Las coordenadas del punto mínimo de una función pueden ser encontradas usando la derivada de la función. Para esto, recordamos que los puntos estacionarios tienen una pendiente igual a cero. Entonces, encontramos las raíces de la derivada y usamos la segunda derivada para confirmar si es que el punto es un mínimo.
A continuación, aprenderemos sobre los puntos mínimos de funciones. Conoceremos cómo encontrar estos puntos y resolvemos algunos ejercicios de práctica.
¿Qué es el punto mínimo de una función?
El punto mínimo de una función es el menor valor posible que podemos obtener de las salidas de la función, es decir, de los valores de y. El punto mínimo es uno de los puntos estacionarios de una función.
Además, recordemos que los puntos estacionarios de funciones son puntos en donde la pendiente de la recta tangente es igual a cero. Esto significa que en un punto mínimo tenemos $latex \frac{dy}{dx}=0$.
En el siguiente diagrama, podemos observar la representación de un punto mínimo de una función:
La pendiente de la curva es negativa en la parte izquierda del punto P y la pendiente es positiva en la parte derecha. Es decir, tenemos lo siguiente:
- En la parte izquierda de P: $latex \frac{dy}{dx}<0$
- En el punto P: $latex \frac{dy}{dx}=0$
- En la parte derecha de P: $latex \frac{dy}{dx}>0$
Esto significa que la segunda derivada de la función en un punto mínimo es positiva, ya que la derivada crece de izquierda a derecha cerca a ese punto.
¿Cómo encontrar el punto mínimo de una función?
Podemos determinar las coordenadas del punto mínimo de una función al usar la derivada de la función para encontrar los puntos estacionarios. Luego, usamos la segunda derivada para identificar cuál de los puntos es un mínimo.
Para encontrar los puntos estacionarios, consideramos que la pendiente de la recta tangente en un punto estacionario es igual a cero. Entonces, formamos una ecuación con la derivada y encontramos sus raíces.
Podemos seguir los siguientes pasos para encontrar el punto mínimo de una función:
Paso 1: Encontrar la derivada de la función.
Paso 2: Usar la derivada de la función para encontrar los puntos estacionarios. Para esto, formamos una ecuación con la derivada y resolvemos para x. Es decir, tenemos $latex \frac{dy}{dx}=0$.
Paso 3: Determinar la naturaleza de los puntos estacionarios usando la segunda derivada. Cuando tenemos un punto mínimo, debemos tener $latex \frac{d^2y}{dx^2}>0$.
Paso 4: Usar la coordenada en x del punto mínimo para encontrar la coordenada en y del punto.
Ejercicios resueltos del punto mínimo de una función
EJERCICIO 1
Encuentra el punto mínimo de la función $latex f(x)=x^2+2x$
Solución
Paso 1: La derivada de la función es:
$latex f(x)=x^2+2x$
$latex f'(x)=2x+2$
Paso 2: Usando la derivada de la función, formamos una ecuación para encontrar el valor de x:
$latex 2x+2=0$
$latex 2x=-2$
$latex x=-1$
Paso 3: El valor de x encontrado corresponde a un punto estacionario. Ahora, tenemos que verificar si el punto es un mínimo usando la segunda derivada:
$latex f^{\prime \prime}(x)=2$
Obtuvimos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$. Esto significa que el punto sí es un punto mínimo.
Paso 4: Usamos $latex x=-1$ en la función para encontrar la coordenada en y de la función:
$latex y=x^2+2x$
$latex y=(-1)^2+2(-1)$
$latex y=-1$
El punto mínimo de la función es (-1, -1).
EJERCICIO 2
Determina las coordenadas del punto mínimo de la función $latex f(x)=2x^2+8x+2$.
Solución
Paso 1: Empezamos encontrando la derivada de la función. Entonces, tenemos:
$latex f(x)=2x^2+8x+2$
$latex f'(x)=4x+8$
Paso 2: Podemos encontrar el valor de x formando una ecuación con la derivada de la función:
$latex 4x+8=0$
$latex 4x=-8$
$latex x=-2$
Paso 3: Usamos la segunda derivada para verificar si el punto encontrando es un punto mínimo:
$latex f^{\prime \prime}(x)=4$
Tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, por lo que el punto sí es un punto mínimo.
Paso 4: La coordenada y del punto es:
$latex y=2x^2+8x+2$
$latex y=2(-2)^2+8(-2)+2$
$latex y=-6$
El punto mínimo de la función es (-2, -6).
EJERCICIO 3
¿Cuál es el punto mínimo de la función $latex f(x)=x^3-3x$?
Solución
Paso 1: Empezamos encontrando la derivada de la función:
$latex f(x)=x^3-3x$
$latex f'(x)=3x^2-3$
Paso 2: Encontramos los valores de x formando una ecuación con la derivada:
$latex 3x^2-3=0$
$latex x=\sqrt{1}$
$latex x=\pm 1$
$latex x=1~~$ o $latex ~~x=-1$
Paso 3: Los dos valores de x encontrados corresponden a puntos estacionarios. Entonces, usamos la segunda derivada para determinar cuál es el punto mínimo:
$latex f^{\prime \prime}(x)=6x$
Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ y cuando $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$. Esto significa que $latex x=1$ es el punto mínimo.
Paso 4: La coordenada en y del punto mínimo es:
$latex y=x^3-3x$
$latex y=(1)^3-3(1)$
$latex y=-2$
El punto mínimo de la función es (1, -2).
EJERCICIO 4
Determina el punto mínimo de la función $latex f(x)=2x^3-6x$.
Solución
Paso 1: Tenemos la siguiente derivada:
$latex f(x)=2x^3-6x$
$latex f'(x)=6x^2-6$
Paso 2: Los valores en x de los puntos estacionarios son:
$latex 6x^2-6=0$
$latex x=\sqrt{1}$
$latex x=\pm 1$
$latex x=1~~$ o $latex ~~x=-1$
Paso 3: Con la segunda derivada, determinamos cuál de los puntos es un mínimo:
$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$
Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ y cuando $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$. Esto significa que $latex x=1$ es el punto mínimo.
Paso 4: La coordenada en y del punto mínimo es:
$latex y=2x^3-6x$
$latex y=2(1)^3-6(1)$
$latex y=-4$
El punto mínimo de la función es (1, -4).
EJERCICIO 5
Encuentra el punto mínimo de $latex f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$.
Solución
Paso 1: La siguiente es la derivada de la función:
$latex f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$
$latex f'(x)=-x^2+2x+3$
Paso 2: Encontramos los valores de x de los puntos estacionarios usando la derivada:
$latex -x^2+2x+3=0$
$latex -(x-3)(x+1)=0$
$latex x=3~~$ o $latex ~~x=-1$
Paso 3: Determinamos cuál es el punto mínimo usando la segunda derivada:
$latex f^{\prime \prime}(x)=-2x+2$
Cuando $latex x=3$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ y cuando $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$. Esto significa que $latex x=-1$ es el punto mínimo.
Paso 4: La coordenada en y del punto mínimo es:
$latex y=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$
$latex y=-\frac{1}{3}(-1)^3+(-1)^2+3(-1)$
$latex y=-\frac{5}{3}$
El punto mínimo de la función es $latex (-1, ~-\frac{5}{3})$.
EJERCICIO 6
El siguiente triángulo rectángulo ABC tiene lados con longitudes AB=x y BC=x+2. Encuentra el área mínima del triángulo ABC.
Solución
En este ejercicio, tenemos que empezar encontrando una ecuación para el área del triángulo en términos de x. Entonces, usamos la fórmula del área de un triángulo con las longitudes dadas:
$latex A=\frac{1}{2}\times BC \times AB$
$latex A=\frac{1}{2}(x+2)x$
$latex A=\frac{1}{2}x^2+x$
Ahora que tenemos una función, podemos usar los pasos vistos arriba.
Paso 1: Encontramos la derivada de la función:
$latex A(x)=\frac{1}{2}x^2+x$
$latex A'(x)=x+1$
Paso 2: Encontramos el valor de x:
$latex x+1=0$
$latex x=-1$
Paso 3: Con la segunda derivada verificamos si el punto es un mínimo:
$latex A^{\prime \prime}(x)=1$
Tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, por lo que confirmamos que el punto es un mínimo. Es decir, el área está en su mínimo valor ahí.
Paso 4: Usamos $latex x=-1$ para encontrar el área mínima:
$latex A=\frac{1}{2}x^2+x$
$latex A=\frac{1}{2}(-1)^2-1$
$latex A=-\frac{1}{2}=0.5$
El área mínima del triángulo es 0.5 cm².
Punto mínimo de una función – Ejercicios para resolver
¿Cuál es el punto mínimo de la función $latex f(x)=2x^3-24x+10$?
Escribe las coordenadas en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
