El teorema de Pitágoras 3D es una extensión del teorema de Pitágoras 2D que se puede utilizar para resolver problemas en tres dimensiones, como cubos y pirámides rectangulares. En tres dimensiones, la fórmula general del teorema de Pitágoras en 3D es $latex {{c}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$, donde x, y, z son las longitudes correspondientes de las tres dimensiones.
En esta lección, examinaremos cómo funciona el teorema de Pitágoras en tres dimensiones. También veremos la demostración y ejemplos con soluciones.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender sobre el teorema de Pitágoras en 3D con ejercicios.
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Fórmula y demostración del teorema de Pitágoras en 3D
El teorema de Pitágoras es una fórmula que se puede usar para calcular las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras nos dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Recuerda que la hipotenusa es el lado del triángulo opuesto al ángulo recto (90°) y los catetos son los otros dos lados del triángulo. El siguiente triángulo se utilizará para mostrar esto:
En este triángulo, la fórmula del teorema de Pitágoras es:
| $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$ |
Esta fórmula es válida en 2D, ¿qué tal en 3D?
Imagina un cubo y queremos encontrar la longitud de la diagonal, es decir, la distancia desde la esquina frontal izquierda inferior hasta la esquina superior derecha de la parte trasera (de A a B):
Podemos dibujar un triángulo rectángulo en la cara inferior del prisma. Asignamos c, x y y como los tres lados del triángulo rectángulo.
En el diagrama de arriba, podemos identificar un triángulo rectángulo donde podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar a c.
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$
$latex {{c}^2}={{x}^2}+{{y}^2}$
$latex {c}= \sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$
Queremos encontrar la longitud de h. Para encontrar la longitud de h, podemos usar el valor de c como uno de los catetos de otro triángulo rectángulo, formado por c, h, y z.
Aquí está la solución a continuación:
$latex h^2={{c}^2}+{{z}^2}$
$latex h^2=(\sqrt{(x^2+y^2))^2}+z^2$
$latex h^2={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$
Ahora podemos derivar una fórmula general usando el resultado final de la solución.
La fórmula del Teorema de Pitágoras 3D es:
| $latex {{c}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$ |
Ejercicios del teorema de Pitágoras en 3D resueltos
Podemos resolver diferentes situaciones del teorema de Pitágoras en 3D utilizando la fórmula que se muestra arriba. Hay una solución completa para cada uno de los siguientes ejemplos.
EJERCICIO 1
Encuentra la longitud de c en el cubo de abajo.
Solución
Primero, tenemos que identificar los tres lados y cada longitud correspondiente del cubo. En este caso, las tres longitudes son iguales a 4 unidades.
Ahora, podemos usar directamente la fórmula del teorema de Pitágoras en 3D y sustituir cada valor en la fórmula.
$latex {{c}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$
$latex {{c}^2}={{(4)}^2}+{{(4)}^2}+{{(4)}^2}$
$latex {{c}^2}=16 + 16 +16$
$latex c = \sqrt{48}$
$latex c = {4}\sqrt{3}$
Entonces, la longitud de c es $latex {4}\sqrt{3}$.
EJERCICIO 2
Encuentra la longitud de h en el prisma de abajo.
Solución
Primero, tenemos que identificar los tres lados y cada longitud correspondiente. En este caso tenemos 2, 3 y 4 unidades. Ahora, podemos usar directamente la fórmula del teorema de Pitágoras en 3D y sustituir los valores en la fórmula.
$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$
$latex {{h}^2}={{(2)}^2}+{{(3)}^2}+{{(4)}^2}$
$latex {{h}^2}=4 + 9 +16$
$latex h = \sqrt{29}$
Entonces, la longitud de h es $latex \sqrt{29}$.
EJERCICIO 3
Encuentra la longitud de h en este prisma a continuación.
Solución
De manera similar, tenemos que identificar los tres lados y sus respectivas longitudes de 2, 3 y $latex 2\sqrt{3}$ unidades. Ahora podemos usar la fórmula del teorema de Pitágoras en 3D directamente.
Sustituimos estos valores en la fórmula:
$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$
$latex {{h}^2}={{(2)}^2}+{{(3)}^2}+{{(2\sqrt{3})}^2}$
$latex {{h}^2}=4 + 9 +12$
$latex h = \sqrt{25}$
$latex h = 5$
Entonces, la longitud de h es 5.
EJERCICIO 4
Encuentra la longitud de h, en el siguiente diagrama.
Solución
De manera similar, tenemos que identificar los tres lados y sus respectivas longitudes de 2, 3 y $latex 2\sqrt{3}$ unidades. Ahora podemos usar la fórmula pitagórica 3D directamente.
Sustituimos estos valores en la fórmula:
$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$
$latex {{h}^2}=(2)^2+(3\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^2$
$latex {{h}^2}=4 + 27 +12$
$latex h = \sqrt{43}$
Entonces, la longitud de h es $latex \sqrt{43}$.
EJERCICIO 5
Encuentra la longitud de x del cubo en el siguiente diagrama.
Solución
En este caso, tenemos que resolver esto usando un enfoque diferente dado que no tenemos las longitudes de los lados del cubo.
Vemos que la hipotenusa del cubo es $latex 2\sqrt{3}$ unidades. Entonces, tenemos que recordar que el cubo tiene tres lados idénticos:
Digamos x=y=z
Podemos derivar ahora una nueva forma del teorema de Pitágoras en 3D usando esos lados idénticos:
$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$
$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{x}^2}+{{x}^2}$
$latex {{h}^2}={{3x}^2}$
Ahora, podemos sustituir el valor dado:
$latex {{3x}^2}={{h}^2}$
$latex {{3x}^2}={{({2}\sqrt{3})}^2}$
$latex {{x}^2}=\frac{{({{2}\sqrt{3})}^2}}{3}$
$latex {{x}^2}=\frac{12}{3}$
$latex {{x}^2}= 4$
$latex {x}= 2$
Por lo tanto, la longitud de cada lado del cubo es 2 unidades.
EJERCICIO 6
Encuentra la longitud de la diagonal del cubo que tiene los tres lados con una longitud de 3 mm.
Solución
Dado que es un cubo, todos los lados tienen la misma longitud. Por lo tanto, podemos usar la fórmula del teorema de Pitágoras en 3D para encontrar la longitud de la diagonal usando la longitud de 3 para los tres lados.
Sustituimos estos valores en la fórmula:
$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$
$latex {{h}^2}={{(3)}^2}+{{(3)}^2}+{{(3)}^2}$
$latex {{h}^2}=9 + 9+ 9 $
$latex h = \sqrt{27}$
$latex h= 3\sqrt{3}$
Entonces, la longitud de h es $latex 3\sqrt{3}$ mm.
Ejercicios del teorema de Pitágoras 3D para resolver
Pon a prueba tus conocimientos sobre este tema resolviendo las siguientes preguntas sobre el teorema de Pitágoras en 3D. Para responder los ejercicios, use la fórmula del teorema de Pitágoras en 3D descrita anteriormente.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre el teorema de Pitágoras? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
