Derivada de arco tan (tangente inversa) – Demostración y Gráficas

La derivada de arco tagente o tangente inversa es una de las funciones trascendentales comúnmente utilizadas en términos de obtener sus derivadas en Cálculo Diferencial (o Cálculo I). La derivada de la función tangente inversa es igual a 1/(1+x2). Esta derivada se puede demostrar usando el teorema de Pitágoras y el álgebra.

En este artículo, discutiremos cómo derivar la función arcotangente o tangente inversa. Cubriremos breves fundamentos, su definición, fórmula, un gráfico de comparación de arcotan y su derivada, una demostración, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de arco tan, tangente inversa

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada o arcotan de x.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de arco tan, tangente inversa

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada o arcotan de x.

Ver demostración

Evite confusiones en el uso de arcotan(x), tan-1(x),
1 / tan(x)
, y tann(x)

Es importante que no comprometamos las posibles confusiones que podríamos tener al usar diferentes denotaciones entre $latex \arctan{(x)}$, $latex \tan^{-1}{(x)}$, $latex \frac {1}{\tan{(x)}}$ y $latex \tan^{n}{(x)}$, ya que intercambiar el significado de estos símbolos puede conducir a errores de derivación. Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos

$latex \arctan{(x)} = \tan^{-1}{(x)}$

Ambos símbolos $latex \arctan$ y $latex \tan^{-1}$ se pueden usar indistintamente al calcular la tangente inversa. $latex \arctan$ se usa comúnmente como el símbolo verbal de la función de tangente inversa que se usa popularmente como denotaciones introductorias para principiantes, mientras que $latex \tan^{-1}$ se usa como símbolo matemático de la función de tangente inversa para una función más formal.

Sin embargo, cuando se trata de la denotación $latex \tan^{-1}{(x)}$, a veces puede confundir a los alumnos que $latex -1$ es un exponente algebraico de una tangente no inversa, lo cual no es cierto . El $latex -1$ usado para la tangente inversa representa que la tangente es inversa y no elevada a $latex -1$.

Por lo tanto,

$latex \tan^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\tan{(x)}}$

Y dados como $latex \tan^{2}{(x)}$ o $latex \tan^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de una tangente no inversa, NO DEBEN usar la fórmula de la tangente inversa ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de una tangente no inversa.


Demostración de la Derivada de la Función Tangente Inversa

En esta demostración, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, la función trigonométrica de la tangente y algo de álgebra básica. Al igual que en la figura anterior como muestra de referencia para un triángulo rectángulo dado, supongamos que tenemos ese mismo triángulo $latex \Delta ABC$, pero esta vez, cambiemos las variables para una ilustración más sencilla.

Triángulo rectángulo - tan y-fracx1

donde por cada unidad de un lado, hay un lado x perpendicular al lado unitario y un ángulo y opuesto al lado x y adyacente al lado unitario.

Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Soh-Cah-Toa, particularmente la función tangente ya que tenemos los lados adyacentes y opuestos del ángulo y.

$latex \tan{(\theta)} = \frac{opp}{adj}$

$latex \tan{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \tan{(y)} = x$

Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica de la tangente para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\tan{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (\sec^{2}{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^{2}{(y)}}$

Recordamos que en base a identidades trigonométricas, $latex \sec^{2}{(\theta)} = 1 + \tan^{2}{(\theta)}$. Aplicando esto, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^{2}{(y)}}$

De nuestra ecuación dada, recordamos que

$latex \tan{(y)} = x$

Entonces podemos sustituir esto en la ecuación derivada implícitamente.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^{2}{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\tan{(y)})^2}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (x)^2}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos

$latex \tan{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\tan}$

$latex y = \tan^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

que ahora es la fórmula derivada de la tangente inversa de x.

Ahora, para la derivada de una tangente inversa de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula derivada de la tangente inversa junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \tan^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.


¿Cómo derivar una función tangente inversa?

El proceso de derivación de una función tangente inversa es muy sencillo, suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función tangente inversa y cómo llegamos a su fórmula derivada.

MÉTODO 1: Derivada de la tangente inversa de cualquier variable única x

$latex \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1}{(x)} \right) = \frac{1}{1+x^2}$

Paso 1: Analiza si la tangente inversa de una variable es función de esa misma variable. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \tan^{-1}{(x)}$, comprueba si es una función de la misma variable x o f(x).

Nota: si $latex \tan^{-1}{(x)}$ es una función de una variable diferente como f(t) o f(y), utilizará diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones tales como

$latex \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left(\tan^{-1}{(x)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\tan^{-1}{(x)} \right)$

Paso 3: Luego aplique directamente la fórmula de la derivada de la función tangente inversa

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada de la Tangente Inversa de cualquier función u en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1}{(u)} \right) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función inversa como $latex F(x) = \tan^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \arctan{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función otra que x.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones tales como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\tan^{-1}{(u)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\tan^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \tan^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F (x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \tan^{-1}{(u)}$

y también

$latex g(x) = u$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función exterior $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la tangente inversa $latex \tan^{-1}{(u)}$, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \tan^{-1}{(u)} \right) = \frac{1}{1+u^2}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 7: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de tangente inversa x vs. la derivada de la tangente inversa x

Dada la función

$latex f(x) = \tan^{-1}{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de arctanx

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \tan^{-1}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de arctan tangente inversa

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de arctan y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \tan^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ o $latex -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$

mientras que la derivada $latex f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex (0, 1]$ o $latex 0 < y \leq 1$


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer o segundo método para derivar una función de tangente inversa.

EJEMPLO 1

Deriva: $latex f(\theta) = \tan^{-1}{(\theta)}$

Solución: Analizando la función tangente inversa dada, es solo una tangente inversa de una sola variable $latex \theta$ elevada a una variable igual a uno. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si la tangente inversa de $latex \theta$ es función de $latex \theta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Ilustrar la derivación usando

$latex \frac{d}{d\theta} f(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left(\tan^{-1}{(\theta)} \right)$

Paso 3: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función tangente inversa y derivar en términos de $latex \theta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\theta) = \frac{1}{1 + \theta^2}$

EJEMPLO 2

Deriva: $latex F(x) = \tan^{-1}{\left(3x^2+6 \right)}$

Solución: Analizando la función tangente inversa dada, vemos que es una tangente inversa de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función tangente inversa como $latex F(x) = \tan^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \arctan{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función distinta de x. en este problema,

$latex u = 3x^2+6$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones tales como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\tan^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \tan^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F (x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \tan^{-1}{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 3x^2+6$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función exterior $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la tangente inversa $latex \tan^{-1}{(u)}$, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \tan^{-1}{(u)} \right) = \frac{1}{1+u^2}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$. Dado que nuestra $latex u$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex u$.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(3x^2+6 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = 6x$

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot 6x$

Paso 7: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot 6x$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(3x^2+6)^2} \cdot 6x$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.

$latex F'(x) = \frac{1}{1+(3x^2+6)^2} \cdot 6x$

$latex F'(x) = \frac{6x}{1+(3x^2+6)^2}$

Y la respuesta final es:

$latex F'(x) = \frac{6x}{1+(3x^2+6)^2}$

o también

$latex F'(x) = \frac{6x}{9x^4+36x^2+37}$


Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas inversas? Mira estas páginas:

Aprende matemáticas con nuestros recursos adicionales en varios temas diferentes

Conoce Más