Demostración de la Regla del Producto de Derivadas

¿Qué es la regla del producto?

La regla del producto se define como la derivada del producto de al menos dos funciones. La regla del producto se puede utilizar para derivar cualquier producto dado de funciones como:

$latex (fg)'(x) = \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x))$

donde f(x) y g(x) pueden ser equivalentes a cualquier tipo de función.

Pero, ¿cómo derivamos exactamente esa función dada usando la regla del producto?

La regla del producto establece que la derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función f(x) en su forma original multiplicada por la derivada de la segunda función g(x) y luego sumada a la forma original de la segunda función g(x) multiplicada por la derivada de la primera función f(x).

Para ilustrarlo mejor, cuando queremos obtener la derivada de fg(x) o la derivada del producto de f(x) y g(x), tenemos:

$$(fg)'(x) = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)$$

Fácil, ¿verdad? Pero no debemos tomar esta fórmula a la ligera si pretendemos poder derivar cualquier producto de funciones.

Para aprender y comprender los conceptos detrás del desarrollo de esta fórmula de la regla del producto, debemos estar familiarizados con cualquier demostración que satisfaga la regla del producto.

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Demostración de la regla del producto usando límites

Para esta demostración, se recomienda que se familiarice con los temas La pendiente de una recta tangente y Derivadas usando límites, como requisitos previos para comprender mejor esta demostración.

Podemos recordar que

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Al aplicar límites, podemos derivar una función f(x). Pero, ¿qué tal un producto de dos funciones f(x) y g(x)?

Por ejemplo, nos tenemos dos funciones f(x) y g(x) y luego, se nos pide obtener la derivada de fg(x). Es decir, tenemos

$$(fg)'(x) = \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x))$$

Para derivar el producto de estas dos funciones usando límites, supongamos que tenemos

$latex \Upsilon(x) = f(x) \cdot g(x)$

Entonces,

$$\Upsilon'(x) = \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x))$$

y podemos derivar esto de la siguiente manera:

$$\Upsilon'(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{\Upsilon(x+h)-\Upsilon(x)}{h}}$$

Al sustituir la ecuación $latex \Upsilon(x) = f(x) \cdot g(x)$, tenemos:

$$\Upsilon'(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h) \cdot g(x+h) – f(x) \cdot g(x)}{h}}$$

lo cual puede ser escrito como:

$$\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) =\lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h) \cdot g(x+h) – f(x) \cdot g(x)}{h}}$$

Esto representa la derivada de un producto en términos de límites. Ahora, esta ecuación no se puede manipular algebraicamente fácilmente para llegar a la fórmula de la regla del producto que estamos tratando de demostrar.

Sin embargo, podemos sumar y restar $latex f(x+h) \cdot g(x)$ al numerador. Por lo tanto, tenemos

$$\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) =\lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h) \cdot g(x+h) – f(x+h) \cdot g(x) + f(x+h) \cdot g(x) – f(x) \cdot g(x)}{h}}$$

Dado que $latex + f(x+h) \cdot g(x) – f(x+h) \cdot g(x) = 0$, no cambiamos la expresión en absoluto.

Ahora, podemos factorizar $latex f(x+h)$ de los dos primeros términos y $latex g(x)$ de los dos últimos términos. Entonces, podemos dividir la expresión en dos partes y, simplificando, tenemos,

$$\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h) \cdot (g(x+h)-g(x))}{h}+\lim \limits_{h \to 0} \frac{g(x) \cdot (f(x+h)-f(x))}{h}}$$

$$\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = \lim \limits_{h \to 0} {f(x+h) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\lim \limits_{h \to 0} g(x) \cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Al aplicar las propiedades de los límites para resolver la ecuación, tenemos

$$\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = \lim \limits_{h \to 0} {f(x+h)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}+ \lim \limits_{h \to 0} {g(x)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Los límites $latex \lim \limits_{h \to 0} {f(x+h)}$ y $latex \lim \limits_{h \to 0} {g(x)}$ pueden resolverse fácilmente. Cuando h tiende a cero, simplemente obtendremos $latex f(x)$ y $latex g(x)$ respectivamente.

Los límites $latex \lim \limits_{h \to 0} {\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}$ y $latex \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ parecen más complicados, pero son simplemente las derivadas de $latex g(x)$ y $latex h(x)$ expresadas en límites. Por lo tanto, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f(x) \cdot \frac{d}{dx}(g(x)) + g(x) \cdot \frac{d}{dx}(f(x))$$

o podemos expresar esto simplemente como

$latex (fg)'(x) = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)$

que ahora es la fórmula de la regla del producto.

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Demostración de la regla del producto usando la regla de la cadena

Este método de demostración hace que la regla del producto sea más fácil de probar y formular. Por lo tanto, se recomienda que se familiarice con los temas La fórmula de la regla de la cadena, La suma/diferencia de derivadas como requisitos previos para comprender mejor esta demostración.

Podemos recordar que la fórmula de la regla de la cadena es

$$\frac{d}{dx}[(f(x))^n] = n \cdot (f(x))^{n-1} \cdot \frac{d}{dx}(f(x))$$

Para facilitar la derivación de la regla del producto, podemos considerar la siguiente expresión:

$latex \Upsilon(x) = {{(f+g)}^2}$

donde f y g son dos funciones válidas.

Vamos a derivar $latex \Upsilon(x)$ aplicando la regla de la cadena. Por lo tanto, tenemos:

$latex \Upsilon'(x)= 2(f+g)(f’+g’)$

Si multiplicamos y expandimos los paréntesis, tenemos:

$latex \Upsilon'(x)= 2(ff’+fg’+gf’+gg’)$

$latex = 2ff’+2fg’+2gf’+2gg’$

Ahora, en lugar de usar la regla de la cadena, podemos expandir la expresión $latex {{(f+g)}^2}$ para obtener:

$latex \Upsilon(x) = {{f}^2}+fg+{{g}^2}$

Si diferenciamos término por término, obtenemos:

$latex \Upsilon'(x)= 2ff’+2(fg)’+2gg’)$

Como las dos expresiones que obtuvimos para $latex \Upsilon'(x)$ son equivalentes, tenemos:

$$2ff’+2(fg)’+2gg’)= 2ff’+2fg’+2gf’+2gg’$$

$latex (fg)’= fg’+gf’$

Claramente hemos llegado a la regla del producto.

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Demostración de la regla del producto usando diferenciación logarítmica

Un tercer método que podemos usar para demostrar la regla del producto es usar la diferenciación logarítmica y la diferenciación implícita. Este es un método más rápido pero requiere que esté familiarizado con ambos temas.

Podemos empezar escribiendo la siguiente expresión:

$latex y=f(x)g(x)$

Ahora, podemos tomar el logaritmo natural de ambos lados:

$latex \ln(y)=\ln(f(x)g(x))$

Usando las leyes de los logaritmos en el lado derecho, podemos escribir:

$latex \ln(y)=\ln f(x)+\ln g(x)$

Tomando la derivada de ambos lados, tenemos:

$$\frac{y’}{y}=\frac{f'(x)}{f(x)}+\frac{g'(x)}{g(x)}$$

Resolviendo para $latex y’$, tenemos:

$$y’=y\left(\frac{f'(x)}{f(x)}+\frac{g'(x)}{g(x)}\right)$$

Ahora, podemos sustituir $latex y=f(x)g(x)$ para obtener:

$$(fg)’=f(x)g(x)\left(\frac{f'(x)}{f(x)}+\frac{g'(x)}{g(x)}\right)$$

Si multiplicamos y expandimos los paréntesis, obtenemos:

$latex (fg)’=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)$

Hemos llegado a la regla del producto.

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Veáse también

¿Interesado en obtener más información sobre la regla del producto? Echa un vistazo a estas páginas:

• Regla del Producto – Fórmula, Demostración y Ejemplos
• Regla del Producto – Ejercicios Resueltos y para Resolver