Punto máximo de una función – Fórmulas y Ejercicios

El punto máximo de una función es encontrado usando la derivada de la función. En el punto máximo, la pendiente de la recta tangente es igual a cero. Entonces, el punto máximo es encontrado al buscar las raíces de la derivada. Luego, usamos la segunda derivada para confirmar que el punto sí es un máximo.

A continuación, aprenderemos sobre el punto máximo de una función. Conoceremos cómo encontrar las coordenadas de este punto y resolveremos algunos ejercicios de práctica.

CÁLCULO
Diagrama del punto máximo de una función

Relevante para

Aprender a encontrar el punto máximo de una función.

Ver proceso

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Diagrama del punto máximo de una función

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Aprender a encontrar el punto máximo de una función.

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¿Qué es el punto máximo de una función?

El punto máximo de una función es un punto estacionario en donde el valor de y o el valor de salida de la función es el valor máximo que la función puede alcanzar.

A su vez, recordemos que un punto estacionario se caracteriza porque la pendiente de la recta tangente en ese punto es igual a cero. Es decir, en un punto máximo tenemos $latex \frac{dy}{dx}=0$.

Observemos el siguiente diagrama, el cual representa a un punto máximo de una función:

Diagrama del punto máximo de una función

Podemos ver que la pendiente de la curva es positiva en la parte izquierda del punto P y es negativa en la parte derecha. Es decir, tenemos lo siguiente:

  • En la parte izquierda de P: $latex \frac{dy}{dx}>0$
  • En el punto P: $latex \frac{dy}{dx}=0$
  • En la parte derecha de P: $latex \frac{dy}{dx}<0$

Esto significa que la segunda derivada de la función en un punto máximo es negativa porque la derivada va de positiva a negativa cerca al punto máximo. Es decir, la derivada decrece de izquierda a derecha allí.


¿Cómo encontrar el punto máximo de una función?

Las coordenadas del punto máximo de una función pueden ser encontradas usando la derivada de la función. Además, la segunda derivada puede ser usada para confirmar que el punto es ciertamente un punto máximo.

Como mencionamos anteriormente, la pendiente de la recta tangente en un punto estacionario es igual a cero. Esto significa que, podemos encontrar los puntos estacionarios al obtener las raíces de la derivada de la función.

Entonces, podemos seguir los siguientes pasos para encontrar el punto máximo de una función:

Paso 1: Obtener la derivada de la función.

Paso 2: Formar una ecuación con la derivada y resolver para x. Es decir, tenemos $latex \frac{dy}{dx}=0$.

Paso 3: Los puntos encontrados en el paso 2 son los puntos estacionarios. Usamos la segunda derivada para determinar la naturaleza de los puntos.

Para que el punto sea un máximo, debemos tener $latex \frac{d^2y}{dx^2}<0$.

Paso 4: Usar la coordenada en x del punto máximo para encontrar la coordenada en y del punto.


Ejemplos resueltos del punto máximo de una función

En los siguientes ejemplos, usamos el proceso visto arriba para determinar las coordenadas del punto máximo de las funciones dadas.

EJEMPLO 1

Encuentra el punto máximo de la función $latex f(x)=-x^2+2x$.

Paso 1: Encontrando la derivada de la función, tenemos:

$latex f(x)=-x^2+2x$

$latex f'(x)=-2x+2$

Paso 2: Al formar una ecuación con la derivada, podemos encontrar el valor de x:

$latex -2x+2=0$

$latex -2x=-2$

$latex x=1$

Paso 3: En este caso, solo tenemos un valor de x, por lo que solo tenemos un punto estacionario. Verificamos si es que el punto es un máximo usando la segunda derivada:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-2$

Tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, por lo que confirmamos que el punto es un máximo

Paso 4: La coordenada en y del punto máximo es:

$latex y=-x^2+2x$

$latex y=-(1)^2+2(1)$

$latex y=1$

El punto máximo tiene las coordenadas (1, 1).

EJEMPLO 2

¿Cuáles son las coordenadas del punto máximo de la función $latex f(x)=-2x^2-8x$?

Paso 1: La derivada de la función es:

$latex f(x)=-2x^2-8x$

$latex f'(x)=-4x-8$

Paso 2: Encontrando el valor de x, tenemos:

$latex -4x-8=0$

$latex -4x=8$

$latex x=-2$

Paso 3: Usamos la segunda derivada para verificar si es que el punto encontrado es un punto máximo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-4$

Tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, por lo que confirmamos es un punto máximo.

Paso 4: Usamos la función con el valor $latex x=-2$ para encontrar la coordenada en y:

$latex y=-2x^2-8x$

$latex y=-2(-2)^2-8(-2)$

$latex y=-8+16$

$latex y=8$

El punto máximo tiene las coordenadas (-2, 8).

EJEMPLO 3

Encuentra las coordenadas del punto máximo de la función $latex f(x)=-x^3+3x$.

Paso 1: La derivada de la función es:

$latex f(x)=-x^3+3x$

$latex f'(x)=-3x^2+3$

Paso 2: Encontrando los valores de x, tenemos:

$latex -3x^2+3=0$

$latex -3x^2=-3$

$latex x=\sqrt{3}$

$latex x=1~~$ o $latex ~~x=-1$

Paso 3: En este caso, tenemos dos valores de x, por lo que usamos la segunda derivada para determinar cuál es el punto máximo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-6x$

Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, y cuando $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$. Entonces, $latex x=1$ es el punto máximo.

Paso 4: La coordenada en y del punto máximo es:

$latex y=-x^3+3x$

$latex y=-(1)^3+3(1)$

$latex y=2$

El punto máximo tiene las coordenadas (1, 2).

EJEMPLO 4

Si tenemos la función $latex f(x)=2x^3-6x$, ¿cuál es su punto máximo?

Paso 1: Derivando a la función, tenemos:

$latex f(x)=2x^3-6x$

$latex f'(x)=6x^2-6$

Paso 2: Encontrando los valores de x, tenemos:

$latex 6x^2-6=0$

$latex 6x^2=6$

$latex x^2=\sqrt{1}$

$latex x=1~~$ o $latex ~~x=-1$

Paso 3: Tenemos dos puntos estacionarios, por lo que usamos la segunda derivada para determinar cuál es el punto máximo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$

Para $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ y para $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, por lo que $latex x=-1$ es el punto máximo.

Paso 4: La coordenada en y del punto máximo es:

$latex y=2x^3-6x$

$latex y=2(-1)^3-6(-1)$

$latex y=4$

El punto máximo tiene las coordenadas (-1, 4).

EJEMPLO 5

¿Cuál es el punto máximo de $latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$?

Paso 1: La derivada de la función es:

$latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$

$latex f'(x)=x^2+2x-3$

Paso 2: Podemos formar una ecuación con la derivada y resolver usando factorización:

$latex x^2+2x-3=0$

$latex (x+3)(x-1)=0$

$latex x=-3~~$ o $latex ~~x=1$

Paso 3: Usamos la segunda derivada para determinar el punto máximo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=2x+2$

Cuando $latex x=-3$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ y cuando $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$. Entonces, el punto máximo está en $latex x=-3$.

Paso 4: La coordenada en y del punto máximo es:

$latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$

$latex f(x)=\frac{1}{3}(-3)^3+(-3)^2-3(-3)$

$latex y=9$

El punto máximo tiene las coordenadas (-3, 9).

EJEMPLO 6

En el siguiente triángulo rectángulo ABC, las longitudes de los lados AB y BC varían de forma que su suma siempre es igual a 6 cm. Encuentra el área máxima del triángulo ABC.

punto máximo de una función ejercicio 6

Para resolver este problema, tenemos que empezar determinando una ecuación para el área del triángulo en términos del lado x.

Sabemos que

$latex AB+BC=6$

$latex x+BC=6$

$latex BC=6-x$

Ahora, el área del triángulo es:

$latex A=\frac{1}{2}\times BC \times AB$

$latex A=\frac{1}{2}(6-x)x$

$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$

Ahora, usamos los pasos para encontrar el punto máximo de la función encontrada.

Paso 1: La derivada es:

$latex A(x)=3x-\frac{x^2}{2}$

$latex A'(x)=3-x$

Paso 2: El valor de x es:

$latex 3-x=0$

$latex x=3$

Paso 3: Usamos la segunda derivada para verificar que el punto es un máximo:

$latex A^{\prime \prime}(x)=-1$

Tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, por lo que confirmamos que el punto es un máximo. Esto significa que el área es máxima con este valor de x.

Paso 4: Usamos $latex x=3$ para encontrar el área máxima:

$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$

$latex A=3(3)-\frac{(3)^2}{2}$

$latex A=\frac{9}{2}=4.5$

El área máxima del triángulo es 4.5 cm².


Punto máximo de una función – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios de práctica usando el proceso visto arriba para encontrar las coordenadas del punto máximo de las funciones.

¿Cuál es el punto máximo de $latex f(x)=-2x^2-6$?

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Encuentra el punto máximo de $latex f(x)=-3x^2-6x$.

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Encuentra el punto máximo de la función $latex f(x)=-3x^3+9x$.

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Encuentra el punto máximo de $latex f(x)=3+x-x^2$.

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Véase también

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