Los problemas de derivación que involucran la composición de funciones se pueden resolver usando la fórmula de la regla de la cadena. Esta fórmula nos permite derivar una composición de funciones como f(g(x)).
Aquí, veremos un resumen de la regla de la cadena. Además, exploraremos varios ejercicios con respuestas para comprender la aplicación de la fórmula de la regla de la cadena.
Resumen de la regla de la cadena
La regla de la cadena es una herramienta muy útil que se utiliza para derivar una composición de diferentes funciones. Es una regla que establece que la derivada de una composición de al menos dos tipos diferentes de funciones es igual a la derivada de la función exterior f(u) multiplicada por la derivada de la función interior g(x), donde u=g(x).
Esto nos da la fórmula de la regla de la cadena como:
![]() |
o en otra forma, se puede ilustrar como:
![]() |
en donde
la función exterior
, el dominio de la función externa
la derivada de la función exterior
en términos de
la derivada de la función interna
en términos de
Usamos esta fórmula para derivar funciones que tienen las siguientes formas:
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Regla de la Cadena – Ejercicios resueltos
Usando la fórmula detallada arriba, podemos derivar varias funciones que se escriben como composiciones. Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada.
EJERCICIO 1
Encuentra la derivada de .
Solución
Lo primero que debemos hacer es escribir la fórmula de la regla de la cadena para nuestra referencia:
Si eres principiante, se recomienda que identifiques las funciones involucradas en la composición. De lo contrario, puedes usar directamente la fórmula de la regla de la cadena con menos pasos, siempre que conozcas las derivadas de las funciones involucradas.
Suponiendo que eres principiante, identifiquemos las funciones involucradas a partir de la composición de funciones:
Tenemos lo siguiente
Si es que , entonces
Si es que , entonces
Aplicando la fórmula de la regla de la cadena tenemos:
Dado que , sustituyamos
en
:
Simplificando algebraicamente, tenemos
Y la respuesta final es:
EJERCICIO 2
Encuentra la derivada de .
Solución
Primero escribamos la fórmula de la regla de la cadena para nuestra referencia:
Identifiquemos las funciones involucradas a partir de la composición de funciones:
Tenemos
Dado que esta es una función radical, siempre se recomienda reescribirla de forma radical a exponente para que sea derivable. Reescribiendo, tenemos
Si es que , entonces
Si es que , entonces
Aplicando la fórmula de la regla de la cadena tenemos:
Dado que , sustituyamos
en
:
Simplificando algebraicamente, tenemos
Y la respuesta final es:
en forma radical
EJERCICIO 3
Encuentra la derivada de .
Solución
Si es que , entonces
Si es que , entonces
Aplicando la fórmula de la regla de la cadena, tenemos:
Dado que , sustituyamos
en
:
Simplificando algebraicamente, tenemos
Y la respuesta final es:
EJERCICIO 4
Encuentra la derivada de .
Solución
Si es que , entonces
Si es que , entonces
Aplicando la fórmula de la regla de la cadena, tenemos:
Since , let’s substitute
into
:
Simplificando algebraicamente, tenemos
Y la respuesta final es:
EJERCICIO 5
Encuentra la derivada de .
Solución
Si es que , entonces
Si es que , entonces
Aplicando la fórmula de la regla de la cadena tenemos:
Dado que , sustituyamos
en
:
Simplificando algebraicamente, tenemos
Y la respuesta final es:
EJERCICIO 6
Encuentra la derivada de .
Solución
Si es que , entonces
Si es que , entonces
Aplicando la fórmula de la regla de la cadena tenemos:
Dado que , sustituyamos
en
:
Simplificando algebraicamente, tenemos
Y la respuesta final es:
EJERCICIO 7
Encuentra la derivada de
Solución
Este es un caso más complejo ya que la función es una composición de cuatro funciones.
Si es que , entonces
Si es que , entonces
Si es que , entonces
Si es que , entonces
Si es que , entonces
Si es que , entonces
Ajustando nuestra fórmula de la regla de la cadena para la derivada de composiciones de cuatro funciones, tenemos
Aplicando nuestra fórmula de la regla de la cadena ajustada para la derivada de la composición de cuatro funciones, tenemos
Dado que ,
y
, hagamos las sustituciones:
Simplificando algebraicamente, tenemos
Y la respuesta final es:
Como puede observar en nuestra solución a este problema, derivando composiciones de cuatro funciones, se dará cuenta de por qué la regla de la cadena se acuñó a partir del término «cadena».
Regla de la Cadena – Ejercicios para resolver
Resuelve los siguientes problemas de derivación y prueba tus conocimientos sobre este tema. Usa la fórmula de la regla de la cadena detallada arriba para resolver los ejercicios.
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