Razón de cambio con derivadas – Ejercicios resueltos

Los ejercicios de razón de cambio son resueltos al encontrar la derivada de una ecuación con respecto a la variable principal. Generalmente, la regla de la cadena es usada para encontrar la razón de cambio requerida.

A continuación, veremos varios ejercicios resueltos de razón de cambio usando derivadas. Luego, veremos algunos ejercicios de práctica para aplicar lo aprendido.

CÁLCULO
Razón de cambio con derivadas

Relevante para

Resolver ejercicios de razón de cambio con derivadas.

Ver ejercicios

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Razón de cambio con derivadas

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¿Qué es la razón de cambio en cálculo?

La razón de cambio representa la relación entre los cambios de la variable dependiente en comparación con los cambios de la variable independiente.

La siguiente derivada

$$\dfrac{dy}{dx}=\lim_{\delta \to 0} \frac{\delta y }{\delta x}$$

es la razón de cambio de $latex y $ con respecto a $latex x$.

Esta razón de cambio muestra cómo los cambios en $latex y$ están relacionados con los cambios de $latex x$. Por ejemplo, si es que $latex \dfrac{dy}{dy}=5$, entonces, $latex y$ incrementa 5 veces más rápido que $latex x$.

Frecuentemente, otras letras además de $latex x$ y $latex y$ son usadas. Por ejemplo, en física es común usar $latex s$ para indicar la posición de un objeto. Entonces:

  • $latex \dfrac{ds}{dt}$ es la velocidad, ya que representa la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo.
  • $latex \dfrac{d^2s}{dt^2}$ es la aceleración porque representa la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.

Muchas situaciones prácticas involucran razones de cambio relacionadas con el uso de la regla de la cadena de derivadas, como se muestra en los siguientes ejemplos.


Ejercicios resueltos de razón de cambio con derivadas

EJERCICIO 1

El lado de una pieza cuadrada de metal incrementa a una razón de 0.1 cm por segundo cuando es calentada. ¿Cuál es la razón de cambio del área de la superficie cuadrada del metal?

Solución

EJERCICIO 2

El lado de un cuadrado está incrementando a una razón de 5 cm/s. Encuentra la razón de cambio del área cuando la longitud de un lado es 10 cm.

Solución

EJERCICIO 3

El radio de un círculo está incrementando a una razón de $latex \frac{1}{3}$ cm/s. Encuentra la razón de cambio del área cuando el radio es 5 cm.

Solución

EJERCICIO 4

El área de un cuadrado está incrementando a una razón de 7 cm2/s. Encuentra la razón de cambio de la longitud de un lado cuando el área es 100 cm2.

Solución

EJERCICIO 5

El área de un círculo está incrementando a una razón de (4π) cm2/s. Encuentra la razón de cambio del radio cuando este radio es $latex \frac{1}{2}$ cm.

Solución

EJERCICIO 6

El volumen de un cubo está incrementando a una razón de 18 cm3/s. Encuentra la razón de cambio de la longitud de un lado cuando el volumen es 125 cm3.

Solución

EJERCICIO 7

Un globo completamente esférico está siendo inflado a una razón de 3 cm3/s. Encuentra la razón de cambio del radio cuando el radio es 2 cm.

Solución

EJERCICIO 8

El área superficial de una esfera está incrementando a una razón de 2 cm2/s. Encuentra la razón de cambio del radio cuando el área superficial es (100π) cm2.

Solución

EJERCICIO 9

Un globo esférico está siendo inflado a una razón de 10 cm3/s. Encuentra la razón de cambio del área superficial cuando el radio es 5 cm.

Solución

EJERCICIO 10

Un contenedor tiene la forma de un cono hueco con un ángulo semi-vertical de 30° y su vértice apunta hacia abajo.

Si es que el agua es vertida en el cono a una razón de 5 cm3/s, encuentra la razón a la cual la profundidad del agua en el cono está incrementando cuando su profundidad es 10 cm.

Solución

Ejercicios de razón de cambio con derivadas para resolver

Práctica de razón de cambio con derivadas
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¡Has completado los ejercicios!

Un cono hueco con una base de radio 10 cm y una altura de 10 cm tiene su vértice apuntando hacia abajo.
El cono está vacío inicialmente cuando agua es vertida a una razón de 4π cm3/s. Encuentra la razón a la que la profundidad de agua incrementa a 18 segundos de que se empezó a llenar.

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex ~~=$ $latex \frac{cm}{s}$

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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