Derivada de arco csc (cosecante inversa) – Demostración y Gráficas

Evite confusiones en el uso de arccsc(x), csc^-1(x),

1 / csc(x)

, y cscⁿ(x)

El uso de las diferentes denotaciones $latex \text{arccsc}(x)$, $latex \csc^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1}{\csc{(x)}}$ y $latex \csc^{n}{(x)}$ puede causar cierta confusión. Es importante no intercambiar el significado de estos símbolos, ya que puede llevar a errores de derivación.

Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos

$latex \text{arccsc}(x) = \csc^{-1}{(x)}$

Ambos símbolos $latex \text{arccsc}$ y $latex \csc^{-1}$ son usados para representar a la cosecante inversa. $latex \text{arccos}$ se usa comúnmente como el símbolo verbal de la función cosecante inversa, mientras que $latex \csc^{-1}$ se usa como símbolo matemático de la función cosecante inversa para un entorno más formal.

En el caso de la denotación $latex \csc^{-1}{(x)}$, debemos considerar que $latex -1$ no es un exponente algebraico de una cosecante. El $latex -1$ usado para cosecante inversa representa que la cosecante es inversa y no elevada a $latex -1$.

Por lo tanto,

$latex \csc^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\csc{(x)}}$

Y datos como $latex \csc^{2}{(x)}$ o $latex \csc^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de una cosecante no inversa, NO DEBEN usarse la fórmula de la cosecante inversa ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de una cosecante no inversa.

---

Demostración de la derivada de la función cosecante inversa

En esta prueba, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, las funciones trigonométricas de cosecante y cotangente, y algo de álgebra básica. Tenemos un triángulo rectángulo dado $latex \Delta ABC$, pero cambiemos las variables para una ilustración más sencilla.

donde por cada unidad de un lado opuesto al ángulo y, hay un lado $latex \sqrt{x^2-1}$ adyacente al ángulo y y una hipotenusa x.

Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Cho-Sha-Cao, particularmente la función cosecante usando la hipotenusa x y su lado opuesto.

$latex \csc{(\theta)} = \frac{hip}{opu}$

$latex \csc{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \csc{(y)} = x$

Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica de la cosecante para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\csc{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\csc{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (-\csc{(y)}\cot{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\csc{(y)}\cot{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc{(y)}\cot{(y)}}$

Obteniendo la tangente del ángulo y de nuestro triángulo rectángulo dado, tenemos

$latex \cot{(y)} = \frac{ady}{opu}$

$latex \cot{(y)} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{1}$

$latex \cot{(y)} = \sqrt{x^2-1}$

Entonces podemos sustituir $latex \csc{(y)}$ y $latex \cot{(y)}$ en la diferenciación implícita de $latex \csc{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc{(y)}\cot{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x) \cdot \left(\sqrt{x^2-1}\right)}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

Ahora, tenemos

$latex \csc{(y)} = x$

y también

$latex \text{hipotenusa} = x$

Sabemos que no puede existir una hipotenusa negativa. Por lo tanto, $latex \csc{(y)}$ en este caso no puede ser negativo. Es por eso que el multiplicando x en el denominador de la derivada de la cosecante inversa debe considerarse un valor absoluto.

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos

$latex \csc{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\csc}$

$latex y = \csc^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \csc^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

que ahora es la fórmula derivada de la cosecante inversa de x.

Ahora, para la derivada de una cosecante inversa de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula de la derivada de la cosecante inversa junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \csc^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.

---

Gráfica de cosecante inversa de x vs. la derivada de la inversa de la cosecante de x

Dada la función

$latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$

su gráfica es

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

la cual tiene la siguiente gráfica

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Analizando estas gráficas, se puede observar que la función original $latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ o todos los números reales excepto $latex -1 < x < 1$

y existe dentro del rango de

$latex \left[-\frac{\pi}{2},0\right) \cup \left(0,\frac{\pi}{2}\right]$ o $latex -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ excepto cero

mientras que la derivada $latex f'(x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ o todos los números reales excepto $latex -1 \leq x \leq 1$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,0)$ o $latex y < 0$

---

Ejemplos

Los siguientes ejemplos muestran cómo derivar funciones cosecante inversa compuestas.

Práctica de derivadas de funciones cosecante inversa compuestas

---

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas inversas? Mira estas páginas:

• Derivada de arco tan (tangente inversa) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco sin (seno inverso) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco cos (coseno inverso) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco sec (secante inversa) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco cot (cotangente inversa) – Demostración y Gráficas