10 Ejercicios de la recta normal a una curva

Para encontrar la ecuación de la recta normal a una curva en un punto dado, tenemos que usar la forma y=mx+b en donde m es la pendiente y b es el intercepto en y. Además, la pendiente de la recta normal es encontrada usando la derivada de la función y recordando que la pendiente de la normal será igual a -1/m.

A continuación, exploraremos 10 ejercicios resueltos de la ecuación de la recta normal a una curva. Además, miraremos 5 problemas de práctica.

CÁLCULO
Diagrama de la ecuación de la recta normal a una curva en un punto P

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de la recta normal a una curva.

Ver ejercicios

CÁLCULO
Diagrama de la ecuación de la recta normal a una curva en un punto P

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de la recta normal a una curva.

Ver ejercicios

10 Ejercicios resueltos de la recta normal a una curva

Cada uno de los siguientes ejercicios tiene una solución detallada, en donde encontramos la ecuación de la recta normal a las funciones dadas.

EJERCICIO 1

Encuentra la ecuación de la recta normal a la función $latex f(x)=x^2$ en el punto P=(1, 2).

Podemos encontrar la ecuación de la recta normal usando la forma general $latex y=mx+b$, en donde m es la pendiente y b es el intercepto en y.

Ahora, la pendiente de la normal es igual a $latex -\frac{1}{m_{1}}$, en donde $latex m_{1}$ es la pendiente de la recta tangente. A su vez, la pendiente de la recta tangente es igual a $latex f'(1)$ (evaluamos la derivada en el punto dado). Entonces, tenemos:

$latex f(x)=x^2$

$latex f'(x)=2x$

$latex m_{1}=f'(1)=2(1)$

$latex m_{1}=2$

∴ $latex m=-\frac{1}{2}$

Esto significa que tenemos la ecuación $latex y=-\frac{1}{2}x+b$. Por lo tanto, usamos el punto (1, 2) en la ecuación para determinar el valor de b:

$latex y=-\frac{1}{2}x+b$

$latex 2=-\frac{1}{2}(1)+b$

$latex b=\frac{5}{2}$

La ecuación de la recta normal en el punto (1, 2) es $latex y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$.

EJERCICIO 2

¿Cuál es la ecuación de la recta normal a la función $latex f(x)=x^3-6x$ en el punto (-1, 1)?

Para encontrar la ecuación de la recta normal, tenemos que empezar encontrando la derivada de la función. Entonces, tenemos:

$latex f(x)=x^3-6x$

$latex f'(x)=3x^2-6$

Ahora, podemos usar la derivada para encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto (-1, 1) al evaluar $latex f'(-1)$:

$latex m_{1}=f'(-1)=3(-1)^2-6$

$latex m_{1}=-3$

La pendiente de la recta normal es igual a $latex m=\frac{1}{3}$. Entonces, tenemos la ecuación $latex y=\frac{1}{3}x+b$. Entonces, encontramos el valor de b, usando el punto (-1, 1) en la ecuación:

$latex y=\frac{1}{3}x+b$

$latex 1=\frac{1}{3}(-1)+b$

$latex b=\frac{4}{3}$

La ecuación de la recta normal en el punto (-1, 1) es $latex y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$.

EJERCICIO 3

Si es que tenemos la función $latex f(x)=2x^3-7x^2$, encuentra la recta normal en el punto (2, -3).

Empezamos encontrando la pendiente de la recta tangente. Para esto, obtenemos la derivada de la función:

$latex f(x)=2x^3-7x^2$

$latex f'(x)=6x^2-14x$

La pendiente de la recta tangente en el punto (2, 3) es dada por $latex f'(2)$:

$latex m_{1}=f'(2)=6(2)^2-14(2)$

$latex m_{1}=24-28$

$latex m_{1}=-4$

La pendiente de la recta normal es $latex m=\frac{1}{4}$. Entonces, tenemos la ecuación $latex y=\frac{1}{4}x+b$. Ahora, usamos esta ecuación con el punto (2, -3) para encontrar el valor de b:

$latex y=\frac{1}{4}x+b$

$latex -3=\frac{1}{4}(2)+b$

$latex b=-\frac{7}{2}$

La ecuación de la recta normal en el punto (2, -3) es $latex y=\frac{1}{4}x-\frac{7}{2}$.

EJERCICIO 4

Encuentra la ecuación de la recta normal a la función $latex f(x)=x^3+\frac{6}{x}$ en el punto (1, -2).

La derivada de la función es:

$latex f(x)=x^3+6x^{-1}$

$latex f'(x)=3x^2-6x^{-2}$

$latex f'(x)=3x^2-\frac{6}{x^2}$

Ahora, usamos la derivada para encontrar la pendiente de la tangente en el punto (1, -2). Esto es igual a $latex f'(1)$:

$latex m_{1}=f'(1)=3(1)^2-\frac{6}{1^2}$

$latex =3-6$

$latex m_{1}=-3$

La pendiente de la recta normal es $latex m=\frac{1}{3}$. Entonces, tenemos la ecuación $latex y=\frac{1}{3}x+b$. Luego, usamos el punto (1, -2) para encontrar el valor de b:

$latex y=\frac{1}{3}x+b$

$latex -2=\frac{1}{3}(1)+b$

$latex b=-\frac{7}{3}$

La ecuación de la recta normal en el punto (1, -2) es $latex y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}$.

EJERCICIO 5

Encuentra la recta normal a $latex f(x) = -x^{-2}+\sqrt{x}$ en el punto (1, -2).

Tenemos que empezar encontrando la derivada de la función dada:

$latex f(x)=-x^{-2}+x^{\frac{1}{2}}$

$$f'(x)=2x^{-3}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{2}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ahora, usamos la derivada para encontrar la pendiente de la tangente en el punto (1, -2). Esto es igual a $latex f'(1)$:

$$m_{1}=f'(1)=\frac{2}{(1)^3}+\frac{1}{2\sqrt{1}}$$

$latex =2+\frac{1}{2}$

$latex m_{1}=\frac{5}{2}$

La pendiente de la recta normal es $latex m=-\frac{2}{5}$. Entonces, tenemos la ecuación $latex y=-\frac{2}{5}x+b$, por lo que usamos el punto (1, -2) para encontrar el valor de b:

$$y=-\frac{2}{5}x+b$$

$$-2=-\frac{2}{5}(1)+b$$

$latex b=-\frac{8}{5}$

La ecuación de la recta normal en el punto (1, -2) es $latex y=-\frac{2}{5}x-\frac{8}{5}$.

EJERCICIO 6

Encuentra la recta normal a la función $latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$ en el punto (0, 1).

La derivada de la función es:

$latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

La pendiente de la recta tangente en el punto (0, 1) es igual a $latex f'(0)$. Entonces, tenemos:

$latex m_{1}=f'(0)=\cos(0)+\sin(0)$

$latex m_{1}=1+0$

$latex m_{1}=1$

La pendiente de la recta normal es igual a $latex m=-1$. Entonces, tenemos la ecuación $latex y=-x+b$ y ahora usamos esta ecuación con el punto (0, 1) para encontrar el valor de b:

$latex y=-x+b$

$latex 1=-0+b$

$latex b=1$

La ecuación de la recta normal en el punto (0, 1) es $latex y=-x+1$.

EJERCICIO 7

¿Cuál es la ecuación de la recta normal a la función $latex f(x)=-2\sin(2x)+\cos(3x)$ en el punto (0, 1)?

La derivada de la función es:

$latex f(x)=-2\sin(2x)+\cos(3x)$

$latex f'(x)=-4\cos(2x)-3\sin(3x)$

Usando la derivada, podemos encontrar la pendiente de la recta tangente en (0, 1) al evaluar $latex f'(0)$:

$latex m_{1}=f'(0)=-4\cos(2(0))-3\sin(3(0))$

$latex m_{1}=-4+0$

$latex m_{1}=-4$

La pendiente de la recta normal es $latex m=\frac{1}{4}$. Entonces, tenemos la ecuación $latex y=\frac{1}{4}x+b$. Ahora, usamos esta ecuación con el punto (0, 1) para determinar el valor de b:

$latex y=\frac{1}{4}x+b$

$latex 1=0+b$

$latex b=1$

La ecuación de la recta normal en el punto (0, 1) es $latex y=\frac{1}{4}x+1$.

EJERCICIO 8

Encuentra la recta normal a $latex f(x)=x^2-3x+1$ en el punto en donde la curva corta al eje y.

Empezamos encontrando la derivada de la función:

$latex f(x)=x^2-3x+1$

$latex f'(x)=2x-3$

No conocemos las coordenadas del punto directamente, pero sabemos que la recta es normal en el punto donde la curva corta al eje y. Esto sucede cuando las coordenadas en x son igual a 0. Entonces, tenemos:

$latex y=x^2-3x+1$

$latex y=0^2-3(0)+1$

$latex y=1$

Por lo tanto, el punto es (0, 1). Ahora, usamos la derivada de la función para evaluar $latex f'(0)$ y encontrar la pendiente de la tangente:

$latex m_{1}=f'(0)=2(0)-3$

$latex m_{1}=-3$

La pendiente de la recta normal es $latex m=\frac{1}{3}$. Entonces, tenemos la ecuación $latex y=\frac{1}{3}x+b$. Usando el punto (0, 1) encontramos el valor de b:

$latex y=\frac{1}{3}x+b$

$latex 1=\frac{1}{3}(0)+b$

$latex b=1$

La ecuación de la recta normal en el punto (0, 1) es $latex y=\frac{1}{3}x+1$.

EJERCICIO 9

Encuentra las ecuaciones de las dos rectas normales a la función $latex f(x)=x^2-5x+4$ en los puntos en donde la función corta al eje x.

Tenemos que empezar encontrando los puntos en donde la función corta al eje x. Esto sucede cuando el valor de y es 0. Entonces, tenemos:

$latex x^2-5x+4=0$

$latex (x-4)(x-1)=0$

La función corta al eje x cuando $latex x=4$ y $latex x=1$. Esto significa que tenemos los puntos (4, 0) y (1, 0).

Ahora, usamos la derivada de la función para encontrar las pendientes de las rectas tangentes al evaluar $latex f'(4)$ y $latex f'(1)$:

$latex f(x)=x^2-5x+4$

$latex f'(x)=2x-5$

$latex f'(4)=2(4)-5=3$

$latex f'(1)=2(1)-5=-3$

Las pendientes de las rectas normales son $latex m_{1}=-\frac{1}{3}$ y $latex m_{2}=\frac{1}{3}$. Entonces, usamos la forma $latex y=mx+b$ con las pendientes encontradas y las coordenadas de cada punto para determinar los valores de b:

$latex 0=\frac{1}{3}(4)+b_{1}$

$latex b_{1}=-\frac{4}{3}$

$latex 0=-\frac{1}{3}(1)+b_{2}$

$latex b_{2}=\frac{1}{3}$

Entonces, las ecuaciones de las rectas normales son $latex y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$ y $latex y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$.

EJERCICIO 10

Encuentra las dos rectas normales a la función $latex f(x)=x^2$ en los puntos en donde $latex y=9$.

Tenemos que las rectas son normales en los puntos en donde $latex y=9$. Esto significa que tenemos que encontrar los valores de x cuando $latex y=9$:

$latex x^2=9$

$latex x=\pm \sqrt{9}$

$latex x=3~~$ o $latex ~~x=-3$

Ahora que conocemos las coordenadas de los puntos, usamos la derivada de la función para encontrar las pendientes de las rectas tangentes al evaluar $latex f'(3)$ y $latex f'(-3)$.

$latex f(x)=x^2$

$latex f'(x)=2x$

$latex f'(3)=2(3)=6$

$latex f'(-3)=2(-3)=-6$

Las pendientes de las rectas normales son $latex m_{1}=-\frac{1}{6}$ y $latex m_{2}=\frac{1}{6}$.

Ahora, usamos la forma $latex y=mx+b$ con las pendientes encontradas y las coordenadas de cada punto (los valores de y son 9 en ambos casos) para encontrar los valores de b:

$latex 9=-\frac{1}{6}(3)+b_{1}$

$latex b_{1}=\frac{19}{2}$

$latex 9=\frac{1}{6}(-3)+b_{2}$

$latex b_{2}=\frac{19}{2}$

Entonces, las ecuaciones de las rectas normales son $latex y=-\frac{1}{6}x+\frac{19}{2}$ y $latex y=\frac{1}{6}x+\frac{19}{2}$.


5 Ejercicios de recta normal a una curva para resolver

Pon a prueba tu conocimiento sobre la recta normal a una curva al resolver los siguientes ejercicios de práctica.

Si tenemos la función $latex f(x)=x^2-3x$, ¿cuál es la ecuación de la recta normal en donde $latex x=2$?

Escoge una respuesta






Encuentra la ecuación de la recta normal a $latex f(x)=x^3+4$ en donde $latex x=-1$.

Escoge una respuesta






Si tenemos la función $latex f(x)=\frac{6}{x}$, encuentra la recta normal a la función en donde $latex x=3$.

Escoge una respuesta






¿Cuál es la ecuación de la recta normal a la función $latex f(x)=2\sqrt{x}$ en donde $latex x=9$?

Escoge una respuesta






Tenemos la función $latex f(x)=6-\frac{1}{x^2}$. Encuentra la ecuación de la recta normal a la curva en donde $latex x=1$.

Escoge una respuesta







Véase también

¿Interesado en aprender más sobre ecuaciones de rectas tangentes y normales a funciones? Puedes mirar estas páginas:

Aprende matemáticas con nuestros recursos adicionales en varios temas diferentes

Conoce Más