Razón de cambio con derivadas – Ejercicios resueltos

Para resolver este problema, tenemos que empezar por encontrar una ecuación para el área de la pieza cuadrada de metal.

Si es que representamos a los lados de la pieza de metal con $latex x$, su área es $latex A=x^2$.

Tenemos que la razón de cambio de la longitud de un lado con respecto al tiempo, es decir, $latex \dfrac{dx}{dt}$, es 0.1 cm/s.

Queremos encontrar la razón de cambio del área con respecto al tiempo, es decir, $latex \dfrac{dA}{dt}$.

Si es que derivamos $latex A=x^2$, tenemos $latex \dfrac{dA}{dx}=2x$. Además, dado que $latex \dfrac{dx}{dt}=0.1$, podemos usar la regla de la cadena:

$$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dx}\dfrac{dx}{dt}$$

$latex =2x \times 0.1$

$$\dfrac{dA}{dt}=0.2x$$

La razón de cambio del área es $latex 0.2x$ cm²/s.

Nuevamente, empezamos encontrando una ecuación para el área del cuadrado en término de sus lados.

Si es que representamos a los lados del cuadrado con $latex x$, su área es $latex A=x^2$.

De la pregunta, conocemos la razón de cambio de la longitud de un lado con respecto al tiempo, es decir, $latex \dfrac{dx}{dt}=$5 cm/s.

Para encontrar la razón de cambio del área, es decir, $latex \dfrac{dA}{dt}$, derivamos $latex A=x^2$ y usamos la regla de la cadena:

$$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dx}\dfrac{dx}{dt}$$

$latex =2x \times 5$

$$\dfrac{dA}{dt}=10x$$

Cuando la longitud de un lado es 10 cm, la razón de cambio del área del cuadrado es $latex 10(10)=100$ cm²/s.

En este caso, tenemos un círculo. La ecuación del área con respecto al radio del círculo es $latex A=\pi r^2$.

Si es que derivamos a $latex A=\pi r^2$ con respecto al radio, tenemos $latex \dfrac{dA}{dr}=2\pi r$.

Ahora, de la pregunta, sabemos que la razón de cambio del radio del círculo con respecto al tiempo, es decir, $latex \dfrac{dr}{dt}$, es $latex \frac{1}{3}$ cm/s.

Entonces, para encontrar la razón de cambio del área con respecto al tiempo, es decir, $latex \dfrac{dA}{dt}$, podemos usar la regla de la cadena:

$$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}\dfrac{dr}{dt}$$

$latex =2\pi r \times \frac{1}{3}$

$$\dfrac{dA}{dt}=\frac{2\pi r}{3}$$

Cuando el radio es 5 cm, la razón de cambio del área del círculo es $latex \frac{2\pi (5)}{3}=\frac{10\pi}{3}$ cm²/s.

Como ya sabemos, el área de un cuadrado con respecto a sus lados puede ser representado por la ecuación $latex A=x^2$, en donde, x es un lado.

Ahora, resolviendo para $latex x$, tenemos $latex x=\sqrt{A}$. Cuando derivamos, tenemos $latex \dfrac{dx}{dA}=\frac{1}{2\sqrt{A}}$.

En este caso, tenemos que la razón de cambio del área del cuadrado con respecto al tiempo, es decir, $latex \dfrac{dA}{dt}$, es 7 cm²/s.

Entonces, encontramos la razón de cambio de la longitud de un lado con respecto al tiempo, es decir, $latex \dfrac{dx}{dt}$, usando la regla de la cadena:

$$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dA}{dt}\dfrac{dx}{dA}$$

$$=7 \times \frac{1}{2\sqrt{A}}$$

$$\dfrac{dx}{dt}=\frac{7}{2\sqrt{A}}$$

Cuando el área es 100 cm², la razón de cambio de un lado del cuadrado es $latex \frac{7}{2\sqrt{100}}=\frac{7}{20}$ cm/s.

Podemos representar al área de un círculo con respecto al radio con la ecuación $latex A=\pi r^2$.

Cuando derivamos a esta ecuación con respecto a $latex r$, tenemos $latex \dfrac{dA}{dr}=2 \pi r$.

Tenemos que la razón de cambio del área del círculo con respecto al tiempo, es decir, $latex \dfrac{dA}{dt}$, es (4π) cm²/s.

Ahora, para encontrar la razón de cambio del radio con respecto al tiempo, es decir, $latex \dfrac{dr}{dt}$, usamos la regla de la cadena:

$$\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{dA}{dt}\dfrac{dr}{dA}$$

Observamos que $latex \dfrac{dr}{dA}$ es el recíproco de $latex \dfrac{dA}{dr}. Entonces, tenemos:

$$\dfrac{dr}{dt}=4\pi \times \dfrac{1}{2 \pi r}$$

$$\dfrac{dr}{dt}=\frac{2}{r}$$

Cuando el radio es $latex \frac{1}{2}$ cm, la razón de cambio del radio del círculo es $latex \frac{2}{\frac{1}{2}}=4$ cm/s.

Si es que usamos $latex x$ para representar a los lados del cubo, su volumen es $latex V=x^3$.

Resolviendo para $latex x$, tenemos $latex x=\sqrt[3]{V}$. Derivando, tenemos $latex \dfrac{dx}{dV}=\frac{1}{3\sqrt[3]{V}}$.

Dado que la pregunta nos dice que el volumen del cubo incrementa a una razón de 18 cm³/s, tenemos $latex \dfrac{dV}{dt}=18$ cm³/s.

Entonces, encontramos la razón de cambio de un lado del cubo con respecto al tiempo, $latex \dfrac{dx}{dt}$, aplicando la regla de la cadena:

$$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dV}{dt}\dfrac{dx}{dV}$$

$latex =18 \times \frac{1}{3\sqrt[3]{V}}$

$$\dfrac{dA}{dt}=\frac{18}{3\sqrt[3]{V}}$$

Cuando el volumen es 125 cm³, la razón de cambio de un lado del cubo es $latex \frac{18}{3\sqrt[3]{125}}=\frac{6}{25}$ cm/s.

Si es que representamos al radio por $latex r$ y al volumen por $latex V$, tenemos $latex V=\frac{4}{3}\pi r^3$. Entonces, su derivada es:

$$\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^2$$

De la pregunta, tenemos $latex \dfrac{dV}{dt}=3$. Entonces, usando la regla de la cadena, tenemos:

$$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\dfrac{dr}{dt}$$

$$3=4\pi r^2 \times \dfrac{dr}{dt}$$

$$\dfrac{dr}{dt}=\frac{3}{4\pi r^2}$$

Cuando $latex r=2$, tenemos:

$$\frac{dr}{dt}\Big|_{r=2}=\frac{3}{4\pi (2)^2}=\frac{3}{16\pi}$$

La razón de cambio del radio cuando el radio es 2 cm es $latex \frac{3}{16\pi}$ cm/s.

Cuando representamos al radio por $latex r$ y al área superficial por $latex A_{s}$, tenemos $latex A_{s}=4\pi r^2$.

Dado que conocemos el área superficial, tenemos que escribir a una ecuación de $latex r$ con respecto a A: $latex r=\sqrt{\frac{A_{s}}{4\pi}}$. Su derivada es:

$$\dfrac{dr}{dA_{s}}=\frac{1}{4\sqrt{\pi A_{s}}}$$

Tenemos la información $latex \dfrac{dA_{s}}{dt}=2$. Entonces, al aplicar la regla de la cadena, tenemos:

$$\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{dA_{s}}{dt}\dfrac{dr}{dA_{s}}$$

$$=2 \times \frac{1}{4\sqrt{\pi A_{s}} }$$

$$\dfrac{dr}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{\pi A_{s}}}$$

Cuando $latex A_{s}=100\pi$, tenemos:

$$\frac{dr}{dt}\Big|_{A_{s}=2}=\frac{1}{2\sqrt{100\pi^2}}=\frac{1}{20\pi}$$

La razón de cambio del radio cuando el área superficial es 100π es $latex \frac{1}{20\pi}$ cm/s.

Al representar al radio por $latex r$ y al área superficial por $latex A_{s}$, tenemos $latex V=\frac{4}{3}\pi r^3$ y $latex A_{s}=4\pi r^2$. Entonces, sus derivadas son:

$$\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^2$$

$$\dfrac{dA_{s}}{dr}=8\pi r$$

Sabemos que $latex \dfrac{dV}{dt}=10$. Entonces, usando la regla de la cadena, tenemos:

$$\dfrac{dA_{s}}{dt}=\dfrac{dV}{dt}\dfrac{dA_{s}}{dr}\dfrac{dr}{dV}$$

$$=10 \times 8\pi r \times \frac{1}{4\pi r^2}$$

$$\dfrac{dA_{s}}{dt}=\frac{20}{r}$$

Cuando $latex r=5$, tenemos:

$$\frac{dA_{s}}{dt}\Big|_{r=5}=\frac{20}{5}=4$$

La razón de cambio del área superficial cuando el radio es 5 cm es 4 cm²/s.

Podemos usar el siguiente diagrama para facilitar la resolución:

La profundidad del agua en el cono es representada por $latex x$. Entonces, el radio $latex r$ de la sección transversal del agua está dado por:

$$\tan(30^{\circ})=\frac{r}{x}$$

$$r=x\tan(30^{\circ})$$

$$=\frac{x}{\sqrt{3}}$$

El volumen del agua en el cono está dado por:

$$V=\frac{1}{3}\pi r^2x$$

$$=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2x$$

$$=\frac{1}{9}\pi x^3$$

Entonces, la derivada del volumen con respecto a $latex x$ es:

$$\dfrac{dV}{dx}\pi x^2$$

De la pregunta, sabemos que $latex \dfrac{dV}{dt}=5$. Además, por la regla de la cadena, tenemos:

$$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dx} \dfrac{dx}{dt}$$

Entonces,

$$ 5= \frac{1}{3}\pi x^2 \dfrac{dx}{dt}$$

$$ \dfrac{dx}{dt}= \frac{15}{\pi x^2}$$

Cuando $latex x=10$, tenemos:

$$\dfrac{dx}{dt}=\frac{15}{\pi (10)^2}=\frac{3}{20\pi}$$

La razón de cambio de la profundidad cuando la profundidad es 10 cm es $latex \frac{3}{20\pi}$ cm/s.