La derivada de la función seno inversa es igual a 1 sobre la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado, 1/(√(1-x2)). Esta derivada puede ser demostrada usando el teorema de Pitágoras y el álgebra.
En este artículo, conoceremos cómo derivar la función seno inverso. Veremos una demostración, una comparación gráfica de la función no derivada y derivada, y algunos ejemplos.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada del arcosen de x.
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Relevante para…
Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada del arcosen de x.
Evite confusiones en el uso de arcsin(x), sin-1(x), 1 / sin(x) , y sinn(x)
Es importante evitar posibles confusiones que podríamos tener al usar denotaciones $latex \arcsin{(x)}$, $latex \sin^{-1}{(x)}$, $latex \frac {1}{\sin{(x)}}$ y $latex \sin^{n}{(x)}$, ya que intercambiar el significado de estos símbolos puede conducir a errores de derivación. Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos
$latex \arcsin{(x)} = \sin^{-1}{(x)}$
Ambos símbolos $latex \arcsin$ y $latex \sin^{-1}$ se pueden usar al calcular el seno inverso de una variable u otra función. $latex \arcsin$ se usa comúnmente como el símbolo verbal de la función del seno inverso, mientras que $latex \sin^{-1}$ se usa como un símbolo matemático de la función del seno inverso para una función más formal.
En el caso de la denotación $latex \sin^{-1}{(x)}$, a veces puede confundir a los alumnos que $latex -1$ es un exponente algebraico de un seno no inverso, lo cual no es cierto. El $latex -1$ usado para el seno inverso representa que el seno es inverso y no elevado a $latex -1$.
Por lo tanto,
$latex \sin^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\sin{(x)}}$
Y dados como $latex \sin^{2}{(x)}$ o $latex \sin^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de un seno no inverso, NO DEBEN usar la fórmula del seno inverso ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de un seno no inverso.
Demostración de la derivada de la función seno inversa
En esta demostración, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, la función trigonométrica de seno y coseno y algo de álgebra básica. Al igual que en la figura anterior como muestra de referencia para un triángulo rectángulo dado, supongamos que tenemos ese mismo triángulo $latex \Delta ABC$, pero esta vez, cambiemos las variables para una ilustración más sencilla.
donde por cada unidad de hipotenusa, hay un lado $latex \sqrt{1-x^2}$ perpendicular al lado x y un ángulo y opuesto al lado x y adyacente a $latex \sqrt{1-x ^2}$.
Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Soh-Cah-Toa, particularmente la función seno usando su lado opuesto x y la hipotenusa 1.
$latex \sin{(\theta)} = \frac{opp}{hyp}$
$latex \sin{(y)} = \frac{x}{1}$
$latex \sin{(y)} = x$
Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica del seno para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos
$latex \frac{d}{dx} (\sin{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$
$latex \frac{d}{dx} (\cos{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} (\cos{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos{(y)}}$
Obteniendo el coseno de nuestro triángulo rectángulo dado, tenemos
$latex \cos{(y)} = \frac{adj}{hyp}$
$latex \cos{(y)} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1}$
$latex \cos{(y)} = \sqrt{1-x^2}$
Entonces podemos sustituir $latex \cos{(y)}$ a la diferenciación implícita de $latex \sin{(y)} = x$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos{(y)}}$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos
$latex \sin{(y)} = x$
$latex y = \frac{x}{\sin}$
$latex y = \sin^{-1}{(x)}$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1}{(x)} \right)$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
que ahora es la fórmula derivada para el seno inverso de x.
Ahora, para la derivada de un seno inverso de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula de la derivada del seno inverso junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \sin^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.
Gráfica de Seno Inverso de x vs. la derivada del seno inverso de x
La gráfica de la función
$latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$
es
Y al derivar a la función $latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$, obtenemos
$latex f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
la cual tiene la siguiente gráfica:
Comparando ambas gráficas en una, tenemos
Usando la gráfica, podemos observar que la función original $latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de
$latex [-1,1]$ o $latex -1 \leq x \leq 1$
y existe dentro del rango de
$latex \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]$ o $latex -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
mientras que la derivada $latex f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ tiene un dominio de
$latex (-1,1)$ o $latex -1 < x < 1$
y existe dentro del rango de
$latex [1, \infty]$ o $latex y \geq 1$
Ejemplos
Los siguientes ejemplos muestran cómo derivar una función seno inverso compuesta.
EJEMPLO 1
¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \sin^{-1}(7x)$?
Solución
Podemos derivar esta función usando la regla de la cadena al considerar que tenemos un seno inverso de $latex 7x$.
Entonces, podemos considerar a $latex u=7x$ como la función interna y tenemos $latex f(u)=\sin^{-1}(u)$. Al aplicar la regla de la cadena, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \times 7$$
Por último, sustituimos $latex u=7x$ de vuelta en la función y tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{7}{\sqrt{1-(7x)^2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{7}{\sqrt{1-49x^2}}$$
EJEMPLO 2
Deriva la función $latex F(x) = \sin^{-1}(x^3+5 )$
Solución
Vamos a usar la regla de la cadena. Entonces, escribimos a la función seno inversa como $latex f (u) = \sin^{-1}(u)$, donde $latex u = x^3+5$.
Luego, encontramos la derivada de la función externa $latex f(u)$:
$$\frac{d}{du} ( \sin^{-1}(u) ) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$$
Ahora, encontramos la derivada de la función interna $latex g(x)=u=x^3+5$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(x^3+5)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 3x^2$$
Multiplicando a la derivada de la función externa por la derivada de la función interna, tenemos:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 3x^2$$
Por último, substituimos $latex u$ de vuelta y simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^3+5)^2}} \cdot 3x^2$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{1-(x^6+10x^3+25)}$$
$$F'(x) = \frac{3x^2}{-x^6-10x^3-24}$$
EJEMPLO 3
Encuentra la derivada de $latex f(x) = \sin^{-1}(\sqrt{x})$
Solución
La raíz cuadrada es la función interna en este caso. Entonces, consideramos que $latex u=\sqrt{x}$ es igual a $latex u=x^{\frac{1}{2}}$ y encontramos su derivada:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Ahora, escribimos $latex f(u)=\tan(u)$ y usamos la regla de la cadena:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Sustituyendo $latex u=\sqrt{x}$ y simplificando, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$$
Práctica de derivadas de funciones seno inverso compuestas
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas inversas? Mira estas páginas:
- Derivada de arco tan (tangente inversa) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco cos (coseno inverso) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco sec (secante inversa) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco csc (cosecante inversa) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco cot (cotangente inversa) – Demostración y Gráficas
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
