Las coordenadas de los puntos de inflexión de una función son encontradas usando la derivada de la función. Entonces, encontramos las raíces de la derivada y luego analizamos la naturaleza de estos puntos. En los puntos de inflexión, la pendiente tiene el mismo signo en ambos lados del punto.
A continuación, aprenderemos sobre los puntos de inflexión de funciones. Conoceremos cómo encontrar estos puntos y resolvemos algunos ejercicios de práctica.
¿Qué son los puntos de inflexión de una función?
Los puntos de inflexión de una función son puntos estacionarios que tienen la característica principal de que la pendiente tiene el mismo signo en ambos lados del punto.
Los puntos estacionarios de funciones son los puntos en donde la pendiente es igual a cero. Esto significa que en los puntos de inflexión tenemos $latex \frac{dy}{dx}=0$.
En el siguiente diagrama, podemos observar los dos casos de puntos de inflexión:
En el punto de inflexión de la izquierda, la pendiente es positiva en ambos lados del punto de inflexión. Es decir, la función crece de izquierda a derecha, por lo que tenemos lo siguiente:
- En la parte izquierda de P: $latex \frac{dy}{dx}>0$
- En el punto P: $latex \frac{dy}{dx}=0$
- En la parte derecha de P: $latex \frac{dy}{dx}>0$
En el punto de inflexión de la derecha, la pendiente es negativa en ambos lados del punto de inflexión. Es decir, la función decrece de izquierda a derecha, por lo que tenemos lo siguiente:
- En la parte izquierda de P: $latex \frac{dy}{dx}<0$
- En el punto P: $latex \frac{dy}{dx}=0$
- En la parte derecha de P: $latex \frac{dy}{dx}<0$
¿Cómo encontrar los puntos de inflexión de una función?
Para encontrar los puntos de inflexión, usamos la derivada de la función para encontrar los puntos estacionarios. Luego, podemos diferenciar a los puntos de inflexión con la segunda derivada o con los signos de la derivada a cada lado del punto.
Recordemos que los puntos estacionarios se caracterizan porque la pendiente en esos puntos es igual a cero. Entonces, usamos la derivada de la función para formar una ecuación y encontrar sus raíces.
Seguimos los siguientes pasos para encontrar los puntos de inflexión de una función:
Paso 1: Obtener la derivada de la función.
Paso 2: Encontrar los puntos estacionarios usando la derivada. Para esto, formamos la ecuación $latex \frac{dy}{dx}=0$ y encontramos los valores de x.
Paso 3: Determinar cuáles de los puntos estacionarios son puntos de inflexión. Cuando tenemos un punto de inflexión, debemos tener $latex \frac{d^2y}{dx^2}=0$.
Sin embargo, la segunda derivada también podría ser cero en un punto máximo o mínimo. Por lo tanto, la mejor forma de identificar a los puntos de inflexión es examinar el signo de la derivada a cada lado del punto.
Para que un punto estacionario sea un punto de inflexión, la pendiente debe tener el mismo signo en ambos lados del punto.
Paso 4: Usar las coordenadas en x de los puntos de inflexión para encontrar las coordenadas en y de los puntos.
Un método alternativo consiste en encontrar la segunda derivada de la función y formar una ecuación con la segunda derivada igualada a 0. Los valores de x de la ecuación son los puntos de inflexión.
Por ejemplo, si tenemos la función $latex f(x)$, los puntos de inflexión pueden ser encontrados al resolver la ecuación $latex f^{\prime \prime}(x)=0$.
Ejercicios resueltos de los puntos de inflexión de una función
EJERCICIO 1
Encuentra el punto de inflexión de la función $latex f(x)=x^3+2$.
Solución
Paso 1: La derivada de la función es:
$latex f(x)=x^3+2$
$latex f'(x)=3x^2$
Paso 2: Usando la derivada, formamos una ecuación y encontramos los valores de x:
$latex 3x^2=0$
$latex x=0$
Paso 3: Usamos la segunda derivada para verificar que el punto es un punto de inflexión:
$latex f^{\prime \prime}(x)=6x$
Cuando $latex x=0$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)=0$. Entonces, el punto es un punto de inflexión. Podemos usar su gráfica para verificar completamente:
Paso 4: Usando $latex x=0$ en la función, encontramos la coordenada en y del punto:
$latex y=x^3+2$
$latex y=(0)^3+2$
$latex y=2$
Las coordenadas del punto de inflexión son (0, 2).
EJERCICIO 2
¿Cuáles son las coordenadas del punto de inflexión de la función $latex f(x)=x^5-4$?
Solución
Paso 1: Empezamos encontrando la derivada de la función:
$latex f(x)=x^5-4$
$latex f'(x)=5x^4$
Paso 2: Encontramos los valores de x en la ecuación formada por la derivada:
$latex 5x^4=0$
$latex x=0$
Paso 3: Verificamos si es que el punto es un punto de inflexión usnado la segunda derivada:
$latex f^{\prime \prime}(x)=20x^3$
Cuando $latex x=0$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)=0$. Entonces, el punto es un punto de inflexión. Podemos usar su gráfica para verificar completamente:
Paso 4: Encontramos la coordenada en y del punto usando $latex x=0$ en la función:
$latex y=x^5-4$
$latex y=(0)^5-4$
$latex y=-4$
Las coordenadas del punto de inflexión son (0, -4).
EJERCICIO 3
Encuentra el punto de inflexión de la función $latex f(x)=x^3-9x^2+27x-29$.
Solución
Paso 1: Empezamos encontrando la derivada de la función:
$latex f(x)=x^3-9x^2+27x-29$
$latex f'(x)=3x^2-18x+27$
Paso 2: Formamos una ecuación con la derivada para encontrar los valores de x de los puntos estacionarios:
$latex 3x^2-18x+27=0$
$latex 3(x^2-6x+9)=0$
$latex 3(x-3)(x-3)=0$
$latex x=3$
Paso 3: Verificar si el punto es un punto de inflexión con la segunda derivada:
$latex f^{\prime \prime}(x)=6x-18$
Cuando $latex x=3$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)=0$.
Además, cuando usamos $latex x=3.1$ (derecha del punto) y $late x=2.9$ (izquierda del punto) en la primera derivada, obtenemos dos valores positivos, por lo que confirmamos que es un punto de inflexión.
Paso 4: Usando $latex x=3$ en la función, encontramos la coordenada en y del punto:
$latex y=x^3-9x^2+27x-29$
$latex y=(3)^3-9(3)^2+27(3)-29$
$latex y=-2$
Las coordenadas del punto de inflexión son (3, -2).
EJERCICIO 4
Encuentra las coordenadas del punto de inflexión de la función $latex f(x)=x^4+4x^3+1$.
Solución
Paso 1: Derivando a la función, tenemos:
$latex f(x)=x^4+4x^3+1$
$latex f'(x)=4x^3+12x^2$
Paso 2: Los valores de x de los puntos estacionarios son:
$latex 4x^3+12x^2=0$
$latex 4x^2(x+3)=0$
$latex x=0~~$ o $latex ~~x=-3$
Paso 3: Usamos la segunda derivada para determinar cuál punto es un punto de inflexión:
$latex f^{\prime \prime}(x)=12x^2+24x$
Cuando $latex x=0$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)=0$ y cuando $latex x=-3$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$. Entonces, el punto $latex x=0$ podría ser un punto de inflexión.
Al usar los valores $latex x=0.1$ y $latex x=-0.1$ en la primera derivada, obtenemos pendientes con el mismo signo, por lo que el punto sí es un punto de inflexión.
Paso 4: Usando $latex x=0$ en la función, encontramos la coordenada en y del punto:
$latex y=x^4+4x^3+1$
$latex y=(0)^4+4(0)^3+1$
$latex y=1$
Las coordenadas del punto de inflexión son (0, 1).
EJERCICIO 5
¿Cuáles son los puntos de inflexión de la función $latex f(x)=x^4 – 4x^2 + 4$?
Solución
La derivada y la segunda derivada de la función son:
$latex f(x)=x^4 – 4x^2 + 4$
$latex f^{\prime}(x)=4x^3-8x$
$latex f^{\prime \prime}(x)=12x^2-8$
Ahora, usamos la segunda derivada para formar una ecuación y encontrar los valores de x:
$latex f^{\prime \prime}(x)=12x^2-8=0$
$$x^2=\frac{2}{3}$$
$$x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$$
Entonces, los puntos de inflexión suceden en los puntos $latex x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.
Ahora, usamos esos valores de x para encontrar las coordenadas y:
$$y_{1}=\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^4 – 4\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 + 4$$
$$y_{1}=\frac{4}{3}$$
$$y_{2}=\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^4 – 4\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 + 4$$
$$y_{2}=\frac{4}{3}$$
Las coordenadas de los puntos de inflexión son $latex \left(\sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{4}{3}\right)$ y $latex \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{4}{3}\right)$.
Puntos de inflexión de una función – Ejercicios para resolver
¿Cuáles son las coordenadas del punto de inflexión en la función $latex f(x)=x^3-3x^2+x$?
Escribe las coordenadas en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
