La mayoría de las fórmulas del área de un triángulo piden la altura, y la altura suele ser justo el dato que no tienes. La fórmula de Herón se salta ese paso: le das las longitudes de los tres lados y te devuelve el área, sin medir nada más y sin calcular ángulos.
Lleva el nombre de Herón de Alejandría, un matemático e ingeniero que la describió en el siglo I. A continuación verás qué dice la fórmula, por qué funciona, cómo aplicarla paso a paso y en qué se equivocan más los estudiantes. Empieza arrastrando los vértices del triángulo: la fórmula se calcula en vivo mientras los mueves.
La fórmula de Herón
Llamemos $latex a$, $latex b$ y $latex c$ a los lados. Primero se calcula el semiperímetro, que es la mitad del perímetro:
$$s=\frac{a+b+c}{2}$$
Después, el área es:
$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
Léela como cuatro números multiplicados dentro de una sola raíz cuadrada: $latex s$ y las tres diferencias $latex s-a$, $latex s-b$ y $latex s-c$. Cada diferencia debe ser positiva. Es la desigualdad triangular disfrazada: un triángulo existe solo si cada lado es menor que la suma de los otros dos.
Si prefieres no calcular $latex s$, la misma fórmula escrita directamente con los lados es:
$$A=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$$
Cómo usarla paso a paso
- Verifica que los lados forman un triángulo: los dos lados menores deben sumar más que el lado mayor.
- Calcula el semiperímetro $latex s=(a+b+c)/2$.
- Calcula las tres diferencias $latex s-a$, $latex s-b$ y $latex s-c$.
- Multiplica los cuatro números $latex s$, $latex s-a$, $latex s-b$ y $latex s-c$.
- Saca la raíz cuadrada y escribe el resultado en unidades cuadradas.
Conserva el producto exacto hasta el final y redondea solo la respuesta. Redondear las diferencias antes de tiempo es la forma más fácil de perder una cifra decimal.
Por qué funciona
La demostración usa dos hechos que ya conoces: el área $latex A=\frac{1}{2}ab\sin C$ y la ley de cosenos $latex c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$. Se eleva el área al cuadrado y se usa $latex \sin^2 C=1-\cos^2 C$:
$$16A^2=4a^2b^2\sin^2 C=4a^2b^2-(2ab\cos C)^2=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2$$
El lado derecho es una diferencia de cuadrados, así que se factoriza:
$$16A^2=\big(c^2-(a-b)^2\big)\big((a+b)^2-c^2\big)=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$$
Cada factor es el doble de uno de nuestros números: $latex a+b+c=2s$, $latex b+c-a=2(s-a)$, $latex a+c-b=2(s-b)$ y $latex a+b-c=2(s-c)$. Al multiplicarlos queda $latex 16A^2=16\,s(s-a)(s-b)(s-c)$; dividir entre 16 y sacar la raíz da la fórmula de Herón.
Las diferencias también tienen un significado geométrico: $latex s-a$ es la distancia del vértice A a los puntos donde la circunferencia inscrita toca los dos lados que se unen en A. Lo mismo vale para $latex s-b$ y $latex s-c$.
Ejercicios resueltos de la fórmula de Herón
Intenta resolver cada problema por tu cuenta y luego abre la solución para comparar.
EJERCICIO 1
Encuentra el área de un triángulo con lados de 13, 14 y 15.
Solución
Los lados forman un triángulo porque 13 + 14 es mayor que 15. El semiperímetro es:
$$s=\frac{13+14+15}{2}=\frac{42}{2}=21$$
Ahora las diferencias y el producto:
$$A=\sqrt{21\cdot(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$$
El área es de 84 unidades cuadradas. Los números salen limpios porque es el clásico triángulo 13-14-15, y puedes comprobarlo en la herramienta de arriba.
EJERCICIO 2
Un triángulo tiene lados de 7 cm, 8 cm y 9 cm. Calcula su área.
Solución
$$s=\frac{7+8+9}{2}=12$$
$$A=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}\approx 26.83$$
El área es de aproximadamente 26.83 cm². Cuando la raíz no es exacta, da el decimal e indica cuántas cifras conservaste.
EJERCICIO 3
Un triángulo tiene lados de 10, 17 y 21. Encuentra su área y la altura trazada al lado mayor.
Solución
$$s=\frac{10+17+21}{2}=24$$
$$A=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=\sqrt{7056}=84$$
El lado mayor mide 21, así que lo usamos como base en $latex A=\frac{1}{2}bh$:
$$84=\frac{1}{2}\cdot 21\cdot h\quad\Rightarrow\quad h=\frac{2\cdot 84}{21}=8$$
La altura al lado de 21 mide 8. Así se usa la fórmula de Herón para hallar una altura cuando solo se conocen los lados.
EJERCICIO 4
Un jardín triangular tiene lados de 52 m, 56 m y 60 m. Una bolsa de semilla de pasto cubre 150 m². ¿Cuántas bolsas se necesitan?
Solución
$$s=\frac{52+56+60}{2}=84$$
$$A=\sqrt{84\cdot 32\cdot 28\cdot 24}=\sqrt{256\cdot 7056}=16\cdot 84=1344$$
El jardín tiene un área de 1344 m². Como $latex 1344\div 150=8.96$, se necesitan 9 bolsas (se redondea hacia arriba, porque con 8 quedaría una parte sin sembrar).
Observa que los lados son exactamente cuatro veces los del triángulo 13-14-15, así que el área es 16 veces mayor: 16 × 84 = 1344.
EJERCICIO 5
¿Existe un triángulo con lados de 3, 4 y 8? ¿Qué indica la fórmula de Herón?
Solución
No. Los dos lados menores suman 3 + 4 = 7, que es menos que 8. La fórmula lo avisa: $latex s=7.5$ y $latex s-c=7.5-8=-0.5$, así que el número dentro de la raíz es negativo.
Un resultado negativo dentro de la raíz siempre significa que las tres longitudes no pueden formar un triángulo.
¿Fórmula de Herón u otra fórmula?
| Lo que conoces | Fórmula que conviene |
|---|---|
| Base y altura | $latex A=\frac{1}{2}bh$ |
| Dos lados y el ángulo entre ellos | $latex A=\frac{1}{2}ab\sin C$ |
| Los tres lados | Fórmula de Herón |
| Coordenadas de los tres vértices | La fórmula del determinante (o de la lazada) |
| Triángulo equilátero de lado $latex a$ | $latex A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ |
Atajos y usos reales
La fórmula de Herón también da atajos. En un triángulo isósceles con dos lados iguales de longitud $latex a$ y base $latex b$, las diferencias se simplifican y el área queda así:
$$A=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$$
Con lados de 10, 10 y 12 resulta $latex \frac{12}{4}\sqrt{400-144}=3\cdot 16=48$, el mismo triángulo del tercer ejemplo preestablecido de la herramienta de arriba.
Los topógrafos usan esta misma idea. Un terreno irregular se divide en triángulos, se miden con cinta o con láser los tres lados de cada uno, y la fórmula de Herón da cada área sin que nadie tenga que ponerse en ángulo recto con un lado. Al sumar las partes obtienes el área de todo el terreno.
El orden de los lados no importa. La fórmula es simétrica en $latex a$, $latex b$ y $latex c$, así que puedes nombrarlos en cualquier orden y el área será la misma.
Errores comunes
- Usar el perímetro en lugar del semiperímetro. En el triángulo 13-14-15 pondrías 42 en vez de 21 y el resultado saldría mal.
- Olvidar la raíz cuadrada al final y escribir 7056 en lugar de 84.
- Redondear $latex s$ o las diferencias demasiado pronto. Conserva fracciones o decimales completos hasta el último paso.
- Mezclar unidades, por ejemplo un lado en metros y otro en centímetros.
- No verificar que existe el triángulo. Si alguna diferencia es cero o negativa, no hay triángulo (con una diferencia igual a cero queda un triángulo plano de área 0).
Ejercicios de la fórmula de Herón para resolver
Usa los pasos de arriba. Abre cada respuesta cuando estés listo.
1. Encuentra el área de un triángulo con lados de 5, 12 y 13.
Respuesta
$latex s=15$ y $latex A=\sqrt{15\cdot 10\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{900}=30$. El área es de 30 unidades cuadradas (es un triángulo rectángulo y $latex \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$ coincide).
2. Encuentra el área de un triángulo con lados de 9, 10 y 17.
Respuesta
$latex s=18$ y $latex A=\sqrt{18\cdot 9\cdot 8\cdot 1}=\sqrt{1296}=36$. El área es de 36 unidades cuadradas.
3. Encuentra el área de un triángulo equilátero de 6 cm de lado.
Respuesta
$latex s=9$ y $latex A=\sqrt{9\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\sqrt{243}=9\sqrt{3}\approx 15.59$. El área es de unos 15.59 cm².
4. Encuentra el área de un triángulo con lados de 25, 29 y 36.
Respuesta
$latex s=45$ y $latex A=\sqrt{45\cdot 20\cdot 16\cdot 9}=\sqrt{129600}=360$. El área es de 360 unidades cuadradas.
5. El triángulo de lados 13, 14 y 15 tiene área 84. ¿Cuánto mide la altura trazada al lado de 15?
Respuesta
$latex h=\frac{2A}{15}=\frac{168}{15}=11.2$. La altura mide 11.2 unidades.
6. ¿Existe un triángulo con lados de 4, 5 y 10?
Respuesta
No. $latex 4+5=9$ es menor que 10. En la fórmula, $latex s=9.5$ y $latex s-c=-0.5$, así que el producto dentro de la raíz es negativo.
Preguntas frecuentes
¿La fórmula de Herón sirve para cualquier triángulo?
Sí: acutángulo, rectángulo u obtusángulo. El único requisito es que las tres longitudes puedan formar un triángulo.
¿El resultado es exacto o aproximado?
La fórmula es exacta. Cualquier aproximación viene de redondear una raíz cuadrada. En triángulos casi planos con lados muy largos, las calculadoras usan una forma equivalente que ordena los lados primero, para que restar números casi iguales no pierda cifras.
¿Puedo usarla con una figura de cuatro lados?
No directamente. Divide la figura en dos triángulos con una diagonal, aplica la fórmula de Herón a cada uno y suma las áreas. Para eso necesitas la longitud de la diagonal.
¿Por qué se llama semiperímetro?
Porque $latex s$ es la mitad del perímetro. Es el número natural para esta fórmula: $latex s-a$ también es la distancia de un vértice a los puntos donde la circunferencia inscrita toca los lados.
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