Derivada de arco csc (cosecante inversa) – Demostración y Gráficas

La derivada de arcocosecante o cosecante inversa se usa para derivar una función que involucra la forma inversa de la función trigonométrica ‘cosecante’. La derivada de la función cosecante inversa es igual a -1/(|x|√(x2-1)). Esta derivada se puede derivar usando el teorema de Pitágoras y Álgebra.

En este artículo, discutiremos cómo derivar la función arcocosecante o cosecante inversa. Cubriremos breves fundamentos, su definición, fórmula, una comparación gráfica de la función no derivada y derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de arco cosecante, cosecante inversa

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arccsc de x.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de arco cosecante, cosecante inversa

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arccsc de x.

Ver demostración

Evite confusiones en el uso de arccsc(x), csc-1(x),
1 / csc(x)
, y cscn(x)

Es importante que no comprometamos las posibles confusiones que podamos tener al usar diferentes denotaciones entre $latex \text{arccsc}(x)$, $latex \csc^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1}{\csc{(x)}}$ y $latex \csc^{n}{(x)}$, ya que intercambiar el significado de estos símbolos puede conducir a errores de derivación. Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos

$latex \text{arccsc}(x) = \csc^{-1}{(x)}$

Ambos símbolos $latex \text{arccsc}$ y $latex \csc^{-1}$ se pueden usar al calcular la cosecante inversa. $latex \text{arccos}$ se usa comúnmente como el símbolo verbal de la función cosecante inversa que se usa popularmente como denotaciones introductorias para principiantes, mientras que $latex \csc^{-1}$ se usa como símbolo matemático de la función cosecante inversa para un entorno más formal.

Sin embargo, cuando se trata de la denotación $latex \csc^{-1}{(x)}$, a veces puede confundir a los alumnos que $latex -1$ es un exponente algebraico de una cosecante no inversa, lo cual no es cierto . El $latex -1$ usado para cosecante inversa representa que la cosecante es inversa y no elevada a $latex -1$. Esto ha sido probado y mostrado en el sub-artículo anterior escrito arriba.

Por lo tanto,

$latex \csc^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\csc{(x)}}$

Y datos como $latex \csc^{2}{(x)}$ o $latex \csc^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de una cosecante no inversa, NO DEBEN usarse la fórmula de la cosecante inversa ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de una cosecante no inversa.


Demostración de la derivada de la función cosecante inversa

En esta prueba, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, las funciones trigonométricas de cosecante y cotangente, y algo de álgebra básica. Tenemos un triángulo rectángulo dado $latex \Delta ABC$, pero cambiemos las variables para una ilustración más sencilla.

Triángulo rectángulo-cscy-x

donde por cada unidad de un lado opuesto al ángulo y, hay un lado $latex \sqrt{x^2-1}$ adyacente al ángulo y y una hipotenusa x.

Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Cho-Sha-Cao, particularmente la función cosecante usando la hipotenusa x y su lado opuesto.

$latex \csc{(\theta)} = \frac{hip}{opu}$

$latex \csc{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \csc{(y)} = x$

Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica de la cosecante para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\csc{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\csc{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (-\csc{(y)}\cot{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\csc{(y)}\cot{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc{(y)}\cot{(y)}}$

Obteniendo la tangente del ángulo y de nuestro triángulo rectángulo dado, tenemos

$latex \cot{(y)} = \frac{ady}{opu}$

$latex \cot{(y)} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{1}$

$latex \cot{(y)} = \sqrt{x^2-1}$

Entonces podemos sustituir $latex \csc{(y)}$ y $latex \cot{(y)}$ en la diferenciación implícita de $latex \csc{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc{(y)}\cot{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x) \cdot \left(\sqrt{x^2-1}\right)}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

Ahora, tenemos

$latex \csc{(y)} = x$

y también

$latex \text{hipotenusa} = x$

Sabemos que no puede existir una hipotenusa negativa. Por lo tanto, $latex \csc{(y)}$ en este caso no puede ser negativo. Es por eso que el multiplicando x en el denominador de la derivada de la cosecante inversa debe considerarse un valor absoluto.

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos

$latex \csc{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\csc}$

$latex y = \csc^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \csc^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

que ahora es la fórmula derivada de la cosecante inversa de x.

Ahora, para la derivada de una cosecante inversa de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula de la derivada de la cosecante inversa junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \csc^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.


¿Cómo derivar una función cosecante inversa?

El proceso de derivación de una función cosecante inversa es muy sencillo, suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función cosecante inversa y cómo llegamos a su fórmula derivada.

MÉTODO 1: Derivada de la Cosecante Inversa de cualquier variable única x, elevada a exponente igual a uno, en términos de la misma variable x

$latex \frac{d}{dx} \left( \csc^{-1}{(x)} \right) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Paso 1: Analiza si la cosecante inversa de una variable es función de esa misma variable. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \csc^{-1}{(x)}$, verifica si es una función de la misma variable x o f(c).

Nota: si $latex \csc^{-1}{(x)}$ es una función de una variable diferente como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left(\csc^{-1}{(x)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\csc^{-1}{(x)} \right)$

Paso 3: luego aplique directamente la fórmula derivada de la función cosecante inversa

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|x|\sqrt{(x^2-1)}}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada de la cosecante inversa de cualquier función u en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \csc^{-1}{(u)} \right) = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función inversa como $latex F(x) = \csc^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \text{arccsc}(u)$, donde $latex u $ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\csc^{-1}{(u)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\csc^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \csc^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \csc^{-1}{(u)}$

y también

$latex g(x) = u$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función exterior $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la cosecante inversa $latex \csc^{-1}{(u)}$, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \csc^{-1}{(u)} \right) = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 7: Sustituya $latex u$ en $latex f'(u)$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de cosecante inversa de x vs. la derivada de la inversa de la cosecante de x

Dada la función

$latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de arccscx

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de arccscx

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

graph of arccsc x and its derivative

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \csc^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ o todos los números reales excepto $latex -1 < x < 1$

y existe dentro del rango de

$latex \left[-\frac{\pi}{2},0\right) \cup \left(0,\frac{\pi}{2}\right]$ o $latex -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ excepto cero

mientras que la derivada $latex f'(x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ o todos los números reales excepto $latex -1 \leq x \leq 1$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,0)$ o $latex y < 0$


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer o segundo método para derivar una función cosecante inversa.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\theta) = \csc^{-1}{(\theta)}$

Solución: Analizando la función cosecante inversa dada, es solo una cosecante inversa de una sola variable $latex \theta$ elevada a una variable igual a uno. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si la cosecante inversa de $latex \theta$ es una función de $latex \theta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Ilustrar la derivación a través de

$latex \frac{d}{d\theta} f(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left(\csc^{-1}{(\theta)} \right)$

Paso 3: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función cosecante inversa y derivar en términos de $latex \theta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\theta) = -\frac{1}{\theta\sqrt{\theta^2-1}}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex F(x) = \csc^{-1}{\left(10x^2-5 \right)}$

Solución: Analizando la función cosecante inversa dada, es una cosecante inversa de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función cosecante inversa como $latex F(x) = \csc^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \text{arccsc}(u)$, donde $latex u $ representa cualquier función que no sea x. En este problema,

$latex u = 10x^2-5$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\csc^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \csc^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \csc^{-1}{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 10x^2-5$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función exterior $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la cosecante inversa, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \csc^{-1}{(u)} \right) = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$. Dado que nuestro $latex u$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex u$.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(10x^2-5 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = 20x$

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot 20x$

Paso 7: Sustituya $latex u$ en $latex f'(u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot 20x$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|(10x^2-5)|\sqrt{(10x^2-5)^2-1}} \cdot 20x$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.

$$F'(x) = -\frac{1}{|(10x^2-5)|\sqrt{(10x^2-5)^2-1}} \cdot 20x$$

$latex F'(x) = -\frac{20x}{(10x^2-5)\sqrt{(10x^2-5)^2-1}}$

$latex F'(x) = -\frac{20x}{5(2x^2-1)\sqrt{(10x^2-5)^2-1}}$

$latex F'(x) = -\frac{4x}{(2x^2-1)\sqrt{(10x^2-5)^2-1}}$

Y la respuesta final es:

$latex F'(x) = -\frac{4x}{(2x^2-1)\sqrt{(10x^2-5)^2-1}}$


Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas inversas? Mira estas páginas:

Aprende matemáticas con nuestros recursos adicionales en varios temas diferentes

Conoce Más