea derivable. Reescribiendo, tenemos

$H(x) = (x^3 - 3x^2 + 2x)^{\frac{1}{3}}$

Si es que $g(x) = u$ , entonces

$f(g(x)) = f(u)$
$f(u) = u^{\frac{1}{3}}$

$u = g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$

Si es que $f(g(x)) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Aplicando la fórmula de la regla de la cadena tenemos:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} \left(f(u)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} \left(u^{\frac{1}{3}}) \right) \cdot \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x)$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = (\frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}) \cdot (3x^2-6x+2)$

Dado que $u = g(x)$ , sustituyamos $g(x)$ en $u$ :

$\frac{d}{dx} (H(x)) = [(\frac{1}{3} \cdot (x^3 - 3x^2 + 2x)^{-\frac{2}{3}})]$ $\cdot (3x^2-6x+2)$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$H'(x) = \frac{1}{3 \cdot (x^3 - 3x^2 + 2x)^{\frac{2}{3}}} \cdot (3x^2-6x+2)$

$H'(x) = \frac{3x^2-6x+2}{3 \cdot (x^3 - 3x^2 + 2x)^{\frac{2}{3}}}$

Y la respuesta final es:

$H'(x) = \frac{3x^2-6x+2}{3 \sqrt[3]{(x^3 - 3x^2 + 2x)^2}}$
en forma radical

EJERCICIO 3

Encuentra la derivada de $H(x) = \cos{(x^3-9)}$ .

Solución

Si es que $g(x) = u$ , entonces

$f(g(x)) = f(u)$
$f(u) = \cos{(x^3-9)}$

$u = g(x) = x^3 - 9$

Si es que $f(g(x)) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Aplicando la fórmula de la regla de la cadena, tenemos:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} \left(f(u)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} \left(\cos{(u)}) \right) \cdot \frac{d}{dx}(x^3 - 9)$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = (-\sin{(u)}) \cdot (3x^2)$

Dado que $u = g(x)$ , sustituyamos $g(x)$ en $u$ :

$\frac{d}{dx} (H(x)) = (-\sin{(x^3-9)}) \cdot (3x^2)$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$H'(x) = -3x^2 \cdot \sin{(x^3-9)}$

Y la respuesta final es:

$H'(x) = -3x^2 \sin{(x^3-9)}$

EJERCICIO 4

Encuentra la derivada de $\sec^{5}{x}$ .

Solución

Si es que $g(x) = u$ , entonces

$f(g(x)) = f(u)$
$f(u) = u^5$

$u = g(x) = \sec{(x)}$

Si es que $f(g(x)) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Aplicando la fórmula de la regla de la cadena, tenemos:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} \left(f(u)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} \left(u^5 \right) \cdot \frac{d}{dx}(\sec{(x)})$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = (5u^4) \cdot (\sec{(x)} \tan{(x)})$

Since $u = g(x)$ , let’s substitute $g(x)$ into $u$ :

$\frac{d}{dx} (H(x)) = [5(\sec{(x)})^4] \cdot (\sec{(x)} \tan{(x))$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$H'(x) = 5 \cdot \sec{(x)} \cdot \sec^{4}{(x)} \cdot \tan{(x)$

$H'(x) = 5 \cdot \tan{(x) \cdot \sec^{5}{(x)}$

Y la respuesta final es:

$H'(x) = 5 \tan{(x)} \sec^{5}{(x)}$

EJERCICIO 5

Encuentra la derivada de $F(x) = \log_{7}{(x^3+e^x)}$ .

Solución

Si es que $g(x) = u$ , entonces

$f(g(x)) = f(u)$
$f(u) = \log_{7}{u}$

$u = g(x) = x^3+e^x$

Si es que $f(g(x)) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Aplicando la fórmula de la regla de la cadena tenemos:

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{du} \left(f(u)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{du} \left(\log_{7}{u} \right) \cdot \frac{d}{dx}(x^3+e^x)$

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(\frac{1}{u \ln{(7)}} \right) \cdot (3x^2+e^x)$

Dado que $u = g(x)$ , sustituyamos $g(x)$ en $u$ :

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(\frac{1}{(x^3+e^x) \ln{(7)}} \right) \cdot (3x^2+e^x)$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(\frac{1}{(x^3+e^x) \ln{(7)}} \right) \cdot (3x^2+e^x)$

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(\frac{3x^2+e^x}{(x^3+e^x) \ln{(7)}} \right)$

Y la respuesta final es:

$F'(x) = \left(\frac{3x^2+e^x}{(x^3+e^x) \ln{(7)}} \right)$

EJERCICIO 6

Encuentra la derivada de $F(x) = \cot^{-1}{\left(\frac{x-1}{x+2} \right)}$ .

Solución

Si es que $g(x) = u$ , entonces

$f(g(x)) = f(u)$
$f(u) = \cot^{-1}{(u)}$

$u = g(x) = \frac{x-1}{x+2}$

Si es que $f(g(x)) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Aplicando la fórmula de la regla de la cadena tenemos:

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(x)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{du} \left(f(u)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{du} \left(\cot^{-1}{(u)} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x-1}{x+2} \right)$

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(-\frac{1}{u^2+1} \right) \cdot \left(\frac{2}{(x+1)^2} \right)$

Dado que $u = g(x)$ , sustituyamos $g(x)$ en $u$ :

$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(-\frac{1}{ \left(\frac{x-1}{x+1} \right)^2+1} \right) \cdot \left(\frac{2}{(x+1)^2} \right)$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$\frac{d}{dx} (F(x)) = -\frac{2}{\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^2+1 \right) \cdot (x+1)^2}$

$\frac{d}{dx} (F(x)) = -\frac{1}{x^2+1}$

Y la respuesta final es:

$F'(x) = -\frac{1}{x^2+1}$

EJERCICIO 7

Encuentra la derivada de $f(x) = \tan^{2}{(e^{3x})}$

Solución

Este es un caso más complejo ya que la función $H(x)$ es una composición de cuatro funciones.

Si es que $f(g(h(j(x)))) = u$ , entonces

$f(g(h(j(x)))) = f(u)$
$f(u) = u^2$

Si es que $g(h(j(x))) = v$ , entonces

$g(h(j(x))) = g(v)$
$g(v) = \tan{(v)}$

Si es que $h(j(x)) = w$ , entonces

$h(j(x)) = h(w)$
$h(w) = e^w$

$w = j(x) = 3x$

Si es que $f(g(h(j(x)))) = f(u)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [f(g(h(j(x))))] = \frac{d}{du} [f(u)]$

Si es que $g(h(j(x))) = g(v)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [g(h(j(x)))] = \frac{d}{dv} [g(v)]$

Si es que $h(j(x)) = h(w)$ , entonces

$\frac{d}{dx} [h(j(x))] = \frac{d}{dw} [h(w)]$

Ajustando nuestra fórmula de la regla de la cadena para la derivada de composiciones de cuatro funciones, tenemos

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(h(j(x)))) \right)$ $\cdot \frac{d}{dx} \left(g(h(j(x))) \right) \cdot \left(h(j(x)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(j(x))$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} \left(f(u)) \right) \cdot \frac{d}{dv} \left(g(v)) \right)$ $\cdot \frac{d}{dw} \left(h(w)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(j(x))$

Aplicando nuestra fórmula de la regla de la cadena ajustada para la derivada de la composición de cuatro funciones, tenemos

$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (u^2) \cdot \frac{d}{dv} \left(\tan{(v)})$ $\cdot \frac{d}{dw} \left(e^w) \cdot \frac{d}{dx}(3x)$

$\frac{d}{dx} (H(x)) = (2u) \cdot (\sec^{2}{(v)}) \cdot (e^w) \cdot (3)$

Dado que $u = g(h(j(x)))$ , $v = h(j(x))$ y $w = j(x)$ , hagamos las sustituciones:

$\frac{d}{dx} (H(x)) = (2(\tan{(e^{3x})})) \cdot (\sec^{2}{(e^{3x})}) \cdot (e^{3x}) \cdot (3)$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$\frac{d}{dx} (H(x)) = 2 \cdot 3 \cdot e^{3x} \cdot \tan{(e^{3x})} \cdot \sec^{2}{(e^{3x})}$

$H'(x) = 6 \cdot (e^{3x}) \cdot \tan{(e^{3x})} \cdot \sec^{2}{(e^{3x})}$

Y la respuesta final es:

$H'(x) = 6 \cdot (e^{3x}) \tan{(e^{3x})} \sec^{2}{(e^{3x})}$

Como puede observar en nuestra solución a este problema, derivando composiciones de cuatro funciones, se dará cuenta de por qué la regla de la cadena se acuñó a partir del término «cadena».

→ Calculadora de Derivadas

Regla de la Cadena – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes problemas de derivación y prueba tus conocimientos sobre este tema. Usa la fórmula de la regla de la cadena detallada arriba para resolver los ejercicios.