La regla del producto es uno de los principios fundamentales que se aplican en el Cálculo Diferencial (o Cálculo I). Se usa comúnmente para derivar una función que involucra la operación de multiplicación. La regla del producto puede ser demostrada utilizando uno de los pilares del Cálculo, que son los límites. También se han utilizado otros métodos como la regla de la cadena para demostrar los principios de la regla del producto.

En este artículo, exploraremos todo sobre la regla del producto. Cubriremos su definición, fórmula, demostraciones y aplicaciones. También veremos algunos ejemplos y problemas de práctica para aplicar los principios de la regla del producto.

CÁLCULO
Fórmula para la regla del producto de derivadas

Relevante para

Aprender sobre la regla del producto con ejemplos.

Ver fórmula

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Fórmula para la regla del producto de derivadas

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La regla del producto y su fórmula

¿Qué es la regla del producto?

La regla del producto es una regla que establece que se puede derivar un producto de al menos dos funciones al obtener la suma de (a) primera función en forma original multiplicada por la derivada de la segunda función y (b) segunda función en forma original multiplicado por la derivada de la primera función.

Alternativamente, es cuando un producto de las funciones que se derivan es igual a la primera función (o primer multiplicando) en su forma original multiplicado por la derivada de la segunda función (o el segundo multiplicando) y luego sumado a la forma original de la segunda función (o el segundo multiplicando) en su forma original multiplicada por la derivada de la primera función (o el primer multiplicando).

La fórmula de la regla del producto

La fórmula de la regla del producto es:

(fg)'(x) = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)

en donde

u = primera función f(x) o el primer multiplicando
v = segunda función g(x) o el segundo multiplicando

O en otras formas, puede ser:

\frac{d}{dx}(F(x)) = f(x) \cdot \frac{d}{dx}(g'(x)) + g(x) \cdot \frac{d}{dx}(f(x))

o

\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'

que es la forma más comúnmente utilizada de la fórmula de la regla del producto donde

u = f(x)
v = g(x)

y \frac{d}{dx}(uv) también pueden ser y', F'(x), {\Upsilon}' u otras letras utilizadas para denotar funciones con el símbolo de apóstrofo.

La regla del producto para tres o más funciones

Mira este artículo para conocer la regla del producto de tres o más funciones.


Demostraciones de la regla del producto

Hay tres métodos principales que podemos usar para demostrar la regla del producto, usando límites, usando la regla de la cadena y usando la diferenciación logarítmica.

Demostración de la regla del producto mediante el uso de límites

Esta prueba usa la definición de límite de una derivada:

\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

Usando una sustitución de f(x)\cdot g(x), podemos escribir la derivada de un producto en términos de límites. Luego, podemos manipular el numerador algebraicamente. Si usamos las leyes de los límites, podemos resolver los límites hasta obtener la regla del producto.

Echa un vistazo a nuestro artículo sobre las demostraciones de la regla del producto para aprender a demostrar la regla del producto paso a paso. Además de la demostración usando límites, también puedes aprender sobre las demostraciones usando la regla de la cadena y usando la diferenciación logarítmica.


Cuándo usar la regla del producto para encontrar derivadas

La fórmula de la regla del producto es una herramienta eficiente para derivar funciones dadas como las siguientes:

a. F(x) = f(x) \cdot g(x)
donde f(x) y g(x) son dos multiplicandos de la función dada F(x).

b. fg(x) = f(x) \cdot g(x)
donde f(x) y g(x) son dos multiplicandos y fg(x) es una operación de función.

c. f(x) = u \cdot v
donde u y v son dos multiplicandos de la función dada f(x).

d. f(x) = x_1 \cdot x_2
donde x_1 y x_2 son dos multiplicandos de la función dada f(x).

e. G(x) = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)
donde f(x), g(x) y h(x) son tres multiplicandos de la función dada G(x).

f. H(x) = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \cdot n(x)…..
donde f(x), g(x), h(x) y n(x)… son varios multiplicandos de la función dada H(x).

Estos son los ejemplos más comunes de funciones que usan la regla del producto para problemas de diferenciación.

Aunque se puede argumentar que una función puede ser multiplicada algebraicamente antes de que se pueda derivar usando los métodos de derivadas iniciales y más simples (o incluso una fórmula de derivada específica de la función), no siempre es así, incluso en algunos problemas básicos de multiplicación que podemos resolver. encuentro.

Por lo tanto, tenemos la regla del producto para que aún sea posible derivar el producto de funciones que son muy difíciles de multiplicar algebraicamente o incluso imposibles de multiplicar y simplificar algebraicamente.


Cómo usar la regla del producto, un tutorial paso a paso

Supongamos que tenemos que derivar

f(x) = x^2 \sin{(x)}

Como puedes observar, esta función dada tiene dos multiplicandos pero ya no se pueden multiplicar algebraicamente ni simplificar. Pero para derivar este problema, podemos usar la regla del producto como se muestra en los siguientes pasos:

Paso 1: Siempre se recomienda escribir la fórmula primero si aún eres un principiante.

\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'

Ten en cuenta que puedes usar cualquier forma de la fórmula de la regla del producto siempre sea más eficiente según tu preferencia o el problema dado.

Paso 2: Identifica cuántos multiplicandos tienes en el problema dado. En esta demostración, nuestro problema tiene dos. El primero es x^2 y el segundo es \sin{(x)}.

Paso 3: En la forma elegida de la fórmula de la regla del producto, identificaremos el primer multiplicando como u y el segundo multiplicando como v.

Entonces, tenemos

u = x^2
v = \sin{(x)}

Paso 4: Si eres un principiante, se recomienda enfáticamente que primero derives individualmente cada u y v antes de proceder a aplicar la fórmula de la regla del producto.

Y ahora, tenemos

u' = 2x

v' = \cos{(x)}

Paso 5: Aplique la fórmula de la regla del producto ahora sustituyendo u, u', v y v' en la fórmula de la regla del producto.

\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'

\frac{d}{dx}(uv) = (x^2) \cdot (\cos{(x)}) + (\sin{(x)}) \cdot (2x)

Paso 6: Simplifica algebraicamente y aplica las identidades trigonométricas necesarias, así como otras operaciones en las nuevas funciones presentes de la ecuación derivada cuando corresponda.

\frac{d}{dx}(uv) = x^2 \cos{(x)} + 2x \sin{(x)}

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como la respuesta final:

f'(x) = x^2 \cos{(x)} + 2x \sin{(x)}

Para propósitos de formalidad, se recomienda usar f'(x), y', o \frac{d}{dx}(f(x)) como su símbolo de derivadas en el lado izquierdo de la respuesta final en lugar de (uv)' o \frac{d}{dx}(uv).


Regla del producto – Ejemplos con respuestas

Usando la fórmula detallada anteriormente, podemos derivar varias funciones que se expresan como productos. Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada.

EJEMPLO 1

Deriva la función: f(x) = x^3 (x-5)

Paso 1: Escribimos la fórmula de la regla del producto como referencia:

\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'

Ten en cuenta que puedes usar cualquier forma de la fórmula de la regla del producto.

Paso 2: Identifica cuántos multiplicandos tienes en el problema dado. En este problema, tenemos dos. El primero es x^3 y el segundo es (x-5).

Paso 3: En la forma elegida de la fórmula de la regla del producto de esta demostración, marcaremos el primer multiplicando como u y el segundo multiplicando como v.

Entonces, tenemos

u = x^3
v = (x-5)

Paso 4: Deriva u y v individualmente:

u' = 3x

v' = (1-0)

Paso 5: Aplica la fórmula de la regla del producto ahora sustituyendo u, u', v y v' en la fórmula de la regla del producto.

\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'

\frac{d}{dx}(uv) = (x^3) \cdot (1-0) + (x-5) \cdot (3x)

Paso 6: Simplifica algebraicamente:

\frac{d}{dx}(uv) = x^3 + 3x (x-5)

\frac{d}{dx}(uv) = x^3 + 3x^2 - 15x

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta derivada final. La respuesta final es:

f'(x) = x^3 + 3x^2 - 15x

EJEMPLO 2

Encuentra la derivada de f(x) = \sin{(x)} \tan{(x)}.

Paso 1: Escribimos la fórmula de la regla del producto como referencia:

\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'

Paso 2: Identifica cuántos multiplicandos tienes en el problema dado. En este problema, tenemos dos. El primero es \sin{(x)} y el segundo es \tan{(x)}.

Paso 3: En la forma elegida de la fórmula de la regla del producto de esta demostración, marcaremos el primer multiplicando como u y el segundo multiplicando como v.

Entonces, tenemos

u = \sin{(x)}
v = \tan{(x)}

Paso 4: Deriva u y v individualmente:

u' = \cos{(x)}

v' = \sec^{2}{(x)}

Paso 5: Aplica la fórmula de la regla del producto ahora sustituyendo u, u', v y v' en la fórmula de la regla del producto.

\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'

\frac{d}{dx}(uv) = (\sin{(x)}) \cdot (\sec^{2}{(x)}) + (\tan{(x)}) \cdot (\cos{(x)})

Paso 6: Simplifica algebraicamente y dado que tenemos una función trigonométrica en nuestra derivada, también podemos aplicar algunas identidades trigonométricas aplicables en nuestra solución:

\frac{d}{dx}(uv) = \sin{(x)} \sec^{2}{(x)} + \tan{(x)} \cos{(x)}

\frac{d}{dx}(uv) = (\sin{(x)}) (\frac{1}{\cos{(x)}})^2 + (\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) (\cos{(x)})

\frac{d}{dx}(uv) = (\sin{(x)}) (\frac{1^{2}}{\cos^{2}{(x)}}) + (\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) (\cos{(x)})

\frac{d}{dx}(uv) = (\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) (\frac{1}{\cos{(x)}}) + (\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}) (\cos{(x)})

\frac{d}{dx}(uv) = \sec{(x)} \tan{(x)} + \sin{(x)}

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta derivada final. La respuesta final es:

f'(x) = \sec{(x)} \tan{(x)} + \sin{(x)}

EJEMPLO 3

Deriva la función: x^{2} \sin^{2}{(x)}

Paso 1: Escribimos la fórmula de la regla del producto como referencia:

\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'

Paso 2: Identifica cuántos multiplicandos tienes en el problema dado. En este problema, tenemos dos. El primero es x^{2} y el segundo es \sin^{2}{(x)}.

Paso 3: En la forma elegida de la fórmula de la regla del producto de esta demostración, tenemos el primer multiplicando como u y el segundo multiplicando como v.

Entonces, tenemos

u = x^{2}
v = \sin^{2}{(x)}

Paso 4: Deriva u and v individualmente:

u' = 2x

v' = 2 \sin{(x)} \cos{(x)}

Paso 5: Aplica la fórmula de la regla del producto ahora sustituyendo u, u', v y v' en la fórmula de la regla del producto.

\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'

\frac{d}{dx}(uv) = x^{2} \cdot (2 \sin{(x)} \cos{(x)}) + (\sin^{2}{(x)}) \cdot (2x)

Paso 6: Simplifica algebraicamente y dado que tenemos una función trigonométrica en nuestra derivada, también podemos aplicar algunas identidades trigonométricas aplicables en nuestra solución:

\frac{d}{dx}(uv) = x^{2} \cdot (2 \sin{(x)} \cos{(x)}) + (\sin^{2}{(x)}) \cdot (2x)

\frac{d}{dx}(uv) = 2x^{2} \sin{(x)} \cos{(x)} + 2x \sin^{2}{(x)}

\frac{d}{dx}(uv) = x^{2} (2 \sin{(x)} \cos{(x)}) + 2x \sin^{2}{(x)}

\frac{d}{dx}(uv) = x^{2} \sin{(2x)} + 2x \sin^{2}{(x)}

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta derivada final. La respuesta final es:

\frac{d}{dx}(uv) = x^{2} \sin{(2x)} + 2x \sin^{2}{(x)}

EJEMPLO 4

¿Cuál es la derivada de f(x) = 5x^7 \cot{(x^7)}?

Comenzamos enumerando la regla del producto como referencia:

\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'

En este problema, tenemos dos multiplicandos en la función f(x). El primer multiplicando es 5x^7 y el otro es \cot{(x^7)}

Podemos establecer u como el primer multiplicando y v como el segundo multiplicando.

Por lo tanto, tenemos

u = 5x^7
v = \cot{(x^7)}
f(x) = uv

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del producto:

f'(x) = uv' + vu'

\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)

\frac{d}{dx}f(x) = 5x^7 \cdot \frac{d}{dx}(\cot{(x^7)}) + \cot{(x^7)} \cdot \frac{d}{dx}(5x^7)

Nota: La derivada de u usa la fórmula de la regla de la potencia y la derivada de v usa la fórmula de la regla de la cadena y la fórmula de la derivada para la función trigonométrica.

Al aplicar la fórmula de la regla del producto junto con las otras fórmulas derivadas que se usarán para \textbf{\emph{u'}} y \textbf{\emph{v'}}, tenemos:

\frac{d}{dx}f(x) = 5x^7 \cdot (-7x^6 \csc^{2}{(x^7)}) + \cot{(x^7)} \cdot (35x^6)

Simplificando algebraicamente, obtenemos

\frac{d}{dx}f(x) = -35x^{13} \csc^{2}{(x^7)} + 35x^6 \cot{(x^7)}

Y la respuesta final es:

f'(x) = 35x^6 \cot{(x^7)} - 35x^{13} \csc^{2}{(x^7)}

EJEMPLO 5

¿Cuál es la derivada de f(x) = x^7 \sin{(\sin^{-1}{(x)})}?

Escribimos la fórmula de la regla del producto para nuestra referencia:

\frac{d}{dx}(uv) = uv' + vu'

Aquí, el primer multiplicando es x^7 y el segundo multiplicando es \sin{(\sin^{-1}{(x)})}.

Usaremos u para el primer multiplicando y v para el segundo multiplicando.

Por lo tanto, tenemos

u = x^7
v = \sin{(\sin^{-1}{(x)})}
f(x) = uv

Ahora, usamos la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:

f'(x) = uv' + vu'

\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)

\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot \frac{d}{dx}(\sin{(\sin^{-1}{(x)})}) + \sin{(\sin^{-1}{(x)})} \cdot \frac{d}{dx}(x^7)

Nota: En este problema, derivamos u usando la fórmula de la regla de la potencia y derivamos v usando las fórmulas de derivadas para la función trigonométrica y la función trigonométrica inversa.

Al aplicar la fórmula de la regla del producto junto con las otras fórmulas derivadas que se usarán para \textbf{\emph{u'}} y \textbf{\emph{v'}}, tenemos:

\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot (\cos{(\sin^{-1}{(x)})} (\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})) + \sin{(\sin^{-1}{(x)})} \cdot (7x^6)

Simplificando algebraicamente y aplicando identidades y operaciones trigonométricas y trigonométricas inversas, obtenemos

\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot (1) + 7x^6 \cdot (x)}

Y la respuesta final es:

f'(x) = 8x^7


Regla del producto – Problemas de práctica

Resuelve los siguientes problemas de diferenciación y prueba tus conocimientos sobre este tema. Usa la fórmula de la regla del producto detallada arriba para resolver los ejercicios. Si tienes problemas con estos ejercicios, puedes estudiar los ejemplos resueltos anteriormente.

Encuentra la derivada de f(x) = x^3 \ln{(x)}

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¿Cuál es la derivada de f(x) = (x^2 + 1)(x - 1) ?

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Obtén la derivada de y = 4 \sin{(x)} \cos{(x)}

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Encuentra la derivada de f(x)=(9x^3+3x)^4 \sin^2{(x+5)}

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