Derivada de arco sin (seno inverso) – Demostración y Gráficas

La derivada de arcoseno o seno inverso se usa para derivar una función que involucra la forma inversa de la función trigonométrica ‘seno’. La derivada de la función seno inversa es igual a 1 sobre la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado, 1/(√(1-x2)). Podemos probar esta derivada usando el teorema de Pitágoras y el álgebra.

En este artículo, discutiremos cómo derivar el arcoseno o la función del seno inverso. Cubriremos breves fundamentos, su definición, fórmula, una comparación gráfica de la función no derivada y derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de arco seno, seno inverso

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada del arcosen de x.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de arco seno, seno inverso

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada del arcosen de x.

Ver demostración

Evite confusiones en el uso de arcsin(x), sin-1(x),
1 / sin(x)
, y sinn(x)

Es importante que no comprometamos las posibles confusiones que podríamos tener al usar diferentes denotaciones entre $latex \arcsin{(x)}$, $latex \sin^{-1}{(x)}$, $latex \frac {1}{\sin{(x)}}$ y $latex \sin^{n}{(x)}$, ya que intercambiar el significado de estos símbolos puede conducir a errores de derivación. Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos

$latex \arcsin{(x)} = \sin^{-1}{(x)}$

Ambos símbolos $latex \arcsin$ y $latex \sin^{-1}$ se pueden usar indistintamente al calcular el seno inverso de una variable u otra función. $latex \arcsin$ se usa comúnmente como el símbolo verbal de la función del seno inverso que se usa popularmente como denotaciones introductorias para principiantes, mientras que $latex \sin^{-1}$ se usa como un símbolo matemático de la función del seno inverso para una función más formal.

Sin embargo, cuando se trata de la denotación $latex \sin^{-1}{(x)}$, a veces puede confundir a los alumnos que $latex -1$ es un exponente algebraico de un seno no inverso, lo cual no es cierto . El $latex -1$ usado para el seno inverso representa que el seno es inverso y no elevado a $latex -1$. Esto ha sido probado y mostrado en el sub-artículo anterior escrito arriba.

Por lo tanto,

$latex \sin^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\sin{(x)}}$

Y dados como $latex \sin^{2}{(x)}$ o $latex \sin^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de un seno no inverso, NO DEBEN usar la fórmula del seno inverso ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de un seno no inverso.


Demostración de la derivada de la función seno inversa

En esta demostración, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, la función trigonométrica de seno y coseno y algo de álgebra básica. Al igual que en la figura anterior como muestra de referencia para un triángulo rectángulo dado, supongamos que tenemos ese mismo triángulo $latex \Delta ABC$, pero esta vez, cambiemos las variables para una ilustración más sencilla.

Triángulo rectángulo -siny-fracsqrt1-x2hyp

donde por cada unidad de hipotenusa, hay un lado $latex \sqrt{1-x^2}$ perpendicular al lado x y un ángulo y opuesto al lado x y adyacente a $latex \sqrt{1-x ^2}$.

Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Soh-Cah-Toa, particularmente la función seno usando su lado opuesto x y la hipotenusa 1.

$latex \sin{(\theta)} = \frac{opp}{hyp}$

$latex \sin{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \sin{(y)} = x$

Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica del seno para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\sin{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\cos{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (\cos{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos{(y)}}$

Obteniendo el coseno de nuestro triángulo rectángulo dado, tenemos

$latex \cos{(y)} = \frac{adj}{hyp}$

$latex \cos{(y)} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1}$

$latex \cos{(y)} = \sqrt{1-x^2}$

Entonces podemos sustituir $latex \cos{(y)}$ a la diferenciación implícita de $latex \sin{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos

$latex \sin{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\sin}$

$latex y = \sin^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

que ahora es la fórmula derivada para el seno inverso de x.

Ahora, para la derivada de un seno inverso de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula de la derivada del seno inverso junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \sin^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.


¿Cómo derivar una función de seno inverso?

El proceso de derivación de una función de seno inverso es muy sencillo, suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función de seno inverso y cómo llegamos a su fórmula derivada.

MÉTODO 1: Derivada del Seno Inverso de cualquier variable única x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1}{(x)} \right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Paso 1: Analizar si el seno inverso de una variable es función de esa misma variable. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \sin^{-1}{(x)}$, comprueba si es una función de la misma variable x o f(x).

Nota: si $latex \sin^{-1}{(x)}$ es una función de una variable diferente como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones tales como

$latex \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left(\sin^{-1}{(x)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\sin^{-1}{(x)} \right)$

Paso 3: Luego aplique directamente la fórmula derivada de la función seno inversa

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada del seno inverso de cualquier función u en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1}{(u)} \right) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función inversa como $latex F(x) = \sin^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \arcsin{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función otra que x.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones tales como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\sin^{-1}{(u)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\sin^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \sin^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F (x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \sin^{-1}{(u)}$

y también

$latex g(x) = u$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada del seno inverso $latex \sin^{-1}{(u)}$, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sin^{-1}{(u)} \right) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 7: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de Seno Inverso de x vs. la derivada del seno inverso de x

Dada la función

$latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$

la gráfica se ilustra como

Gráfica de arcsinx

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de arsin x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de arcsin x y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \sin^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex [-1,1]$ o $latex -1 \leq x \leq 1$

y existe dentro del rango de

$latex \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]$ o $latex -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

mientras que la derivada $latex f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ tiene un dominio de

$latex (-1,1)$ o $latex -1 < x < 1$

y existe dentro del rango de

$latex [1, \infty]$ o $latex y \geq 1$


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer o segundo método para derivar una función de seno inverso.

EJEMPLO 1

Deriva: $latex f(\theta) = \sin^{-1}{(\theta)}$

Solución: Analizando la función de seno inverso dada, es solo un seno inverso de una sola variable $latex \theta$ elevada a una variable igual a uno. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si el seno inverso de $latex \theta$ es una función de $latex \theta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Ilustrar la derivación usando

$latex \frac{d}{d\theta} f(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left(\sin^{-1}{(\theta)} \right)$

Paso 3: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función seno inversa y derivar en términos de $latex \theta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\theta) = \frac{1}{\sqrt{1 – \theta^2}}$

EJEMPLO 2

Deriva: $latex F(x) = \sin^{-1}{\left(4x^2+8 \right)}$

Solución: Analizando la función de seno inverso dada, vemos que es un seno inverso de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función seno inversa como $latex F(x) = \sin^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \arcsin{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función distinta de x. en este problema,

$latex u = 4x^2+8$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones tales como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\sin^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \sin^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F (x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \sin^{-1}{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 4x^2+8$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada del seno inverso $latex \sin^{-1}{(u)}$, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sin^{-1}{(u)} \right) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$. Dado que nuestra $latex u$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex u$.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(4x^2+8 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = 8x$

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 8x$

Paso 7: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 8x$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(4x^2+8)^2}} \cdot 8x$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta..

$latex F'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(4x^2+8)^2}} \cdot 8x$

$latex F'(x) = \frac{8x}{\sqrt{1-(4x^2+8)^2}}$

Y la respuesta final es:

$latex F'(x) = \frac{8x}{\sqrt{1-(4x^2+8)^2}}$


Véase también

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