Derivada de coseno al cuadrado, cos^2(x) – Demostración y Gráficas

La derivada del coseno al cuadrado es igual a menos el seno de 2x, -sin(2x). Podemos encontrar o probar esta derivada usando la regla de la cadena y las derivadas de las funciones trigonométricas fundamentales.

En este artículo, conoceremos cómo calcular la derivada de la función compuesta coseno al cuadrado. Veremos una demostración, la comparación gráfica del coseno al cuadrado de x con su derivada, y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de coseno al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada del coseno al cuadrado.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de coseno al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada del coseno al cuadrado.

Ver demostración

Demostración de la función derivada del coseno cuadrado usando la regla de la cadena

Si lo necesitas, recomendamos revisar la fórmula de la regla de la cadena, como requisito previo de este tema, visitando este enlace: Regla de la Cadena. Asimismo, puedes visitar este otro enlace para la demostración de la derivada del coseno: Derivada de Coseno, cos(x).

Ten en cuenta que

$latex \cos^{2}{(x)} \neq \cos{(x^2)}$

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa para encontrar la derivada de la función coseno al cuadrado.

Entonces, empezamos con la función:

$latex F(x) = \cos^{2}{(x)}$

Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función de potencia y una función trigonométrica en este escenario.

Para una representación más fácil, podemos reescribir como

$latex F(x) = \cos^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\cos{(x)})^2$

Ahora es muy claro que la función potencia dada es la función exterior, mientras que la función coseno al cuadrado por la función potencia dada es la función interior. Podemos establecer la función externa como

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \cos{(x)}$

Estableciendo la función coseno trigonométrica como la función interna de f(u) denotándola como g(x), tenemos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \cos{(x)}$

Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica coseno en términos de x, tenemos

$latex g(x) = \cos{(x)}$

$latex g'(x) = -\sin{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\sin{(x)})$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\cos{(x)})) \cdot (-\sin{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -2\cos{(x)}\sin{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = -2\sin{(x)}\cos{(x)}$

Aplicando las identidades de doble ángulo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = -(2\sin{(x)}\cos{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -(\sin{(2x)})$

Esto nos lleva a la fórmula del coseno al cuadrado x derivada.

$latex \frac{d}{dx} \cos^{2}{(x)} = -\sin{(2x)}$


Gráfica de coseno cuadrado de x vs. la derivada del coseno al cuadrado de x

La gráfica de la función

$latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$

es

Gráfica de coseno al cuadrado-cos^2x

Cuando derivamos a la función $latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = -\sin{(2x)}$

la cual tiene la siguiente gráfica

Gráfica de la derivada de-cos^2x

Comparando sus gráficas, tenemos:

Gráfica de coseno al cuadrado y su derivada

Usando estas gráficas, podemos ver que la función original $latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [0,1]$

mientras que la derivada $latex f'(x) = -\sin{(2x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-1,1]$


Ejemplos

En los siguientes ejemplos, podemos aprender cómo derivar funciones coseno cuadrado compuestas.

EJEMPLO 1

¿Cuál es la derivada de la función $latex f(x) = \cos^2(9x)$?

Solución

EJEMPLO 2

Encuentra la derivada de la función $latex F(x) = \cos^2(5x^3-6x)$.

Solución

Práctica de derivadas de funciones coseno cuadrado

Práctica de derivadas de coseno cuadrado
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Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas al cuadrado? Mira estas páginas:

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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