Recta tangente a una curva – Ejercicios resueltos

Para encontrar la ecuación de la tangente, podemos usar la forma $latex y=mx+b$, en donde m es la pendiente y b es el intercepto en y.

La pendiente de la recta tangente es encontrada al evaluar a la derivada de la función en el punto dado. Es decir, la pendiente es igual a $latex f'(1)$. Entonces, tenemos:

$latex f(x)=x^2$

$latex f'(x)=2x$

$latex m=f'(1)=2(1)$

$latex m=2$

Hasta ahora, tenemos la ecuación $latex y=2x+b$. Encontramos el valor de b usando el punto (1, 3) en la ecuación:

$latex y=2x+b$

$latex 3=2(1)+b$

$latex b=1$

La ecuación de la recta tangente en el punto (1, 3) es $latex y=2x+1$.

Necesitamos la derivada de la función para encontrar la pendiente de la recta tangente. Entonces, tenemos:

$latex f(x)=x^3-10x$

$latex f'(x)=3x^2-10$

Para encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto (2, 1), evaluamos $latex f'(2)$:

$latex m=f'(2)=3(2)^2-10$

$latex m=2$

Formamos la ecuación $latex y=2x+b$. Ahora, encontramos el valor de b, usando el punto (2, 1) en la ecuación:

$latex y=2x+b$

$latex 1=2(1)+b$

$latex b=-1$

La ecuación de la recta tangente en el punto (2, 1) es $latex y=2x-1$.

La derivada de la función nos permite encontrar la pendiente de la recta tangente. Entonces, la derivada es:

$latex f(x)=2x^3-7x^2$

$latex f'(x)=6x^2-14x$

La pendiente de la recta tangente en el punto (2, 3) es igual a $latex f'(2)$. Entonces, tenemos:

$latex m=f'(2)=6(2)^2-14(2)$

$latex m=24-28$

$latex m=-4$

Usando la pendiente encontrada, tenemos la ecuación $latex y=-4x+b$. Ahora, encontramos el valor de b, usando el punto (2, 3) en la ecuación:

$latex y=-4x+b$

$latex 3=-4(2)+b$

$latex b=11$

La ecuación de la recta tangente en el punto (2, 3) es $latex y=-4x+11$.

Empezamos encontrando la derivada de la función:

$latex f(x)=x^3+8x^{-1}$

$latex f'(x)=3x^2-8x^{-2}$

$latex f'(x)=3x^2-\frac{8}{x^2}$

La pendiente de la tangente en el punto (2, 4) es encontrada al evaluar $latex f'(2)$. Entonces, tenemos:

$latex m=f'(2)=3(2)^2-\frac{8}{2^2}$

$latex =12-2$

$latex m=10$

Tenemos la ecuación $latex y=10x+b$. Usamos el punto (2, 4) para encontrar el valor de b:

$latex y=10x+b$

$latex 4=10(2)+b$

$latex b=-15$

La ecuación de la recta tangente en el punto (2, 4) es $latex y=10x-15$.

Empezamos encontrando la derivada de la función para determinar la pendiente de la recta tangente:

$latex f(x)=-x^{-2}+x^{\frac{1}{2}}$

$$f'(x)=2x^{-3}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{2}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

La pendiente de la tangente en el punto (1, 3) es igual a $latex f'(1)$, por lo que, tenemos:

$$m=f'(1)=\frac{2}{(1)^3}+\frac{1}{2\sqrt{1}}$$

$latex =2+\frac{1}{2}$

$latex m=\frac{5}{2}$

Ahora que hemos formado la ecuación $latex y=\frac{5}{2}x+b$, usamos el punto (1, 3) para encontrar el valor de b:

$$y=\frac{5}{2}x+b$$

$$3=\frac{5}{2}(1)+b$$

$latex b=\frac{1}{2}$

La ecuación de la recta tangente en el punto (1, 3) es $latex y=\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$.

Empezamos encontrando la derivada de la función:

$latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

Ahora, sabemos que la pendiente de la recta tangente en el punto (0, 1) es encontrada al evaluar $latex f'(0)$. Entonces, tenemos:

$latex m=f'(0)=\cos(0)+\sin(0)$

$latex m=1+0$

$latex m=1$

Hasta ahora, tenemos la ecuación $latex y=x+b$ y podemos usar esta ecuación con el punto (0, 1) para encontrar el valor de b, usando el punto (0, 1) en la ecuación:

$latex y=x+b$

$latex 1=0+b$

$latex b=1$

La ecuación de la recta tangente en el punto (0, 1) es $latex y=x+1$.

Necesitamos la derivada de la función para encontrar la pendiente de la tangente. Entonces, tenemos:

$latex f(x)=-2\sin(2x)+\cos(3x)$

$latex f'(x)=-4\cos(2x)-3\sin(3x)$

Ahora, podemos evaluar $latex f'(0)$ para determinar la pendiente de la recta tangente en el punto (0, 1):

$latex m=f'(0)=-4\cos(2(0))-3\sin(3(0))$

$latex m=-4+0$

$latex m=-4$

Usando la pendiente encontrada, tenemos la ecuación $latex y=-4x+b$. Al usar esta ecuación con el punto (0, 1) encontramos el valor de b:

$latex y=-4x+b$

$latex 1=0+b$

$latex b=1$

La ecuación de la recta tangente en el punto (0, 1) es $latex y=-4x+1$.

La derivada de la función es:

$latex f(x)=x^2-3x+1$

$latex f'(x)=2x-3$

El enunciado nos dice que tenemos que encontrar la recta tangente en el punto donde la curva corta al eje y. Esto sucede cuando las coordenadas en x son igual a 0. Entonces, tenemos:

$latex y=x^2-3x+1$

$latex y=0^2-3(0)+1$

$latex y=1$

Por lo tanto, el punto de la tangente es (0, 1). Ahora, evaluamos $latex f'(0)$ para encontrar la pendiente de la tangente y tenemos:

$latex m=f'(0)=2(0)-3$

$latex m=-3$

La pendiente encontrada nos da la ecuación $latex y=-3x+b$. Para encontrar el valor de b, usamos el punto (0, 1) en la ecuación:

$latex y=-3x+b$

$latex 1=-3(0)+b$

$latex b=1$

La ecuación de la recta tangente en el punto (0, 1) es $latex y=-3x+1$.

Los puntos en donde la función corta al eje x son los ceros de la función. Entonces, empezamos encontrando los ceros:

$latex x^2-5x+4=0$

$latex (x-4)(x-1)=0$

La función corta al eje x cuando $latex x=4$ y $latex x=1$. Además, los valores de y en esos puntos son 0, por lo que tenemos (4, 0) y (1, 0).

Ahora, encontramos la derivada y evaluamos $latex f'(4)$ y $latex f'(1)$ para determinar las pendientes de las rectas tangentes.

$latex f(x)=x^2-5x+4$

$latex f'(x)=2x-5$

$latex f'(4)=2(4)-5=3$

$latex f'(1)=2(1)-5=-3$

Ahora, encontramos los valores de b usando la forma $latex y=mx+b$ con las pendientes encontradas y las coordenadas de cada punto.

$latex 0=3(4)+b_{1}$

$latex b_{1}=-12$

$latex 0=-3(1)+b_{2}$

$latex b_{2}=3$

Entonces, las ecuaciones de las rectas tangentes son $latex y=3x-12$ y $latex y=-3x+3$.

El enunciado nos dice que las rectas son tangentes en los puntos en donde $latex y=9$. Entonces, tenemos que encontrar los valores de x cuando $latex y=9$:

$latex x^2=9$

$latex x=\pm \sqrt{9}$

$latex x=3~~$ o $latex ~~x=-3$

Ahora, usamos la derivada de la función para encontrar las pendientes de las rectas al evaluar $latex f'(3)$ y $latex f'(-3)$.

$latex f(x)=x^2$

$latex f'(x)=2x$

$latex f'(3)=2(3)=6$

$latex f'(-3)=2(-3)=-6$

Usando la forma $latex y=mx+b$ con las pendientes encontradas y las coordenadas de cada punto (los valores de y son 9 en ambos casos), podemos encontrar los valores de b:

$latex 9=6(3)+b_{1}$

$latex b_{1}=-9$

$latex 9=-6(-3)+b_{2}$

$latex b_{2}=-9$

Entonces, las ecuaciones de las rectas tangentes son $latex y=6x-9$ y $latex y=-6x-9$.