Puntos de inflexión de una función – Fórmulas y Ejercicios

Las coordenadas de los puntos de inflexión de una función son encontradas usando la derivada de la función. Entonces, encontramos las raíces de la derivada y luego analizamos la naturaleza de estos puntos. En los puntos de inflexión, la pendiente tiene el mismo signo en ambos lados del punto.

A continuación, aprenderemos sobre los puntos de inflexión de funciones. Conoceremos cómo encontrar estos puntos y resolvemos algunos ejercicios de práctica.

CÁLCULO
Punto de inflexión de una función

Relevante para

Aprender a encontrar el punto de inflexión de una función.

Ver proceso

CÁLCULO
Punto de inflexión de una función

Relevante para

Aprender a encontrar los puntos de inflexión de una función.

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¿Qué son los puntos de inflexión de una función?

Los puntos de inflexión de una función son puntos estacionarios que tienen la característica principal de que la pendiente tiene el mismo signo en ambos lados del punto.

Los puntos estacionarios de funciones son los puntos en donde la pendiente es igual a cero. Esto significa que en los puntos de inflexión tenemos $latex \frac{dy}{dx}=0$.

En el siguiente diagrama, podemos observar los dos casos de puntos de inflexión:

Diagrama de los puntos de inflexión de una función

En el punto de inflexión de la izquierda, la pendiente es positiva en ambos lados del punto de inflexión. Es decir, la función crece de izquierda a derecha, por lo que tenemos lo siguiente:

  • En la parte izquierda de P: $latex \frac{dy}{dx}>0$
  • En el punto P: $latex \frac{dy}{dx}=0$
  • En la parte derecha de P: $latex \frac{dy}{dx}>0$

En el punto de inflexión de la derecha, la pendiente es negativa en ambos lados del punto de inflexión. Es decir, la función decrece de izquierda a derecha, por lo que tenemos lo siguiente:

  • En la parte izquierda de P: $latex \frac{dy}{dx}<0$
  • En el punto P: $latex \frac{dy}{dx}=0$
  • En la parte derecha de P: $latex \frac{dy}{dx}<0$

¿Cómo encontrar los puntos de inflexión de una función?

Para encontrar los puntos de inflexión, usamos la derivada de la función para encontrar los puntos estacionarios. Luego, podemos diferenciar a los puntos de inflexión con la segunda derivada o con los signos de la derivada a cada lado del punto.

Recordemos que los puntos estacionarios se caracterizan porque la pendiente en esos puntos es igual a cero. Entonces, usamos la derivada de la función para formar una ecuación y encontrar sus raíces.

Seguimos los siguientes pasos para encontrar los puntos de inflexión de una función:

Paso 1: Obtener la derivada de la función.

Paso 2: Encontrar los puntos estacionarios usando la derivada. Para esto, formamos la ecuación $latex \frac{dy}{dx}=0$ y encontramos los valores de x.

Paso 3: Determinar cuáles de los puntos estacionarios son puntos de inflexión. Cuando tenemos un punto de inflexión, debemos tener $latex \frac{d^2y}{dx^2}=0$.

Sin embargo, la segunda derivada también podría ser cero en un punto máximo o mínimo. Por lo tanto, la mejor forma de identificar a los puntos de inflexión es examinar el signo de la derivada a cada lado del punto.

Para que un punto estacionario sea un punto de inflexión, la pendiente debe tener el mismo signo en ambos lados del punto.

Paso 4: Usar las coordenadas en x de los puntos de inflexión para encontrar las coordenadas en y de los puntos.

Un método alternativo consiste en encontrar la segunda derivada de la función y formar una ecuación con la segunda derivada igualada a 0. Los valores de x de la ecuación son los puntos de inflexión.

Por ejemplo, si tenemos la función $latex f(x)$, los puntos de inflexión pueden ser encontrados al resolver la ecuación $latex f^{\prime \prime}(x)=0$.


Ejercicios resueltos de los puntos de inflexión de una función

EJERCICIO 1

Encuentra el punto de inflexión de la función $latex f(x)=x^3+2$.

Solución

EJERCICIO 2

¿Cuáles son las coordenadas del punto de inflexión de la función $latex f(x)=x^5-4$?

Solución

EJERCICIO 3

Encuentra el punto de inflexión de la función $latex f(x)=x^3-9x^2+27x-29$.

Solución

EJERCICIO 4

Encuentra las coordenadas del punto de inflexión de la función $latex f(x)=x^4+4x^3+1$.

Solución

EJERCICIO 5

¿Cuáles son los puntos de inflexión de la función $latex f(x)=x^4 – 4x^2 + 4$?

Solución

Puntos de inflexión de una función – Ejercicios para resolver

Práctica de puntos de inflexión de una función
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¿Cuáles son las coordenadas del punto de inflexión en la función $latex f(x)=x^3-3x^2+x$?

Escribe las coordenadas en la casilla.

$latex =$

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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