Derivada de arco sin (seno inverso) – Demostración y Gráficas

Evite confusiones en el uso de arcsin(x), sin^-1(x),

1 / sin(x)

, y sinⁿ(x)

Es importante evitar posibles confusiones que podríamos tener al usar denotaciones $latex \arcsin{(x)}$, $latex \sin^{-1}{(x)}$, $latex \frac {1}{\sin{(x)}}$ y $latex \sin^{n}{(x)}$, ya que intercambiar el significado de estos símbolos puede conducir a errores de derivación. Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos

$latex \arcsin{(x)} = \sin^{-1}{(x)}$

Ambos símbolos $latex \arcsin$ y $latex \sin^{-1}$ se pueden usar al calcular el seno inverso de una variable u otra función. $latex \arcsin$ se usa comúnmente como el símbolo verbal de la función del seno inverso, mientras que $latex \sin^{-1}$ se usa como un símbolo matemático de la función del seno inverso para una función más formal.

En el caso de la denotación $latex \sin^{-1}{(x)}$, a veces puede confundir a los alumnos que $latex -1$ es un exponente algebraico de un seno no inverso, lo cual no es cierto. El $latex -1$ usado para el seno inverso representa que el seno es inverso y no elevado a $latex -1$.

Por lo tanto,

$latex \sin^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\sin{(x)}}$

Y dados como $latex \sin^{2}{(x)}$ o $latex \sin^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de un seno no inverso, NO DEBEN usar la fórmula del seno inverso ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de un seno no inverso.

Demostración de la derivada de la función seno inversa

En esta demostración, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, la función trigonométrica de seno y coseno y algo de álgebra básica. Al igual que en la figura anterior como muestra de referencia para un triángulo rectángulo dado, supongamos que tenemos ese mismo triángulo $latex \Delta ABC$, pero esta vez, cambiemos las variables para una ilustración más sencilla.

donde por cada unidad de hipotenusa, hay un lado $latex \sqrt{1-x^2}$ perpendicular al lado x y un ángulo y opuesto al lado x y adyacente a $latex \sqrt{1-x ^2}$.

Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Soh-Cah-Toa, particularmente la función seno usando su lado opuesto x y la hipotenusa 1.

$latex \sin{(\theta)} = \frac{opp}{hyp}$

$latex \sin{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \sin{(y)} = x$

Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica del seno para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\sin{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\cos{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (\cos{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos{(y)}}$

Obteniendo el coseno de nuestro triángulo rectángulo dado, tenemos

$latex \cos{(y)} = \frac{adj}{hyp}$

$latex \cos{(y)} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1}$

$latex \cos{(y)} = \sqrt{1-x^2}$

Entonces podemos sustituir $latex \cos{(y)}$ a la diferenciación implícita de $latex \sin{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos

$latex \sin{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\sin}$

$latex y = \sin^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

que ahora es la fórmula derivada para el seno inverso de x.

Ahora, para la derivada de un seno inverso de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula de la derivada del seno inverso junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \sin^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.

Gráfica de Seno Inverso de x vs. la derivada del seno inverso de x

La gráfica de la función

$latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$

es

Y al derivar a la función $latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

la cual tiene la siguiente gráfica:

Comparando ambas gráficas en una, tenemos

Usando la gráfica, podemos observar que la función original $latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex [-1,1]$ o $latex -1 \leq x \leq 1$

y existe dentro del rango de

$latex \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]$ o $latex -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

mientras que la derivada $latex f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ tiene un dominio de

$latex (-1,1)$ o $latex -1 < x < 1$

y existe dentro del rango de

$latex [1, \infty]$ o $latex y \geq 1$

Ejemplos

Los siguientes ejemplos muestran cómo derivar una función seno inverso compuesta.

Práctica de derivadas de funciones seno inverso compuestas

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas inversas? Mira estas páginas:

• Derivada de arco tan (tangente inversa) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco cos (coseno inverso) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco sec (secante inversa) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco csc (cosecante inversa) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco cot (cotangente inversa) – Demostración y Gráficas