Derivadas de ecuaciones paramétricas con ejemplos

Las derivadas de ecuaciones paramétricas son encontradas al derivar a cada ecuación con respecto a t. Luego, la regla de la cadena es usada para obtener una derivada de y con respecto a x.

A continuación, conoceremos cómo encontrar las derivadas de ecuaciones paramétricas. Usaremos varios ejemplos y ejercicios prácticos.

CÁLCULO
Ejermplos de ecuaciones paramétricas

Relevante para

Aprender sobre las derivadas de ecuaciones paramétricas.

Ver ejercicios

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Ejermplos de ecuaciones paramétricas

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Diferenciación de ecuaciones paramétricas

Vamos a aprender cómo encontrar las derivadas de ecuaciones paramétricas usando un ejemplo.

Consideremos a las siguientes ecuaciones paramétricas:

$latex x=t+1~~$ $latex ~~y=t^2$

Cuando derivamos a $latex x$ con respecto a $latex t$ y cuando derivamos a $latex y $ con respecto a $latex t$, tenemos:

$latex \dfrac{dx}{dt}=1~~$ $latex ~~\dfrac{dy}{dt}=2t$

Usando la regla de la cadena, podemos escribir de la siguiente forma:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

Entonces, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=2t(1)=2t$$

Dado que tenemos $latex x=t+1$, podemos escribir $latex t=x-1$ y la derivada es:

$$\frac{dy}{dx}=2t$$

$$\frac{dy}{dx}=2x-2$$


Ejercicios resueltos de derivadas paramétricas

EJERCICIO 1

Encuentra $latex \dfrac{dy}{dx}$ en términos del parámetro $latex t$ para:

$latex y=3t^2+2t$

$latex x=1-2t$

Empezamos encontrando las derivadas $latex \frac{dy}{dt}$ y $latex \frac{dx}{dt}$:

  • Cuando $latex y=3t^2+2t$, tenemos: $latex \dfrac{dy}{dt}=6t+2$
  • Cuando $latex x=1-2t$, tenemos: $latex \dfrac{dx}{dt}=-2$

Usando la regla de la cadena, podemos escribir lo siguiente:

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$$

$$=(6t+2)\left(-\frac{1}{2}\right)$$

$$ \frac{dy}{dx}=-3t-1$$

EJERCICIO 2

¿Cuál es la derivada $latex \dfrac{dy}{dx}$ de las siguientes ecuaciones? Escríbela en términos del parámetro $latex t$.

$latex y=(1+2t)^3$

$latex x=t^3$

Vamos a encontrar las derivadas $latex \frac{dy}{dt}$ y $latex \frac{dx}{dt}$:

  • Cuando $latex y=(1+2t)^3$, tenemos: $latex \dfrac{dy}{dt}=3(1+2t)^2(2)$. Entonces, tenemos: $latex \dfrac{dy}{dt}=6(1+2t)^2$
  • Cuando $latex x=t^3$, tenemos: $latex \dfrac{dx}{dt}=3t^2$

Con la regla de la cadena, tenemos:

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$$

$$=6(1+2t)^2\times \frac{1}{3t^2}$$

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{2(1+2t)^2}{t^2}$$

EJERCICIO 3

Encuentra $latex \dfrac{dy}{dx}$ en términos de $latex t$ de las siguientes ecuaciones:

$latex x=3t^4$

$latex y=2t^2-3$

Tenemos que encontrar las derivadas $latex \frac{dy}{dt}$ y $latex \frac{dx}{dt}$:

  • Cuando $latex y=2t^2-3$, tenemos: $latex \dfrac{dy}{dt}=4t$
  • Cuando $latex x=3t^4$, tenemos: $latex \dfrac{dx}{dt}=12t^3$

Ahora, podemos usar la regla de la cadena para encontrar $latex \dfrac{dy}{dx}$:

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$$

$$=4t\times \frac{1}{12t^3}$$

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3t^2}$$

EJERCICIO 4

¿Cuál es la derivada $latex \dfrac{dy}{dx}$ de las siguientes ecuaciones? Escríbela en términos de $latex t$.

$latex x=2\sqrt{t}$

$latex y=5t-4$

Empezamos por encontrar las derivadas $latex \frac{dy}{dt}$ y $latex \frac{dx}{dt}$:

  • Cuando $latex y=5t-4$, tenemos: $latex \dfrac{dy}{dt}=5$
  • Cuando $latex x=2\sqrt{t}=2t^{\frac{1}{2}}$, tenemos: $latex \dfrac{dx}{dt}=t^{-\frac{1}{2}}$

Ahora, encontramos $latex \dfrac{dy}{dx}$ usando la regla de la cadena:

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$$

$$=5\times \frac{1}{t^{-\frac{1}{2}}}$$

$$ \frac{dy}{dx}=5\sqrt{t}$$

EJERCICIO 5

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva dada paramétricamente por $latex x=\frac{2}{t}$ y $latex y=3t^2-1$ en el punto (2, 2).

Podemos encontrar el valor del parámetro $latex t$ sustituyendo $latex x=2$, $latex y=2$ en las ecuaciones

$latex x=\dfrac{2}{t}~~$ $latex ~~y=3t^2-1$

Esto nos da $latex t=1$.

Al diferenciar paramétricamente, tenemos:

$latex \dfrac{dy}{dt}=6t~~$ $latex ~~\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{2}{t^2}$

Cuando $latex t=1$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}\Big|_{t=1}=-3$$

Esto significa que la pendiente de la recta tangente es -3. Entonces, la ecuación de la tangente tiene la forma

$latex y=-3x+c$

Como la recta tangente pasa por el punto (2, 2), tenemos:

$latex 2=-3(2)+c$

$latex c=8$

La ecuación de la recta tangente es $latex y=-3x+8$.

EJERCICIO 6

Encuentra la segunda derivada $latex \dfrac{d^2y}{dx^2}$ en términos de $latex t$ de las siguientes ecuaciones paramétricas:

$latex x=t+1$

$latex y=t^3$

Derivando a cada ecuación con respecto a $latex t$, tenemos:

$latex \dfrac{dy}{dt}=1~~$ $latex ~~\dfrac{dy}{dt}=3t^2$

Usando la regla de la cadena, tenemos

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}=3t^2$$

Ahora, derivamos a cada término de esta ecuación con respecto a $latex x$ para encontrar la segunda derivada $latex \dfrac{d^2y}{dx^2}$:

$$\frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}(3t^2)$$

Dado que no podemos derivar a $latex 3t^2$ con respecto a $latex x$, usamos la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}(3t^2)=\frac{d}{dt}(3t^2) \frac{dt}{dx}$$

$$=6t \frac{dt}{dx}$$

Sustituyendo esto, tenemos:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=6t \frac{dt}{dx}$$

Dado que $latex \frac{dx}{dt}=1$, podemos escribir:

$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=1$$

Entonces, la segunda derivada es:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=6t (1)=6t$$


Derivadas paramétricas – Ejercicios para resolver

Práctica de derivadas paramétricas
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La derivada $latex \frac{dy}{dx}$ en términos de t de las ecuaciones $latex x=4t(t-2)$ y $latex y=(t-1)^3$ es una fracción. ¿Cuál es el numerador?

Escribe el numerador en la casilla.

$latex ~~=$

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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