Los ejercicios de derivadas que involucran el producto de funciones se pueden resolver usando la fórmula de la regla del producto. Esta fórmula nos permite derivar un producto de funciones como fg(x)=f(x)g(x).
Aquí, veremos un resumen de la regla del producto. Además, exploraremos varios ejercicios con respuestas para comprender la aplicación de la fórmula de la regla del producto.
Resumen de la regla del producto
La regla del producto es una herramienta muy útil para derivar un producto de al menos dos funciones. Es una regla que establece que la derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función f(x) en su forma original multiplicada por la derivada de la segunda función g(x) y luego sumada a la forma original de la segunda función g(x) multiplicada por la derivada de la primera función f(x).
Esto nos da la fórmula de la regla del producto como:
$latex (fg)'(x) = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)$
o en una forma más corta, se puede ilustrar como:
$$\frac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’$$
en donde
- $latex u = f(x)$ o el primer multiplicando en el problema dado
- $latex v = g(x)$ o el segundo multiplicando en el problema dado
Puedes usar cualquiera de estas dos formas de la fórmula de la regla del producto según tus preferencias.
Usamos esta fórmula para derivar funciones que tienen la siguiente forma:
$latex fg(x) = f(x) \cdot g(x)$
o
$latex F(x) = uv$
donde $latex f(x)$ o $latex u$ es el primer multiplicando mientras que $latex g(x)$ o $latex v$ es el segundo multiplicando del problema dado.
Regla del producto de derivadas – Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1
Encuentra la derivada de la siguiente función:
$latex f(x) = \sqrt[5]{x^3} \cdot (x^5 + 3x^2 – 4x)$
Solución
Lo primero que debemos hacer es escribir la fórmula de la regla del producto para nuestra referencia:
$$\frac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’$$
Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex \sqrt[5]{x^3}$ y el otro es $latex (x^5 + 3x^2 – 4x)$.
Por lo tanto, tenemos
$latex u = \sqrt[5]{x^3}$
$latex v = (x^5 + 3x^2 – 4x)$
$latex f(x) = uv$
Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = (\sqrt[5]{x^3}) \cdot \frac{d}{dx}(x^5 + 3x^2 – 4x)+ (x^5 + 3x^2 – 4x) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt[5]{x^3})$$
Para cualquier radical, es recomendable reescribirlos en forma de exponente fraccionario:
$$\frac{d}{dx}f(x) = (x^3)^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{d}{dx}(x^5 + 3x^2 – 4x)+ (x^5 + 3x^2 – 4x) \cdot \frac{d}{dx}((x^3)^{\frac{1}{5}})$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = (x^3)^{\frac{1}{5}} \cdot (5x^4 + 6x – 4)+ (x^5 + 3x^2 – 4x) \cdot (\frac{1}{5} \cdot (x^3)^{-\frac{4}{5}} \cdot 3x^2)$$
Simplificando algebraicamente, obtenemos
$$f'(x) = x^{\frac{3}{5}} \cdot (5x^4 + 6x – 4)+ (x^5 + 3x^2 – 4x) \cdot (\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}})$$
$$f'(x) = 5x^{\frac{23}{5}} + 6x^{\frac{8}{5}} – 4x^{\frac{3}{5}}+ \frac{3}{5}x^{\frac{23}{5}} + \frac{9}{5}x^{\frac{8}{5}} – \frac{12}{5}x^{\frac{3}{5}}$$
$$f'(x) = \frac{28}{5}x^{\frac{23}{5}} + \frac{39}{5}x^{\frac{8}{5}} – \frac{32}{5}x^{\frac{3}{5}}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = \frac{28x^{\frac{23}{5}} + 39x^{\frac{8}{5}} – 32x^{\frac{3}{5}}}{5}$$
O en forma radical,
$$f'(x) = \frac{28\sqrt[5]{x^{23}} + 39\sqrt[5]{x^8} – 32\sqrt[5]{x^3}}{5}$$
EJERCICIO 2
Derive la siguiente función:
$latex f(x) = (5x^5-x^4) \cdot (30x-12x^2)$
Solución
Basado en lo dado, tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex (5x^5-x^4)$ y el otro es $latex (30x-12x^2)$.
Si $latex u$ es el primer multiplicando y $latex v$ es el segundo multiplicando, tenemos
$latex u = (5x^5-x^4)$
$latex v = (30x-12x^2)$
$latex f(x) = uv$
Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = (5x^5-x^4) \cdot \frac{d}{dx}(30x-12x^2)+ (30x-12x^2) \cdot \frac{d}{dx}(5x^5-x^4)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = (5x^5-x^4) \cdot (30-24x)+ (30x-12x^2) \cdot (25x^4-4x^3)$$
Simplificando algebraicamente, obtenemos
$$f'(x) = [-120x^6+174x^5-30x^4]+ [-300x^6+798x^5-120x^4]$$
$$f'(x) = -120x^6-300x^6+174x^5+798x^5-30x^4-120x^4$$
Y la respuesta final es:
$$ f'(x) = -420x^6+972x^5-150x^4$$
EJERCICIO 3
¿Cuál es la derivada de la siguiente función?
$latex f(x) = 6x^3 \cdot \ln{(x)}$
Solución
Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex 6x^3$ y el otro es $latex \ln{(x)}$:
$latex u = 6x^3$
$latex v = \ln{(x)}$
$latex f(x) = uv$
Usando la regla del producto, tenemos:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = 6x^3 \cdot \frac{d}{dx}(\ln{(x)}) + \ln{(x)} \cdot \frac{d}{dx}(6x^3)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = 6x^3 \cdot (\frac{1}{x}) + \ln{(x)} \cdot (18x^2)$$
Simplificando, obtenemos
$$f'(x) = 6x^2 + 18x^2 \cdot \ln{(x)}$$
Y la respuesta final es:
$latex f'(x) = 6x^2 + 18x^2\ln{(x)}$
EJERCICIO 4
Encuentra la derivada de:
$latex f(x) = 9x^3 \cdot \sec{(\pi x)}$
Solución
Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex 9x^3$ y el otro es $latex \sec{(\pi x)}$:
$latex u = 9x^3$
$latex v = \sec{(\pi x)}$
$latex f(x) = uv$
Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = 9x^3 \cdot \frac{d}{dx}(\sec{(\pi x)})+ \sec{(\pi x)} \cdot \frac{d}{dx}(9x^3)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = 9x^3 \cdot (\pi \sec{(\pi x)} \tan{(\pi x)})+ \sec{(\pi x)} \cdot (27x^2)$$
Simplificando, obtenemos
$$f'(x) = 9\pi x^3 \cdot (\sec{(\pi x)} \tan{(\pi x)})+ 27x^2 \cdot \sec{(\pi x)}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = 9\pi x^3 \sec{(\pi x)} \tan{(\pi x)}+ 27x^2 \sec{(\pi x)}$$
EJERCICIO 5
Derive la siguiente función:
$latex f(x) = 5^x \cdot (x+5)^5$
Solución
Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex 5^x$ y el otro es $latex (x+5)^5$:
$latex u = 5^x$
$latex v = (x+5)^5$
$latex f(x) = uv$
Al aplicar la regla del producto, tenemos:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = 5^x \cdot \frac{d}{dx}((x+5)^5)+ (x+5)^5 \cdot \frac{d}{dx}(5^x)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = 5^x \cdot (5 \cdot (x+5)^4 \cdot (1))+ (x+5)^5 \cdot (5^x \cdot \ln{(5)} \cdot (1))$$
Cuando simplificamos, tenemos:
$$f'(x) = 5(x+5)^4 \cdot 5^x + (x+5)^5 \cdot \ln{(x)}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = 5(x+5)^4 \cdot 5^x + (x+5)^5 \ln{(x)}$$
EJERCICIO 6
Encuentra la derivada de la siguiente función
$latex f(x) = 5x^7 \cot{(x^7)}$
Solución
Basados en la pregunta, tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex 5x^7$ y el otro es $latex \cot{(x^7)}$.
Por lo tanto, tenemos
$latex u = 5x^7$
$latex v = \cot{(x^7)}$
$latex f(x) = uv$
Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar el problema dado:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^7 \cdot \frac{d}{dx}(\cot{(x^7)}) + \cot{(x^7)} \cdot \frac{d}{dx}(5x^7)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^7 \cdot (-7x^6 \csc^{2}{(x^7)}) + \cot{(x^7)} \cdot (35x^6)$$
Podemos simplificar de la siguiente forma:
$$\frac{d}{dx}f(x) = -35x^{13} \csc^{2}{(x^7)} + 35x^6 \cot{(x^7)}$$
Y la respuesta final es:
$$f'(x) = 35x^6 \cot{(x^7)} – 35x^{13} \csc^{2}{(x^7)}$$
EJERCICIO 7
Encuentra la derivada de la función dada:
$latex f(x) = x^7 \sin{(\sin^{-1}{(x)})}$
Solución
Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex x^7$ y el otro es $latex \sin{(\sin^{-1}{(x)})}$.
Por lo tanto, tenemos
$latex u = x^7$
$latex v = \sin{(\sin^{-1}{(x)})}$
$latex f(x) = uv$
Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot \frac{d}{dx}(\sin{(\sin^{-1}{(x)})})+ \sin{(\sin^{-1}{(x)})} \cdot \frac{d}{dx}(x^7)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot (\cos{(\sin^{-1}{(x)})} (\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}))+ \sin{(\sin^{-1}{(x)})} \cdot (7x^6)$$
Simplificando algebraicamente, aplicando identidades y operaciones trigonométricas y usando inversas trigonométricas, obtenemos
$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot (1) + 7x^6 \cdot (x)$$
Y la respuesta final es:
$latex f'(x) = 8x^7$
EJERCICIO 8
¿Cuál es la derivada de la siguiente función?
$latex f(x)=5x^x \cos{3}{x}$
Solución
Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex 5x^x$ y el otro es $latex \cos^{3}(x)$.
Por lo tanto, tenemos
$latex u = 5x^x$
$latex v = \cos^{3}{(x)}$
$latex f(x) = uv$
Después de hacer esto, ahora podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^x \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{3}{(x)}) + \cos^{3}{(x)} \cdot \frac{d}{dx}(5x^x)$$
Nota: En este problema, la derivada de $latex u$ usa la diferenciación implícita, mientras que la derivada de $latex v$ usa la fórmula de la regla de la cadena y la fórmula de la derivada para la función trigonométrica.
$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^x \cdot (-3 \cos^{2}{x} \sin{x})+ \cos^{3}{(x)} \cdot (5x^x(\ln{(x)}+1))$$
Simplificando algebraicamente, la respuesta final es:
$$f'(x) = 5x^x(\ln{(x)}+1) \cos^{3}{(x)}– 15x^x \cos^{2}{x} \sin{x}$$
EJERCICIO 9
Encuentra la derivada de la siguiente función
$latex x^{e^x} e^{\sin{(x)}}$
Solución
Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex x^{e^x}$ y el otro es $latex e^{\sin(x)}$.
Por lo tanto, tenemos
$latex u = x^{e^x}$
$latex v = e^{\sin(x)}$
$latex f(x) = uv$
Después de hacer esto, ahora podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = x^{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(e^{\sin(x)}+ e^{\sin(x)} \cdot \frac{d}{dx}(x^{e^x})$$
Nota: En este problema, la derivada de $latex u$ usará diferenciación implícita, mientras que la derivada de $latex v$ usará fórmulas de derivadas para funciones exponenciales y trigonométricas.
$$\frac{d}{dx}f(x) = x^{e^x} \cdot (e^{sin(x)} \cos{(x)}) + e^{\sin(x)}\cdot (x^{e^x} (e^x \ln{(x)}+\frac{e^x}{x}))$$
Simplificando algebraicamente, la respuesta final es:
$$f'(x) = x^{e^x} e^{sin(x)} \cos{(x)} \hspace{1.15 pt} + \hspace{1.15 pt} x^{e^x} e^{\sin(x)} (e^x \ln{(x)}+\frac{e^x}{x})$$
EJERCICIO 10
Encuentra la derivada de $latex f(x) = (x^3-2x)^3 \cot^{-1}{(x^3-2x)}$.
Solución
Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex (x^3-2x)^3$ y el otro es $latex \cot^{-1}{(x^3-2x)}$.
Por lo tanto, tenemos
$latex u = (x^3-2x)^3$
$latex v = \cot^{-1}{(x^3-2x)}$
$latex f(x) = uv$
Después de hacer esto, ahora podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:
$latex f'(x) = uv’ + vu’$
$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$
$$\frac{d}{dx}f(x) = (x^3-2x)^3 \cdot \frac{d}{dx}(\cot^{-1}{(x^3-2x}))+ \cot^{-1}{(x^3-2x)} \cdot \frac{d}{dx}((x^3-2x)^3)$$
Nota: En este problema, la derivada de $latex u$ utilizará la fórmula de la regla de la cadena, mientras que la derivada de $latex v$ utilizará la fórmula de la derivada para una función trigonométrica inversa y la regla de la potencia.
$$\frac{d}{dx}f(x) = (x^3-2x)^3 \cdot (-\frac{3x^2-2}{(x^3-2x)^2+1})+ \cot^{-1}{(x^3-2x)} \cdot 3(x^3-2x)^2(3x-2)$$
Simplificando algebraicamente, la respuesta final es:
$$f'(x) = (x^3-2x)^2 (9x-6) \cot^{-1}{(x^3-2x)}– \frac{(x^3-2x)^3 (3x^2-2)}{(x^3-2x)^2+1}$$
Regla del producto de derivadas – Ejercicios para resolver


Encuentra la derivada de la siguiente función y determina el valor de $latex F^{\prime}(0)$: $latex F(x) = \sin(x^2+2x)\cos(x)$?
Escribe la respuesta en la casilla.
Veáse también
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