Derivadas implícitas – Ejercicios resueltos

Las funciones implícitas pueden ser derivadas al derivar a cada término de la función con respecto a x. Para esto las reglas de la cadena y del producto son frecuentemente usadas. Luego, la ecuación obtenida es resuelta para dy/dx.

A continuación, resolveremos varios ejercicios de derivadas de funciones implícitas. Además, veremos algunos ejercicios de práctica.

CÁLCULO
Derivadas de funciones implícitas

Relevante para

Resolver ejercicios de derivadas implícitas.

Ver ejercicios

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Derivadas de funciones implícitas

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¿Cómo derivar funciones implícitas?

Recordemos que las funciones implícitas son funciones que no están expresadas en la forma $latex y=f(x)$. Por ejemplo, $latex x^2+2xy=5$ es una función implícita.

En algunos casos, podemos reorganizar a la función implícita para obtener una función explícita de $latex x$. Por ejemplo, $latex x^2+2xy=5$ puede escribirse como:

$$y=\frac{5-x^2}{2x}$$

Luego, podríamos derivar esta función usando la regla del cociente.

Sin embargo, en muchos casos, la función implícita no puede ser expresada en la forma $latex y=f(x)$, como por ejemplo la función $latex x^2+3xy-4y^3=7$.

En estos caso, podemos usar el siguiente proceso para derivar este tipo de funciones:

Considera la siguiente función implícita:

$latex x^2+y^2=2$

Derivando a cada término con respecto a $latex x$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(2)$$

La derivada de $latex x^2$ en términos de $latex x$ es $latex 2x$ y la derivada de 2 es 0, pero para el término $latex y^2$, tenemos que usar la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dy}(y^2)\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}$$

Entonces, la derivada de la función es:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

Ahora, solo tenemos que reorganizar para $latex \frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$$


Ejercicios resueltos de derivadas implícitas

EJERCICIO 1

Hallar $latex \dfrac{dy}{dx}$ por derivación implícita de:

$$x^2+y^2 =16$$

Solución

EJERCICIO 2

Deriva implícitamente a la siguiente función para encontrar $latex \frac{dy}{dx}$:

$$x^2y=4x+3$$

Solución

EJERCICIO 3

¿Cuál es la derivada $latex \frac{dy}{dx}$ de la siguiente función?

$$(x+y)^4-6x^2=0$$

Solución

EJERCICIO 4

Derivar implícitamente la función para encontrar $latex y^{\prime}$:

$$\ln(x+y)=x$$

Solución

EJERCICIO 5

Calcular $latex \dfrac{dy}{dx}$ para la siguiente función implícita:

$$3x^2y+4x=2y^3-7x^4$$

Solución

EJERCICIO 6

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva $latex x^3+y^3=9$ en el punto $latex (1,2)$

Solución

EJERCICIO 7

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva $latex \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$, en el punto $latex \left(-5,\dfrac{9}{4}\right)$.

Solución

EJERCICIO 8

Encontrar $latex y^{\prime}$ para:

$$ x = \sec\left(\frac{1}{y}\right)$$

Solución

EJERCICIO 9

Encontrar $latex \dfrac{dy}{dx}$ en la siguiente función dada en forma implícita:

$$\sqrt {xy}+2x=\sqrt {y}$$

Solución

EJERCICIO 10

Calcular la derivada implícita $latex y^{\prime}$ en la expresión:

$$e^{2x+3y}=x^2-\ln (xy^3)$$

Solución

EJERCICIO 11

Encontrar $latex \dfrac{dy}{dx}$ para la siguiente función dada en forma implícita:

$$\cos(x^2+1)=xe^y$$

Solución

EJERCICIO 12

Hallar $latex\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para:

$$y^2=x^3$$

Solución

Ejercicios de derivación implícita para resolver

Práctica de derivación implícita
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Encuentra la derivada $latex \frac{dy}{dx}$ de la siguiente función: $$\frac{x^2}{x+y}=2$$

Escribe el resultado en la casilla.

$latex \frac{dy}{dx}=$

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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