Regla del Producto – Ejercicios Desafiantes Resueltos y Para Resolver

Los ejercicios de derivadas que involucran el producto de funciones se pueden resolver usando la fórmula de la regla del producto. Esta fórmula nos permite derivar un producto de funciones como fg(x)=f(x)g(x).

Aquí, veremos un resumen de la regla del producto. Además, exploraremos varios ejercicios con respuestas para comprender la aplicación de la fórmula de la regla del producto.

CÁLCULO
Fórmula para la regla del producto 2 de derivadas

Relevante para

Explorar ejemplos con respuestas de la regla del producto.

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CÁLCULO
Fórmula para la regla del producto 2 de derivadas

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Resumen de la regla del producto

La regla del producto es una herramienta muy útil para derivar un producto de al menos dos funciones. Es una regla que establece que la derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función f(x) en su forma original multiplicada por la derivada de la segunda función g(x) y luego sumada a la forma original de la segunda función g(x) multiplicada por la derivada de la primera función f(x).

Esto nos da la fórmula de la regla del producto como:

$latex (fg)'(x) = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)$

o en una forma más corta, se puede ilustrar como:

$latex \frac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’$

en donde

  • $latex u = f(x)$ o el primer multiplicando en el problema dado
  • $latex v = g(x)$ o el segundo multiplicando en el problema dado

Puedes usar cualquiera de estas dos formas de la fórmula de la regla del producto según tus preferencias.

Usamos esta fórmula para derivar funciones que tienen la siguiente forma:

$latex fg(x) = f(x) \cdot g(x)$
o
$latex F(x) = uv$

donde $latex f(x)$ o $latex u$ es el primer multiplicando mientras que $latex g(x)$ o $latex v$ es el segundo multiplicando del problema dado.


Regla del producto – Ejercicios resueltos

Usando la fórmula detallada arriba, podemos derivar varias funciones que se escriben como productos. Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada.

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de $latex f(x) = 5x^7 \cot{(x^7)}$.

Lo primero que siempre debemos hacer es escribir la fórmula de la regla del producto para nuestra referencia:

$latex \frac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’$

Basados en la pregunta, tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex 5x^7$ y el otro es $latex \cot{(x^7)}$.

Con base en la fórmula de la regla del producto, $latex u$ es el primer multiplicando y $latex v$ el segundo multiplicando.

Por lo tanto, tenemos

$latex u = 5x^7$
$latex v = \cot{(x^7)}$
$latex f(x) = uv$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar el problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^7 \cdot \frac{d}{dx}(\cot{(x^7)}) + \cot{(x^7)} \cdot \frac{d}{dx}(5x^7)$$

Nota: En este problema, la derivada de $latex u$ usa la fórmula de la regla de la potencia, mientras que la derivada de $latex v$ usa la fórmula de la regla de la cadena y la fórmula de la derivada para la función trigonométrica.

Al aplicar la fórmula de la regla del producto junto con las otras fórmulas derivadas que se usarán para $latex u’$ y $latex v’$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^7 \cdot (-7x^6 \csc^{2}{(x^7)}) + \cot{(x^7)} \cdot (35x^6)$$

Simplificando algebraicamente, obtenemos

$$\frac{d}{dx}f(x) = -35x^{13} \csc^{2}{(x^7)} + 35x^6 \cot{(x^7)}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = 35x^6 \cot{(x^7)} – 35x^{13} \csc^{2}{(x^7)}$$

EJERCICIO 2

Encuentra la derivada de $latex f(x) = x^7 \sin{(\sin^{-1}{(x)})}$.

Lo primero que debemos hacer es escribir la fórmula de la regla del producto para nuestra referencia:

$latex \frac{d}{dx}(uv) = uv’ + vu’$

Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex x^7$ y el otro es $latex \sin{(\sin^{-1}{(x)})}$.

Con base en la fórmula de la regla del producto, $latex u$ es el primer multiplicando y $latex v$ es el segundo multiplicando.

Por lo tanto, tenemos

$latex u = x^7$
$latex v = \sin{(\sin^{-1}{(x)})}$
$latex f(x) = uv$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot \frac{d}{dx}(\sin{(\sin^{-1}{(x)})})+ \sin{(\sin^{-1}{(x)})} \cdot \frac{d}{dx}(x^7)$$

Nota: En este problema, la derivada de $latex u$ utilizará la fórmula de la regla de la potencia, mientras que la derivada de $latex v$ utilizará las fórmulas para la función trigonométrica y la función trigonométrica inversa.

Al aplicar la fórmula de la regla del producto junto con las otras fórmulas que se usarán para $latex u’$ y $latex v’$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot (\cos{(\sin^{-1}{(x)})} (\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}))+ \sin{(\sin^{-1}{(x)})} \cdot (7x^6)$$

Simplificando algebraicamente, aplicando identidades y operaciones trigonométricas y usando inversas trigonométricas, obtenemos

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^7 \cdot (1) + 7x^6 \cdot (x)$$

Y la respuesta final es:

$latex f'(x) = 8x^7$

EJERCICIO 3

Encuentra la derivada de $latex f(x)=5x^x \cos{3}{x}$.

Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex 5x^x$ y el otro es $latex \cos^{3}(x)$.

Con base en la fórmula de la regla del producto, $latex u$ es el primer multiplicando y $latex v$ es el segundo multiplicando.

Por lo tanto, tenemos

$latex u = 5x^x$
$latex v = \cos^{3}{(x)}$
$latex f(x) = uv$

Después de hacer esto, ahora podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^x \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{3}{(x)}) + \cos^{3}{(x)} \cdot \frac{d}{dx}(5x^x)$$

Nota: En este problema, la derivada de $latex u$ usa la diferenciación implícita, mientras que la derivada de $latex v$ usa la fórmula de la regla de la cadena y la fórmula de la derivada para la función trigonométrica.

Al aplicar la fórmula de la regla del producto junto con las otras fórmulas derivadas que se usarán para $latex u’$ y $latex v’$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = 5x^x \cdot (-3 \cos^{2}{x} \sin{x})+ \cos^{3}{(x)} \cdot (5x^x(\ln{(x)}+1))$$

Simplificando algebraicamente, la respuesta final es:

$$f'(x) = 5x^x(\ln{(x)}+1) \cos^{3}{(x)}– 15x^x \cos^{2}{x} \sin{x}$$

EJERCICIO 4

Encuentra la derivada de $latex x^{e^x} e^{\sin{(x)}}$.

Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex x^{e^x}$ y el otro es $latex e^{\sin(x)}$.

Con base en la fórmula de la regla del producto, $latex u$ es el primer multiplicando y $latex v$ es el segundo multiplicando.

Por lo tanto, tenemos

$latex u = x^{e^x}$
$latex v = e^{\sin(x)}$
$latex f(x) = uv$

Después de hacer esto, ahora podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(e^{\sin(x)}+ e^{\sin(x)} \cdot \frac{d}{dx}(x^{e^x})$$

Nota: En este problema, la derivada de $latex u$ usará diferenciación implícita, mientras que la derivada de $latex v$ usará fórmulas de derivadas para funciones exponenciales y trigonométricas.

Al aplicar la fórmula de la regla del producto junto con las otras fórmulas derivadas que se usarán para $latex u’$ y $latex v’$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^{e^x} \cdot (e^{sin(x)} \cos{(x)}) + e^{\sin(x)}\cdot (x^{e^x} (e^x \ln{(x)}+\frac{e^x}{x}))$$

Simplificando algebraicamente, la respuesta final es:

$$f'(x) = x^{e^x} e^{sin(x)} \cos{(x)} \hspace{1.15 pt} + \hspace{1.15 pt} x^{e^x} e^{\sin(x)} (e^x \ln{(x)}+\frac{e^x}{x})$$

EJERCICIO 5

Encuentra la derivada de $latex f(x) = (x^3-2x)^3 \cot^{-1}{(x^3-2x)}$.

Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex (x^3-2x)^3$ y el otro es $latex \cot^{-1}{(x^3-2x)}$.

Con base en la fórmula de la regla del producto, $latex u$ es el primer multiplicando y $latex v$ es el segundo multiplicando.

Por lo tanto, tenemos

$latex u = (x^3-2x)^3$
$latex v = \cot^{-1}{(x^3-2x)}$
$latex f(x) = uv$

Después de hacer esto, ahora podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = (x^3-2x)^3 \cdot \frac{d}{dx}(\cot^{-1}{(x^3-2x}))+ \cot^{-1}{(x^3-2x)} \cdot \frac{d}{dx}((x^3-2x)^3)$$

Nota: En este problema, la derivada de $latex u$ utilizará la fórmula de la regla de la cadena, mientras que la derivada de $latex v$ utilizará la fórmula de la derivada para una función trigonométrica inversa y la regla de la potencia.

Al aplicar la fórmula de la regla del producto junto con las otras fórmulas derivadas que se usarán para $latex u’$ y $latex v’$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = (x^3-2x)^3 \cdot (-\frac{3x^2-2}{(x^3-2x)^2+1})+ \cot^{-1}{(x^3-2x)} \cdot 3(x^3-2x)^2(3x-2)$$

Simplificando algebraicamente, la respuesta final es:

$$f'(x) = (x^3-2x)^2 (9x-6) \cot^{-1}{(x^3-2x)}– \frac{(x^3-2x)^3 (3x^2-2)}{(x^3-2x)^2+1}$$

EJERCICIO 6

Encuentra la derivada de $latex f(x) = \sin^{x}{(x)} \cos{(x)}$.

Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex \sin^{x}{(x)}$ y el otro es $latex \cos{(x)}$.

Con base en la fórmula de la regla del producto, $latex u$ es el primer multiplicando y $latex v$ es el segundo multiplicando.

Por lo tanto, tenemos

$latex u = \sin^{x}{(x)}$
$latex v = \cos{(x)}$
$latex f(x) = uv$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:

$latex f'(x) = uv’ + vu’$

$$\frac{d}{dx}f(x) = u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u)$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = \sin^{x}{(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\cos{(x)})+ \cos{(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{x}{(x)})$$

Nota: En este problema, la derivada de $latex u$ utilizará la diferenciación implícita y la fórmula de derivadas de funciones trigonométricas, mientras que la derivada de $latex v$ solo utilizará la fórmula de derivadas de funciones trigonométricas.

Al aplicar la fórmula de la regla del producto junto con las otras fórmulas derivadas que se usarán para $latex u’$ y $latex v’$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = \sin^{x}{(x)} \cdot (-\sin{(x)})+ \cos{(x)} \cdot \sin^{x}{(x)}(x \cot{(x)}+\ln{(\sin{(x)})})$$

Simplificando algebraicamente y aplicando operaciones trigonométricas e identidades, la respuesta final es:

$$f'(x) = \sin^{x}{(x)} \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} [(cos(x) \hspace{1.15 pt} \cdot \hspace{1.15 pt} (x \cot{(x)}+\ln{(\sin{(x)})}) \hspace{1.15 pt}) – \sin{(x)}]$$

EJERCICIO 7

Encuentra la derivada de $latex f(x) = x^3 e^x \tan{(x)}$.

Con base en lo dado, tenemos tres multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $latex x^3$, el segundo es $latex e^x$ y el tercero es $latex \tan{(x)}$.

Pero, ¿cómo derivamos un problema que consiste en un producto de tres funciones o tres multiplicandos?

Puede parecer difícil pero en realidad es fácil.

Tenemos:

$latex u$ = primer multiplicando
$latex v$ = segundo multiplicando
$latex w$ = tercer multiplicando

Luego tenemos nuestra fórmula de regla de producto ajustada,

$$\frac{d}{dx}(uvw) = [uv \cdot (w)’] + [w \cdot (uv)’]$$

en el que una vez expandimos $latex (uv)’$, tenemos

$$\frac{d}{dx}(uvw) = [uv \cdot (w)’] + [w \cdot (uv’ + vu’)]$$

Esta es la fórmula de la regla del producto que usaremos para este problema con tres multiplicandos. Por lo tanto, tenemos

$latex u = x^3$
$latex v = e^x$
$latex w = \tan{(x)}$
$latex f(x) = uvw$

Después de hacer esto, ahora podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:

$latex f'(x) = [uv \cdot (w)’] + [w \cdot (uv’ + vu’)]$

$$ \frac{d}{dx}f(x) = u \cdot v \cdot \frac{d}{dx}(w)+ w \cdot (u \cdot \frac{d}{dx}(v) + v \cdot \frac{d}{dx}(u))$$

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^3 \cdot e^x \cdot \frac{d}{dx}(\tan{(x)})+ \tan{(x)} \cdot (x^3 \cdot \frac{d}{dx}(e^x) + e^x \cdot \frac{d}{dx}(x^3))$$

Nota: En este problema, la derivada de $latex u$ usará la fórmula de la regla de la potencia. La derivada de $latex v$ usará la fórmula de la derivada para una función exponencial. Luego, por último, la derivada de $latex w$ usará la fórmula para funciones trigonométricas.

Al aplicar la fórmula de la regla del producto ajustada que se muestra arriba junto con las otras fórmulas que se usarán para $latex u’$, $latex v’$ y $latex w’$; tenemos:

$$\frac{d}{dx}f(x) = x^3e^x \cdot \sec^{2}{(x)}+ \tan{(x)} \cdot (x^3 \cdot e^x + e^x \cdot 3x^2)$$

Simplificando algebraicamente, la respuesta final es:

$$f'(x) = e^3 [x^3 \sec^{2}{(x)} + (x^3+3x^2) \tan{(2)}]$$


Regla del producto – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes problemas y prueba tus conocimientos sobre las derivadas. Usa la fórmula de la regla del producto detallada arriba para resolver los ejercicios. Si tienes problemas con estos ejercicios, puedes estudiar los ejemplos resueltos anteriormente.

Encuentra la derivada de $latex f(x)=(9x^3+3x)^4 \sin^2{(x+5)}$

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¿Cuál es la derivada de $latex f(x)=\sec^{-1}{(e^{x^2})} \cdot \tan^{-1}{(e^{x^2})}$?

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Deriva la función: $latex f(x)=(x+2)^{x+2} \cdot \ln{(e^{2^{x}})}$

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Deriva $latex y=10^x \cdot \log{(\sqrt{x^{10}-5x})}$

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Encuentra la derivada de $latex y=x^{\pi} \tan^{-1}{(cos(\pi x))}$

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