La derivada del coseno al cuadrado es igual a menos el seno de 2x, -sin(2x). Podemos encontrar o probar esta derivada usando la regla de la cadena y las derivadas de las funciones trigonométricas fundamentales.
En este artículo, conoceremos cómo calcular la derivada de la función compuesta coseno al cuadrado. Veremos una demostración, la comparación gráfica del coseno al cuadrado de x con su derivada, y algunos ejemplos.
Demostración de la función derivada del coseno cuadrado usando la regla de la cadena
Si lo necesitas, recomendamos revisar la fórmula de la regla de la cadena, como requisito previo de este tema, visitando este enlace: Regla de la Cadena. Asimismo, puedes visitar este otro enlace para la demostración de la derivada del coseno: Derivada de Coseno, cos(x).
Ten en cuenta que
$latex \cos^{2}{(x)} \neq \cos{(x^2)}$
Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa para encontrar la derivada de la función coseno al cuadrado.
Entonces, empezamos con la función:
$latex F(x) = \cos^{2}{(x)}$
Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función de potencia y una función trigonométrica en este escenario.
Para una representación más fácil, podemos reescribir como
$latex F(x) = \cos^{2}{(x)}$
$latex F(x) = (\cos{(x)})^2$
Ahora es muy claro que la función potencia dada es la función exterior, mientras que la función coseno al cuadrado por la función potencia dada es la función interior. Podemos establecer la función externa como
$latex f(u) = u^2$
en donde
$latex u = \cos{(x)}$
Estableciendo la función coseno trigonométrica como la función interna de f(u) denotándola como g(x), tenemos
$latex f(u) = f(g(x))$
$latex u = g(x)$
$latex g(x) = \cos{(x)}$
Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos
$latex f(u) = u^2$
$latex f'(u) = 2u$
Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica coseno en términos de x, tenemos
$latex g(x) = \cos{(x)}$
$latex g'(x) = -\sin{(x)}$
Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos
$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$
$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\sin{(x)})$
Sustituyendo u en f‘(u), tenemos
$latex \frac{dy}{dx} = (2(\cos{(x)})) \cdot (-\sin{(x)})$
$latex \frac{dy}{dx} = -2\cos{(x)}\sin{(x)}$
$latex \frac{dy}{dx} = -2\sin{(x)}\cos{(x)}$
Aplicando las identidades de doble ángulo, tenemos
$latex \frac{dy}{dx} = -(2\sin{(x)}\cos{(x)})$
$latex \frac{dy}{dx} = -(\sin{(2x)})$
Esto nos lleva a la fórmula del coseno al cuadrado x derivada.
$latex \frac{d}{dx} \cos^{2}{(x)} = -\sin{(2x)}$
Gráfica de coseno cuadrado de x vs. la derivada del coseno al cuadrado de x
La gráfica de la función
$latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$
es
Cuando derivamos a la función $latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$, obtenemos
$latex f'(x) = -\sin{(2x)}$
la cual tiene la siguiente gráfica
Comparando sus gráficas, tenemos:
Usando estas gráficas, podemos ver que la función original $latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$ tiene un dominio de
$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales
y existe dentro del rango de
$latex [0,1]$
mientras que la derivada $latex f'(x) = -\sin{(2x)}$ tiene un dominio de
$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales
y existe dentro del rango de
$latex [-1,1]$
Ejemplos
En los siguientes ejemplos, podemos aprender cómo derivar funciones coseno cuadrado compuestas.
EJEMPLO 1
¿Cuál es la derivada de la función $latex f(x) = \cos^2(9x)$?
Solución
Esta es una función coseno cuadrado compuesta, en donde 6x es la función interna. Entonces, podemos usar la regla de la cadena para derivarla.
Al escribir a la función interna como $latex u=6x$, tenemos $latex f(u)=\cos^2(u)$. Entonces, usamos la regla de la cadena de la siguiente forma:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\sin(2u) \times 9$$
Sustituyendo $latex u=9x$ de vuelta en la función, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=-9\sin(18x)$$
EJEMPLO 2
Encuentra la derivada de la función $latex F(x) = \cos^2(5x^3-6x)$.
Solución
En este caso, la función interna es $latex u=5x^3-6x$. Entonces, tenemos a la función externa como $latex f (u) = \cos^2(u)$.
Empezamos encontrando la derivada de la función externa
$$\frac{d}{du} ( \cos^2(u) ) = -\sin(2u)$$
Luego, encontramos la derivada de la función interna $latex g(x)=u=5x^3-6x$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(5x^3-6x)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 15x^2-6$$
Aplicamos la regla de la cadena al multiplicar la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = -\sin(2u) \cdot (15x^2-6)$$
Por último, substituimos $latex u=5x^3-6x$ y simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = -\sin(2(5x^3-6x)) \cdot (15x^2-6)$$
$$\frac{dy}{dx} = -(15x^2-6)\sin(10x^3-12x)$$
Práctica de derivadas de funciones coseno cuadrado
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas al cuadrado? Mira estas páginas:
- Derivada de seno al cuadrado, sin^2(x) – Demostración y Gráficas
- Derivada de tangente al cuadrado, tan^2(x) – Demostración y Gráficas
- Derivada de secante al cuadrado, sec^2(x) – Demostración y Gráficas
- Derivada de cosecante al cuadrado, csc^2(x) – Demostración y Gráficas
- Derivada de cotangente al cuadrado, cot^2(x) – Demostración y Gráficas
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
