Fórmula de Euler para poliedros: caras, aristas y vértices

Cuenta los vértices, las aristas y las caras de casi cualquier sólido sin huecos y los tres números cumplen siempre una misma ecuación corta. Un cubo tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras. Una pirámide pentagonal tiene 6, 10 y 6. Toma los vértices, resta las aristas, suma las caras y en ambos casos da 2.

Esta es la fórmula de Euler para poliedros. Es uno de los primeros lugares donde la geometría se vuelve topología, porque no le importan las longitudes ni los ángulos, solo cómo se conectan las partes. Nuestro artículo sobre los sólidos platónicos la usa de pasada. Aquí tiene su propia página: cómo usarla para hallar conteos que faltan, por qué es cierta y la única situación en que falla. Gira los sólidos de abajo y deja que el programa cuente por ti.

La fórmula de Euler

Un poliedro es un sólido cuya superficie está formada por polígonos planos llamados caras. Dos caras se unen en una arista, y las aristas se encuentran en puntos llamados vértices. Escribe $latex V$ para el número de vértices, $latex A$ para las aristas y $latex C$ para las caras. Para cualquier poliedro sin huecos:

$$V-A+C=2$$

También la verás escrita como $latex C+V-A=2$ o $latex C+V=A+2$. Las tres dicen lo mismo, y cada una permite despejar un conteo que falta.

$$A=V+C-2\qquad\qquad V=A-C+2\qquad\qquad C=A-V+2$$

Comprobar la fórmula en sólidos conocidos

Aquí están los cinco sólidos platónicos. Todas las caras de un sólido platónico son el mismo polígono regular, y en cada vértice se juntan la misma cantidad de caras.

Sólido	Caras	V	A	C	V − A + C
Tetraedro	4 triángulos	4	6	4	2
Cubo	6 cuadrados	8	12	6	2
Octaedro	8 triángulos	6	12	8	2
Dodecaedro	12 pentágonos	20	30	12	2
Icosaedro	20 triángulos	12	30	20	2

Los prismas y las pirámides siguen patrones que se escriben como fórmulas. Un prisma con base de $latex n$ lados tiene $latex 2n$ vértices, $latex 3n$ aristas y $latex n+2$ caras. Una pirámide con base de $latex n$ lados tiene $latex n+1$ vértices, $latex 2n$ aristas y $latex n+1$ caras.

Sólido	V	A	C	V − A + C
Prisma triangular	6	9	5	2
Prisma pentagonal	10	15	7	2
Prisma hexagonal	12	18	8	2
Pirámide cuadrada	5	8	5	2
Pirámide hexagonal	7	12	7	2

Para el prisma, $latex 2n-3n+(n+2)=2$, y para la pirámide, $latex (n+1)-2n+(n+1)=2$. La fórmula se cumple para todo $latex n$, así que puedes comprobarla moviendo el control de la herramienta de arriba.

Dos reglas de conteo que la acompañan

La fórmula de Euler tiene tres incógnitas, así que normalmente necesitas una relación más. Dos reglas de conteo la dan.

• Cada arista es compartida por exactamente dos caras. Por eso, al sumar los lados de todas las caras, cada arista se cuenta dos veces, así que $latex 2A$ es igual a ese total.
• Cada arista tiene dos extremos. Por eso, al sumar las aristas que llegan a cada vértice, también se cuenta cada arista dos veces, así que $latex 2A$ es igual a esa suma.

En un poliedro con 8 caras triangulares, el total de lados es $latex 8\cdot 3=24$, así que $latex A=12$. La fórmula de Euler da entonces $latex V=2+12-8=6$.

Por qué es cierta la fórmula

Imagina el poliedro hecho de goma. Recorta una cara y estira el resto sobre una mesa. Queda un mapa plano de vértices, aristas y caras, donde la cara que falta pasa a ser la región exterior, de modo que el conteo de caras no cambia.

Ahora construye ese mapa desde cero. Empieza con un solo vértice: $latex V=1$, $latex A=0$ y una cara (la exterior), así que $latex V-A+C=1-0+1=2$. Cada paso conserva el valor:

• Agrega un vértice nuevo unido por una arista a uno existente. Entonces $latex V$ y $latex A$ aumentan 1 cada uno, y la diferencia no cambia.
• Agrega una arista entre dos vértices que ya existen. Eso cierra un ciclo y parte una cara en dos, así que $latex A$ y $latex C$ aumentan 1 cada una, y el total sigue siendo 2.

Todo mapa conexo se puede construir así, por lo que $latex V-A+C$ siempre es 2. La demostración falla cuando la superficie tiene un hueco, porque entonces un ciclo alrededor del hueco no parte ninguna cara.

Cuándo falla la fórmula

Un marco de cuadro es un sólido con un hueco rectangular que lo atraviesa. Constrúyelo con caras planas y obtienes $latex V=16$, $latex A=32$ y $latex C=16$, así que $latex V-A+C=0$. Elige "Marco de cuadro" en la herramienta de arriba para ver el conteo. En general, un sólido con $latex g$ huecos da:

$$V-A+C=2-2g$$

La fórmula también exige que cada cara sea un polígono plano sin hueco propio y que el sólido sea una sola pieza conexa. Un sólido puede ser no convexo, con hendiduras, y aun así dar 2, siempre que no tenga huecos.

Ejercicios resueltos de la fórmula de Euler

Resuelve cada problema antes de abrir la solución.

Errores comunes

• No contar las aristas y caras ocultas. Cuenta también la parte de atrás, o gira el sólido hasta ver todo.
• No contar la base como cara de una pirámide o un prisma. Sí es una cara, inclúyela.
• Cambiar el orden y escribir $latex V+A-C$. Los vértices y las caras se suman, las aristas se restan.
• Usar la fórmula en un sólido con hueco, como un marco o una figura de dona.
• Contar las aristas dos veces al sumar los lados de las caras. Divide ese total entre 2.

Ejercicios de la fórmula de Euler para resolver

Usa la fórmula y las dos reglas de conteo. Abre cada respuesta para comprobar.

1. Un cubo tiene 8 vértices y 12 aristas. ¿Cuántas caras tiene?

Respuesta

$latex C=2-8+12=6$.

2. Un poliedro tiene 14 vértices y 21 aristas. ¿Cuántas caras tiene? Nombra un sólido con esos conteos.

Respuesta

$latex C=2-14+21=9$. Un prisma heptagonal tiene $latex V=14$, $latex A=21$ y $latex C=9$.

3. Encuentra los vértices, aristas y caras de una pirámide con base de 7 lados.

Respuesta

$latex V=8$, $latex A=14$, $latex C=8$. Comprobación: $latex 8-14+8=2$.

4. Un poliedro tiene 6 caras, todas cuadriláteros. ¿Cuántas aristas y vértices tiene?

Respuesta

$latex A=6\cdot 4\div 2=12$ y $latex V=2+12-6=8$. Por ejemplo, un cubo.

5. Un icosaedro tiene 20 caras triangulares. Encuentra sus aristas y vértices.

Respuesta

$latex A=20\cdot 3\div 2=30$ y $latex V=2+30-20=12$.

6. Se dice que un sólido convexo tiene 10 vértices, 18 aristas y 9 caras. ¿Es posible?

Respuesta

$latex 10-18+9=1$, que no es 2. No es posible.

Preguntas frecuentes

¿La fórmula de Euler sirve para poliedros no convexos?

Sí, mientras el sólido no tenga huecos y sea una sola pieza conexa. Un sólido con hendiduras o forma de estrella también da $latex V-A+C=2$.

¿Por qué es 2?

Porque una esfera tiene número de Euler igual a 2. Cualquier sólido que puedas inflar hasta volverlo una bola da 2. Un sólido con un hueco que lo atraviesa se parece a una dona, y una dona da 0.

¿Existe una versión para figuras planas?

Sí. Un mapa plano conexo con $latex V$ vértices, $latex A$ aristas y $latex C$ regiones (contando la exterior) también cumple $latex V-A+C=2$. Así funciona la demostración de arriba.

¿Quién la descubrió?

Leonhard Euler la describió en la década de 1750. René Descartes había encontrado un resultado relacionado un siglo antes.

Calculadoras relacionadas

Cuando conozcas las caras y aristas de un sólido, halla su volumen y su área superficial con estas herramientas:

• Calculadora de volumen de sólidos
• Calculadora de área superficial

Véase también

Más sobre sólidos, caras, aristas y vértices:

• Los 5 sólidos platónicos
• Cubo: caras, vértices y aristas
• Prisma triangular: caras, vértices y aristas
• Prisma pentagonal: caras, vértices y aristas
• Prisma hexagonal: caras, vértices y aristas
• Prisma rectangular: caras, vértices y aristas