Ecuaciones paramétricas – Ejercicios resueltos

Las ecuaciones paramétricas son ecuaciones en las que y es una función de x, pero tanto x como y están definidas en términos de una tercera variable. La tercera variable es el parámetro de las ecuaciones. Frecuentemente, la variable t es usada en este tipo de ecuaciones.

A continuación, aprenderemos sobre las ecuaciones paramétricas con ejercicios resueltos. Además, veremos algunos ejercicios para resolver.

ÁLGEBRA
Ejermplos de ecuaciones paramétricas

Relevante para

Aprender sobre ecuaciones paramétricas con ejercicios.

Ver ejercicios

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Ejermplos de ecuaciones paramétricas

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Resumen de ecuaciones paramétricas

En las ecuaciones paramétricas, $latex y$ es definido como una función de $latex x$ al expresar tanto a $latex y$ como a $latex x$ en términos de una tercera variable conocida como un parámetro.

Por ejemplo, las siguientes ecuaciones son ecuaciones paramétricas en donde el parámetro es $latex t$.

$latex x=t+1~~~[1]$

$latex y=t^2~~~[2]$

Estas ecuaciones paramétricas definen a la parábola con la ecuación:

$latex y=x^2-2x+1$

Podemos obtener esto al eliminar el parámetro $latex t$ en las ecuaciones [1] y [2]. Si es que resolvemos la ecuación [1] para $latex t$, tenemos $latex t=x-1$. Sustituyendo esto en la ecuación [2], tenemos:

$latex y=(x-1)^2$

$latex y=x^2-2x+1$


Ejercicios resueltos de ecuaciones paramétricas

EJERCICIO 1

¿Cuál es la ecuación cartesiana de las siguientes ecuaciones paramétricas?

$latex x=\sqrt{t}$

$latex y=3t^2-4$

Una ecuación cartesiana es una ecuación de y expresada en términos de x. Entonces, tenemos que eliminar el parámetro $latex t$.

Empezamos resolviendo la primera ecuación para $latex t$. Para esto elevamos ambos lados al cuadrado:

$latex x=\sqrt{t}$

$latex x^2=t$

Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación, tenemos:

$latex y=3t^2-4$

$latex y=3(x^2)^2-4$

$latex y=3x^4-4$

EJERCICIO 2

Encuentra la ecuación cartesiana para las siguientes ecuaciones paramétricas:

$latex x=2t-1$

$latex y=12t^2-5$

Para obtener una ecuación cartesiana, tenemos que obtener una ecuación de y en términos de x.

Entonces, empezamos resolviendo la primera ecuación para $latex t$:

$latex x=2t-1$

$$t=\frac{x+1}{2}$$

Ahora, sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:

$latex y=12t^2-5$

$$y=12\left(\frac{x+1}{2}\right)^2-5$$

$$y=12\left(\frac{x^2+2x+1}{4}\right)-5$$

$$y=3x^2+6x+3-5$$

$latex y=3x^2+6x-2$

EJERCICIO 3

Expresa a y como una ecuación de x usando las siguientes ecuaciones paramétricas:

$latex x=2\sqrt{t}$

$latex y=8t^2+5$

Para expresar a $latex y$ como una ecuación de $latex x$, tenemos que empezar resolviendo la primera ecuación para $latex t$:

$latex x=2\sqrt{t}$

$$\sqrt{t}=\frac{x}{2}$$

$latex t=\frac{x^2}{4}$

Ahora, usamos esta expresión en la segunda ecuación:

$latex y=8t^2+5$

$$y=8\left(\frac{x^2}{4}\right)^2+5$$

$$y=8\left(\frac{x^4}{16}\right)+5$$

$$y=\frac{x^4}{2}+5$$

EJERCICIO 4

Encuentra la ecuación cartesiana para las siguientes ecuaciones paramétricas:

$$x=\frac{1}{t}$$

$latex y=3t-2$

Resolviendo la primera ecuación para $latex t$, tenemos:

$$x=\frac{1}{t}$$

$$t=\frac{1}{x}$$

Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación, tenemos:

$latex y=3t-2$

$$y=3\left(\frac{1}{x}\right)-2$$

$$y=\frac{3}{x}-2$$

Podemos multiplicar a toda la ecuación por $latex x$ para obtener $latex xy+2x=3$.

EJERCICIO 5

Encuentra una ecuación para y en términos de x usando las siguientes ecuaciones:

$$x=\frac{2}{\sqrt{x}}$$

$$y=\frac{3}{1+3}$$

Empezamos encontrando una expresión para $latex t$ en términos de $latex x$:

$$x=\frac{2}{\sqrt{t}}$$

$$x^2=\frac{4}{t}$$

$$t=\frac{4}{x^2}$$

Ahora, usamos esta expresión en la segunda ecuación:

$$y=\frac{3}{1+t}$$

$$y=\frac{3}{1+\frac{4}{x^2}}$$

Para simplificar, podemos multiplicar tanto al numerador, como al denominador por $latex x^2$:

$$y=\frac{3x^2}{x^2+4}$$

EJERCICIO 6

Encuentra una ecuación cartesiana usando las siguientes ecuaciones paramétricas:

$$x=\frac{1}{2-t}$$

$$y=\frac{3}{1+2t}$$

La ecuación de $latex x$ puede ser resuelta para $latex t$ de la siguiente forma:

$$x=\frac{1}{2-t}$$

$latex x(x-t)=1$

$latex 2x-xt=1$

$latex xt=2x-1$

$$t=\frac{2x-1}{x}$$

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de $latex y$, tenemos:

$$y=\frac{3}{1+2t}$$

$$y=\frac{3}{1+2\left(\frac{2x-1}{x}\right)}$$

$$y=\frac{3x}{x+2(2x-1)}$$

$$y=\frac{3x}{5x-2}$$


Ecuaciones paramétricas – Ejercicios para resolver

Práctica de ecuaciones paramétricas
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La ecuación cartesiana de las ecuaciones $latex x=\frac{t}{1-3t}$, $latex y=\frac{t}{1+2t}$ es escrita como una fracción. ¿Cuál es el denominador?

Escribe el denominador en la casilla.

$latex ~~=$

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre ecuaciones paramétricas y cálculo? Puedes mirar estas páginas:

Imagen de perfil del autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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