El teorema de Pitágoras es quizás uno de los teoremas más importantes en las matemáticas. Existen una gran variedad de pruebas que pueden ser usadas para demostrar el teorema de Pitágoras. Sin embargo, las más importantes son la demostración de Pitágoras, la demostración de Euclides, la demostración a través del uso de triángulos semejantes y la demostración a través del uso de álgebra.
A continuación, conoceremos un poco de historia de este teorema. Además, aprenderemos cómo demostrarlo usando varios métodos.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Conocer sobre la historia y las demostraciones del teorema de Pitágoras.
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Historia del teorema de Pitágoras
Pitágoras de Samos (569-500 a. C.) nació en la isla de Samos en Grecia y viajó mucho por Egipto, aprendiendo matemáticas y otras cosas. Se desconocen más detalles sobre cómo fueron sus primeros años. Pitágoras empezó a ser reconocido y a formarse un estatus al fundar un grupo conocido como la Hermandad de Pitágoras, que tenía como objetivo al estudio de las matemáticas.
La hermandad de Pitágoras tenía varios aspectos de un culto como por ejemplo, símbolos, rituales y oraciones. Además, Pitágoras creía que «el número gobierna el universo», y los miembros del grupo de Pitágoras dieron valores numéricos a muchos objetos e ideas. Estos valores numéricos, a su vez, estaban dotados de cualidades místicas y espirituales.
Una leyenda cuenta que cuando Pitágoras termino su famoso teorema, él sacrificó 100 bueyes. A pesar de que este teorema es atribuido a Pitágoras, no es posible conocer con certeza si es que él fue verdaderamente el autor real. El grupo de la Hermandad de Pitágoras trabajó en muchas pruebas geométricas, pero es difícil saber quién probó qué, ya que el grupo siempre trató de mantener en secreto sus hallazgos.
Desafortunadamente, este voto de secreto evitó que se conociera públicamente sobre una idea matemática importante. La Hermandad de Pitágoras había descubierto los números irracionales. Cuando consideramos a un triángulo rectángulo isósceles con catetos de medida 1, la hipotenusa medirá la raíz cuadrada 2.
Sin embargo, sabemos que este número no puede ser expresado como una longitud que se puede medir con partes fraccionarias, y eso perturbó profundamente a los pitagóricos, que creían que «Todo es número».
Demostración de Pitágoras
Vamos a empezar con el siguiente triángulo:
Este triángulo tiene catetos con longitudes a y b y una hipotenusa con longitud c. Ahora, Usamos cuatro de estos triángulos para formar un cuadrado que tiene lados de longitud $latex a+b$ como se muestra en la siguiente imagen:
Dado que la hipotenusa de estos triángulos es igual a c, los lados del cuadrado interno también son iguales a c y su área es igual a $latex {{c}^2}$.
Ahora, también podemos organizar a los triángulos de la siguiente manera y formar dos cuadrados que tienen áreas $latex {{a}^2}$ y $latex {{b}^2}$.
Entonces, sabemos que el área de ambos cuadrados grandes es la misma en ambos casos. Además, también sabemos que los cuatro triángulos son los mismos en ambos casos. Esto significa que el área de los cuadrados $latex {{a}^2}$ y $latex {{b}^2}$ es igual al área del cuadrado $latex {{c}^2}$. Es decir, tenemos:
$latex {{a}^2}+{{b}^2}={{c}^2}$
Demostración de Euclides
En el siguiente diagrama, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo que tiene un ángulo recto en A.
De acuerdo con el teorema de Pitágoras, el cuadrado del lado BC es igual a la suma de los cuadrados de los lados BA y AC.
Trazamos la línea AL que vaya desde A y sea paralela a los lados BD y CE. Además, también trazamos las líneas AD y FC.
Debido a que el ángulo BAC y el ángulo BAG son ángulos rectos, las líneas CA y AG forman una línea recta. Por la misma razón, las líneas BA y AH también forman una línea recta.
Ahora, dado que los ángulos DBC y FBA son rectos, podemos sumar el ángulo ABC a cada uno y eso significa que los ángulos DBA y FBC son iguales.
Además, debido a que el segmento DB es igual a BC, y el segmento FB es igual a BA, los lados AB y BD son iguales a los lados FB y BC respectivamente. También, el ángulo ABD es igual al ángulo FBC, por lo que la base AD es igual a la base FC y el triángulo ABD es igual al triángulo FBC.
Observamos que el paralelogramo BL es el doble del triángulo ABD ya que comparten la misma base BD y están en los mismos segmentos paralelos BD y AL, lo que significa que la altura del triángulo es igual a la altura del paralelogramo. Además, el cuadrado GB es el doble del triángulo FBC ya que tienen la misma base FB y están en los mismos segmentos paralelos FB y CG.
Por lo tanto, el paralelogramo BL es igual al cuadrado GB.
Siguiendo este mismo proceso, podemos formar los segmentos AE y BK para demostrar que el paralelogramo CL es igual al cuadrado HC. Esto significa que el cuadrado BDEC es igual a la suma de los cuadrados GB y HC.
Considerando que el cuadrado BDEC está descrito por el lado BC y los cuadrados GB y HC están descritos por los lados BA y AC respectivamente, tenemos que el cuadrado del lado BC (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de BA y AC (catetos).
Demostración usando triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes comparten las mismas medidas y sus lados correspondientes tienen las mismas proporciones.
Usamos los siguientes triángulos semejantes:
El triángulo ABD y el triángulo ABC tienen las siguientes características:
- ∠A = ∠A estos ángulos son comunes
- ∠ADB = ∠ABC ambos ángulos son ángulos rectos
Vemos que estos triángulos comparten dos ángulos. Además, sabemos que todos los triángulos tienen una suma interna de ángulos igual a 180°, lo que significa que, si es que dos triángulos tienen dos ángulos con las mismas medidas, el tercer ángulo también debe tener las mismas medidas.
Entonces, podemos deducir que los triángulos ABD y ABC tienen los mismos ángulos. Esto significa que estos triángulos son semejantes. De igual forma, podemos probar que los triángulos BCD y ACB son semejantes.
Dado que los triángulos ABD y ACB son semejantes, tenemos las proporciones $latex \frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$. Podemos reescribir esto y decir que $latex AD\times AC={{AB}^2}$.
De igual forma, los triángulos BCD y ACB son semejantes, por lo que tenemos las proporciones $latex \frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$. Podemos reescribir esto y decir que $latex CD\times AC={{BC}^2}$.
Usando estas dos ecuaciones, podemos llegar a la conclusión de que $latex {{AC}^2}={{AB}^2}+{{BC}^2}$. Hemos demostrado el teorema de Pitágoras.
Demostración usando álgebra
Para demostrar el teorema de Pitágoras usando álgebra, tenemos que usar cuatro copias de un triángulo rectángulo que tienen los lados a y b organizados alrededor de un cuadrado central que tiene lados de longitud c como se muestra en el siguiente diagrama.
En este diagrama, b es la base de los triángulos, a es la altura y c es la hipotenusa. Al organizar los triángulos como se muestra en el diagrama, formamos un cuadrado grande que tiene lados de longitud $latex a+b$.
El área del cuadrado central formado por las hipotenusas de los triángulos es igual a $latex {{c}^2}$. Además, el área del cuadrado con lados $latex a+b$ es igual al área de los cuatro triángulos más el área del cuadrado central con lados de c. Es decir, tenemos:
$latex {{(a+b)}^2}=4(\frac{1}{2}\times a\times b)+{{c}^2}$
$latex {{a}^2}+{{b}^2}+2ab=2ab+{{c}^2}$
$latex {{a}^2}+{{b}^2}={{c}^2$
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
