Derivada de arco cos (coseno inverso) – Demostración y Gráficas

La derivada de arcocoseno o coseno inverso se usa para derivar una función que involucra la forma inversa de la función trigonométrica ‘coseno’. La derivada de la función coseno inversa es igual a menos 1 sobre la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado, -1/(√(1-x2)). Esta derivada se puede demostrar usando el teorema de Pitágoras y el álgebra.

En este artículo, discutiremos cómo derivar la función arcocoseno o coseno inverso. Cubriremos breves fundamentos, su definición, fórmula, una comparación gráfica de la función no derivada y derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de arco coseno, coseno inverso

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arccos de x.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de arco coseno, coseno inverso

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arccos de x.

Ver demostración

Evite confusiones en el uso de arccos(x), cos-1(x),
1 / cos(x)
, y cosn(x)

Es importante que no comprometamos las posibles confusiones que podríamos tener al usar diferentes denotaciones $latex \arccos{(x)}$, $latex \cos^{-1}{(x)}$, $latex \frac {1}{\cos{(x)}}$ y $latex \cos^{n}{(x)}$, ya que intercambiar el significado de estos símbolos puede conducir a errores de derivación. Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos

$latex \arccos{(x)} = \cos^{-1}{(x)}$

Ambos símbolos $latex \arccos$ y $latex \cos^{-1}$ se pueden usar indistintamente al calcular el coseno inverso. $latex \arccos$ se usa comúnmente como el símbolo verbal de la función de coseno inverso que se usa popularmente como denotaciones introductorias para principiantes, mientras que $latex \cos^{-1}$ se usa como un símbolo matemático de la función de coseno inverso para una función más formal.

Sin embargo, cuando se trata de la denotación $latex \cos^{-1}{(x)}$, a veces puede confundir a los alumnos que $latex -1$ es un exponente algebraico de un coseno no inverso, lo cual no es cierto . El $latex -1$ usado para el coseno inverso representa que el coseno es inverso y no elevado a $latex -1$. Esto ha sido probado y mostrado en el sub-artículo anterior escrito arriba.

Entonces,

$latex \cos^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\cos{(x)}}$

Y $latex \cos^{2}{(x)}$ o $latex \cos^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de un coseno no inverso, NO DEBEN usarse la fórmula del coseno inverso ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de un coseno no inverso.


Demostración de la derivada de la función coseno inversa

En esta demostración, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, la función trigonométrica de coseno y seno y algo de álgebra básica. Supongamos que tenemos un triángulo $latex \Delta ABC$,

Triángulo rectángulo -cosy-x

donde por cada unidad de hipotenusa, hay un lado x perpendicular al lado $latex \sqrt{1-x^2}$ y un ángulo y adyacente al lado x y opuesto a $latex \sqrt{1-x^2}$

Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Soh-Cah-Toa, particularmente la función coseno usando su lado adyacente x y la hipotenusa 1.

$latex \cos{(\theta)} = \frac{adj}{hyp}$

$latex \cos{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex cos{(y)} = x$

Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica del coseno para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\cos{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\cos{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (-\sin{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-sin{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{sin{(y)}}$

Obteniendo el seno de nuestro triángulo rectángulo dado, tenemos

$latex \sin{(y)} = \frac{opp}{hyp}$

$latex \sin{(y)} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1}$

$latex \sin{(y)} = \sqrt{1-x^2}$

Entonces podemos sustituir $latex \sin{(y)}$ a la diferenciación implícita de $latex \cos{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{sin{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos

$latex \cos{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\cos}$

$latex y = \cos^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \cos^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

que ahora es la fórmula de la derivada del coseno inverso de x.

Ahora, para la derivada de un coseno inverso de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula de la derivada del coseno inverso junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \cos^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.


¿Cómo derivar una función de coseno inverso?

El proceso de derivación de una función de coseno inverso es muy sencillo, suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función de coseno inverso y cómo llegamos a su fórmula derivada.

MÉTODO 1: Derivada del coseno inverso de cualquier variable única x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cos^{-1}{(x)} \right) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Paso 1: Analizar si el coseno inverso de una variable es función de esa misma variable. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \cos^{-1}{(x)}$, comprueba si es una función de la misma variable x o f(x).

Nota: si $latex \cos^{-1}{(x)}$ es una función de una variable diferente como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}{(x)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}{(x)} \right)$

Paso 3: Luego aplique directamente la fórmula derivada de la función coseno inversa

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada del Coseno Inverso de cualquier función u en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cos^{-1}{(u)} \right) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función inversa como $latex F(x) = \cos^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \arccos{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función distinta de x.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}{(u)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \cos^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $látex F(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \cos^{-1}{(u)}$

y también

$latex g(x) = u$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función exterior $latex f(u)$, que debe usar la derivada del coseno inverso $latex \cos^{-1}{(u)}$, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cos^{-1}{(u)} \right) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 7: Sustituya $latex u$ en $latex f'(u)$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de coseno inverso de x vs. la derivada del coseno inverso de x

Dada la función

$latex f(x) = \cos^{-1}{(x)}$

la gráfica se ilustra como

Gráfica de arccosx

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \cos^{-1}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de arccosx

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de arccos x y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \cos^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex [-1,1]$ o $latex -1 \leq x \leq 1$

y existe dentro del rango de

$latex [0,\pi]$ o $latex 0 \leq y \leq \pi$

mientras que la derivada $latex f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ tiene un dominio de

$latex (-1,1)$ o $latex -1 < x < 1$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,-1]$ o $latex y \leq -1$


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer o segundo método para derivar una función coseno inversa.

EJEMPLO 1

Deriva: $latex f(\theta) = \cos^{-1}{(\theta)}$

Solución: Analizando la función de coseno inverso dada, es solo un coseno inverso de una sola variable $latex \theta$ elevada a una variable igual a uno. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si el coseno inverso de $latex \theta$ es una función de $latex \theta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Ilustrar la derivación a través de

$latex \frac{d}{d\theta} f(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left(\cos^{-1}{(\theta)} \right)$

Paso 3: Aplicar directamente la fórmula de la derivada de la función coseno inversa y derivar en términos de $latex \theta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{1 – \theta^2}}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex F(x) = \cos^{-1}{\left(5x^2+10 \right)}$

Solución: Analizando la función de coseno inverso dada, es un coseno inverso de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función coseno inversa como $latex F(x) = \cos^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \arccos{(u)}$, donde $latex u $ representa cualquier función que no sea x. En este problema

$latex u = 5x^2+10$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \cos^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $látex F(x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \cos^{-1}{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 5x^2+10$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función exterior $latex f(u)$, que debe usar la derivada del coseno inverso $latex \cos^{-1}{(u)}$, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cos^{-1}{(u)} \right) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$. Dado que nuestra $latex u$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex u$.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(5x^2+10 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = 10x$

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 10x$

Paso 7: Sustituya $latex u$ en $latex f'(u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot 10x$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(5x^2+10)^2}} \cdot 10x$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.

$latex F'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(5x^2+10)^2}} \cdot 10x$

$latex F'(x) = -\frac{10x}{\sqrt{1-(5x^2+10)^2}}$

Y la respuesta final es:

$latex F'(x) = -\frac{10x}{\sqrt{1-(5x^2+10)^2}}$


Véase también

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