Derivadas implícitas – Ejercicios resueltos

Las funciones implícitas pueden ser derivadas al derivar a cada término de la función con respecto a x. Para esto las reglas de la cadena y del producto son frecuentemente usadas. Luego, la ecuación obtenida es resuelta para dy/dx.

A continuación, resolveremos varios ejercicios de derivadas de funciones implícitas. Además, veremos algunos ejercicios de práctica.

CÁLCULO
Derivadas de funciones implícitas

Relevante para

Resolver ejercicios de derivadas implícitas.

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¿Cómo derivar funciones implícitas?

Recordemos que las funciones implícitas son funciones que no están expresadas en la forma $latex y=f(x)$. Por ejemplo, $latex x^2+2xy=5$ es una función implícita.

En algunos casos, podemos reorganizar a la función implícita para obtener una función explícita de $latex x$. Por ejemplo, $latex x^2+2xy=5$ puede escribirse como:

$$y=\frac{5-x^2}{2x}$$

Luego, podríamos derivar esta función usando la regla del cociente.

Sin embargo, en muchos casos, la función implícita no puede ser expresada en la forma $latex y=f(x)$, como por ejemplo la función $latex x^2+3xy-4y^3=7$.

En estos caso, podemos usar el siguiente proceso para derivar este tipo de funciones:

Considera la siguiente función implícita:

$latex x^2+y^2=2$

Derivando a cada término con respecto a $latex x$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(2)$$

La derivada de $latex x^2$ en términos de $latex x$ es $latex 2x$ y la derivada de 2 es 0, pero para el término $latex y^2$, tenemos que usar la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dy}(y^2)\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}$$

Entonces, la derivada de la función es:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

Ahora, solo tenemos que reorganizar para $latex \frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$$


Ejercicios resueltos de derivadas implícitas

EJERCICIO 1

Hallar $latex \dfrac{dy}{dx}$ por derivación implícita de:

$$x^2+y^2 =16$$

Derivando a ambos lados de la igualdad:

$$ (x^2+y^2)^{\prime}=(16)^{\prime}$$

$$ (x^2)^{\prime}+(y^2)^{\prime} =(16)^{\prime}$$

Puesto que la derivada de una constante es 0, se tiene:

$$ 2x+2yy^{\prime} =0$$

Es decir:

$$ 2x+2yy^{\prime} =0$$

Dado que: $latex y^{\prime} =\dfrac{dy}{dx} $, entonces:

$$ 2x+2y\dfrac{dy}{dx} =0$$

Al despejar la derivada buscada, se obtiene:

$$\dfrac{dy}{dx} =-\dfrac{x}{y}$$

EJERCICIO 2

Deriva implícitamente a la siguiente función para encontrar $latex \frac{dy}{dx}$:

$$x^2y=4x+3$$

Empezamos derivando a cada término con respecto a $latex x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2y)=\frac{d}{dx}(4x)+\frac{d}{dx}(3)$$

El término $latex x^2y$ puede ser derivado con respecto a $latex x$ usando la regla del producto. Entonces, tenemos:

$$x^2\frac{dy}{dx}+y(2x)=4+0$$

Cuando reorganizamos la ecuación para $latex \frac{dy}{dx}$, tenemos:

$$x^2\frac{dy}{dx}=4-2xy$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{4-2xy}{x^2}$$

EJERCICIO 3

¿Cuál es la derivada $latex \frac{dy}{dx}$ de la siguiente función?

$$(x+y)^4-6x^2=0$$

Al derivar a cada término con respecto a $latex x$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(x+y)^4-\frac{d}{dx}(6x^2)=0$$

Podemos derivar el término $latex (x+y)^4$ usando la regla de la cadena:

$$4(x+y)^3\left(1+\frac{dy}{dx}\right)-12x=0$$

La expresión resuelta para $latex \frac{dy}{dx}$ es:

$$1+\frac{dy}{dx}=\frac{12x}{4(x+y)^3}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{12x}{4(x+y)^3}-1$$

EJERCICIO 4

Derivar implícitamente la función para encontrar $latex y^{\prime}$:

$$\ln(x+y)=x$$

El primer paso es plantear la primera derivada a ambos lados de la igualdad:

$$\left[\ln(x+y)\right]^{\prime}=x^{\prime}$$

De inmediato, se aplican las reglas de derivación, sin olvidar la derivada interna en el argumento del logaritmo natural:

$$\frac{(x+y)^{\prime}}{x+y}=1$$

$$\frac{1+y^{\prime}}{x+y}=1$$

$$1+y^{\prime}=x+y$$

El paso final es despejar $latex y^{\prime}$:

$$y^{\prime}=x+y-1$$

EJERCICIO 5

Calcular $latex \dfrac{dy}{dx}$ para la siguiente función implícita:

$$3x^2y+4x=2y^3-7x^4$$

Siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior, se comienza derivando a cada lado de la igualdad:

$$(3x^2y+4x)^{\prime}=(2y^3-7x^4)^{\prime}$$

$$ (3x^2y)^{\prime}+(4x)^{\prime}=(2y^3)^{\prime}-(7x^4)^{\prime}$$

Enseguida se aplican las reglas de la derivación del producto y de las potencias:

$$ 6xy +3x^2y^{\prime}+4=6y^2y^{\prime}-28x^3$$

Después, se agrupan los términos que contienen $latex y^{\prime}$:

$$ 3x^2y^{\prime}-6y^2y^{\prime}=-28x^3-6xy-4 $$

Se saca factor común $latex y^{\prime}$:

$$ y^{\prime}(3x^2-6y^2)=-28x^3-6xy-4 $$

Y se despeja:

$$ y^{\prime}=\dfrac{-28x^3-6xy-4}{3x^2-6y^2} $$

Dado que $latex y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} $, queda:

$$\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{-28x^3-6xy-4}{(3x^2-6y^2)(3x^2-6y^2)} $$

$$\dfrac{dy}{dx} =-\left(\dfrac{2}{9}\right) \dfrac{14x^3+3xy+2}{(x^2-2y^2)^2}$$

EJERCICIO 6

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva $latex x^3+y^3=9$ en el punto $latex (1,2)$

El primer paso es encontrar $latex \frac{dy}{dx}$, para lo cual es conveniente derivar implícitamente:

$$ (x^3+y^3)^{\prime}=(9)^{\prime}$$

$$ 3x^2+3y^2y^{\prime}=0$$

Por lo tanto:

$$ y^{\prime}=-\frac{x^2}{y^2}$$

La pendiente $latex m$ de la recta tangente a la curva en $latex (1,2)$ se obtiene evaluando $latex y^{\prime}$ en dicho punto:

$$m=-\left.\frac{x^{2}}{y^2} \right|_{x_o=1,y_o=2}=-\frac{1}{4}$$

Una vez obtenida la pendiente, la ecuación de la recta tangente es:

$$y-y_o=m(x-x_o)$$

$$y-2=-\frac{1}{4}(x-1)$$

$$y=-\frac{x}{4}+\frac{9}{4}$$

$$4y=9-x$$

EJERCICIO 7

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva $latex \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$, en el punto $latex \left(-5,\dfrac{9}{4}\right)$.

Se determina $latex \dfrac{dy}{dx}$ mediante derivación implícita:

$$\left[\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\right]^{\prime}=(1)^{\prime}$$

$$\frac{x}{8}-\frac{2yy^{\prime}}{9}=0$$

$$y^{\prime}=\frac{9x}{16y}$$

La pendiente $latex m$ de la recta tangente a la curva en el punto indicado se obtiene evaluando $latex y^{\prime}$ en las coordenadas $latex \left(-5,\dfrac{9}{4}\right)$:

$$m=-\left.\frac{9x}{16y} \right|_{x_o=-5,y_o=\frac{9}{4}}=\dfrac{9(-5)}{16\left(\dfrac{9}{4}\right)}=-\dfrac{5}{4}$$

La ecuación de la recta tangente buscada es:

$$y-y_o=m(x-x_o)$$

En la cual se sustituyen los valores $latex m =-\dfrac{5}{4}$, $latex x_o=-5$ y $latex y_o=\dfrac{9}{4}$:

$$y-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}\left[x-(-5)\right]$$

$$4y-9=-20x-25$$

$$4y=-20x-16$$

Y la recta buscada es, finalmente:

$$y=-5x-4$$

EJERCICIO 8

Encontrar $latex y^{\prime}$ para:

$$ x = \sec\left(\frac{1}{y}\right)$$

Se deriva a ambos lados de la igualdad:

$$ x^{\prime} = \left[\sec\left(\frac{1}{y}\right)\right]^{\prime}$$

Sabiendo que $latex(\sec u)´=\sec u\tan u u´$, entonces:

$$ 1 = \sec\left(\frac{1}{y}\right)\tan \left(\frac{1}{y}\right)(-1)y^{-2}y^{\prime} $$

Por último, se despeja $latex y^{\prime}$:

$$y^{\prime}=-\frac{y^2}{\sec\left(\dfrac{1}{y}\right)\tan \left(\dfrac{1}{y}\right)}$$

EJERCICIO 9

Encontrar $latex \dfrac{dy}{dx}$ en la siguiente función dada en forma implícita:

$$\sqrt {xy}+2x=\sqrt {y}$$

En esta función aparecen raíces cuadradas, por lo que es conveniente escribirlas como exponentes fraccionarios, para facilitar el cálculo:

$$\sqrt {xy}+2x=\sqrt{y}$$

$$(xy)^\frac{1}{2}+2x=(y)^\frac{1}{2}$$

$$x^\frac{1}{2}y^\frac{1}{2}+2x=y^\frac{1}{2}$$

Enseguida se aplican las reglas de derivación a ambos lados de la igualdad:

$$[x^\frac{1}{2}y^\frac{1}{2}+2x]^{\prime}=[(y)^\frac{1}{2}]^{\prime}=$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{1}{2}}y+x^\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}+2=\left(\frac{1}{2}\right)(y)^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}$$

El siguiente paso es agrupar los términos que contienen $latex y^{\prime}$ a la izquierda de la igualdad y multiplicar todo por $latex 2$ para eliminar denominadores:

$$x^\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}-y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}=-4-x^{-\frac{1}{2}}y$$

Se factoriza $latex y^{\prime}$:

$${y^{-\frac{1}{2}}y^{\prime}}\left(x^\frac{1}{2}-1\right)={-4-x^{-\frac{1}{2}}y}$$

Antes de despejar, se reescribe de nuevo usando raíces:

$$y^{\prime}\left(\frac{\sqrt x-1}{\sqrt y}\right)=-4-\frac{y}{\sqrt x}=\frac{-4\sqrt x-y}{\sqrt x}$$

Al despejar $latex y^{\prime}$, resulta:

$$y^{\prime}=-\frac{(4\sqrt x+y)\sqrt y}{\sqrt x(\sqrt x-1)}$$

$$y^{\prime}=\frac{4\sqrt {xy}+y\sqrt y}{x-\sqrt x}$$

EJERCICIO 10

Calcular la derivada implícita $latex y^{\prime}$ en la expresión:

$$e^{2x+3y}=x^2-\ln (xy^3)$$

Se deriva a ambos lados de la igualdad, aplicando las reglas de derivación:

$$\left[e^{2x+3y}\right]^{\prime}=\left[x^2-\ln (xy^3)\right]^{\prime}$$

$$e^{2x+3y}(2+3y^{\prime})=2x-\frac{1}{xy^3}(y^3+3xy^2y^{\prime})$$

$$2e^{2x+3y}+3y^{\prime}e^{2x+3y}=2x-\frac{1}{x}-\frac{3y^{\prime}}{y}$$

Enseguida se agrupan los términos que contienen $latex y^{\prime}$ a la izquierda de la igualdad:

$$3y^{\prime}e^{2x+3y}+3y^{\prime}y^{-1}=2x-x^{-1}-2e^{2x+3y}$$

Se saca $latex y^{\prime}$ factor común:

$$3y^{\prime}\left(e^{2x+3y}+y^{-1}\right)=2x-x^{-1}-2e^{2x+3y}=$$

Y por último, se despeja $latex y^{\prime}$:

$$y^{\prime}=\frac{2x-x^{-1}-2e^{2x+3y}}{3(e^{2x+3y}+y^{-1})}$$

EJERCICIO 11

Encontrar $latex \dfrac{dy}{dx}$ para la siguiente función dada en forma implícita:

$$\cos(x^2+1)=xe^y$$

Se comienza planteando la derivada a ambos lados de la igualdad:

$$\left[\cos(x^2+1)\right]^{\prime}=\left(xe^y\right)^{\prime}$$

Luego se aplican las reglas de derivación para el coseno a la izquierda, cuyo argumento es $latex x^2+1$ y la exponencial a la derecha:

$$-2x\sin(x^2+1)=e^y+xe^yy^{\prime}$$

$$xe^yy^{\prime}=-2x\sin(x^2+1)-e^y$$

Enseguida se despeja $latex y^{\prime}$:

$$y^{\prime}=\frac{-2x\sin(x^2+1)-e^y}{xe^y}$$

Puesto que $latex y^{\prime} =\dfrac{dy}{dx} $, se escribe:

$$\dfrac{dy}{dx} =\frac{-2x\sin(x^2+1)-e^y}{xe^y}$$

EJERCICIO 12

Hallar $latex\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para:

$$y^2=x^3$$

En primer lugar, se plantea la primera derivada $latex y^{\prime}$:

$$(y^2)^{\prime}=(x^3)^{\prime}$$

$$2yy^{\prime}=3x^2$$

Se despeja $latex y^{\prime}$:

$$y^{\prime}=\frac{3x^2}{2y}$$

$$y^{\prime}=\frac{3}{2}x^2y^{-1}$$

Ahora se plantea la segunda derivada $latex y^{\prime \prime}$:

$$y^{\prime \prime}=\left[\frac{3}{2}x^2y^{-1}\right]^{\prime}$$

El siguiente paso es aplicar la derivada de un producto a la derecha de la igualdad:

$$y^{\prime \prime}=\frac{3}{2}\left[2xy^{-1}+x^2(-1)y^{-2}y^{\prime}\right]$$

$$y^{\prime \prime}=\frac{3}{2}\left[2xy^{-1}-x^2y^{-2}y^{\prime}\right]$$

Enseguida se sustituye la expresión para $latex y^{\prime}$ que se obtuvo previamente:

$$y^{\prime \prime}=\frac{3}{2}\left[2xy^{-1}-x^2y^{-2}\left(\frac{3}{2}x^2y^{-1}\right)\right]$$

Y se obtiene:

$$y^{\prime \prime}=\frac{3xy^{-1}}{4}\left(4-3x^3y^{-2}\right)$$


Ejercicios de derivación implícita para resolver

Práctica de derivación implícita
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Encuentra la derivada $latex \frac{dy}{dx}$ de la siguiente función: $$\frac{x^2}{x+y}=2$$

Escribe el resultado en la casilla.

$latex \frac{dy}{dx}=$

Véase también

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Imagen de perfil del autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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