Derivada de arco tan (tangente inversa) – Demostración y Gráficas

Evite confusiones en el uso de arcotan(x), tan^-1(x),

1 / tan(x)

, y tanⁿ(x)

Es importante que no comprometamos las posibles confusiones que podríamos tener al usar diferentes denotaciones entre $latex \arctan{(x)}$, $latex \tan^{-1}{(x)}$, $latex \frac {1}{\tan{(x)}}$ y $latex \tan^{n}{(x)}$, ya que intercambiar el significado de estos símbolos puede conducir a errores de derivación. Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos

$latex \arctan{(x)} = \tan^{-1}{(x)}$

Ambos símbolos $latex \arctan$ y $latex \tan^{-1}$ se pueden usar indistintamente al calcular la tangente inversa. $latex \arctan$ se usa comúnmente como el símbolo verbal de la función de tangente inversa que se usa popularmente como denotaciones introductorias para principiantes, mientras que $latex \tan^{-1}$ se usa como símbolo matemático de la función de tangente inversa para una función más formal.

Sin embargo, cuando se trata de la denotación $latex \tan^{-1}{(x)}$, a veces puede confundir a los alumnos que $latex -1$ es un exponente algebraico de una tangente no inversa, lo cual no es cierto . El $latex -1$ usado para la tangente inversa representa que la tangente es inversa y no elevada a $latex -1$.

Por lo tanto,

$latex \tan^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\tan{(x)}}$

Y dados como $latex \tan^{2}{(x)}$ o $latex \tan^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de una tangente no inversa, NO DEBEN usar la fórmula de la tangente inversa ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de una tangente no inversa.

---

Demostración de la Derivada de la Función Tangente Inversa

En esta demostración, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, la función trigonométrica de la tangente y algo de álgebra básica. Al igual que en la figura anterior como muestra de referencia para un triángulo rectángulo dado, supongamos que tenemos ese mismo triángulo $latex \Delta ABC$, pero esta vez, cambiemos las variables para una ilustración más sencilla.

donde por cada unidad de un lado, hay un lado x perpendicular al lado unitario y un ángulo y opuesto al lado x y adyacente al lado unitario.

Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Soh-Cah-Toa, particularmente la función tangente ya que tenemos los lados adyacentes y opuestos del ángulo y.

$latex \tan{(\theta)} = \frac{opp}{adj}$

$latex \tan{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \tan{(y)} = x$

Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica de la tangente para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\tan{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (\sec^{2}{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^{2}{(y)}}$

Recordamos que en base a identidades trigonométricas, $latex \sec^{2}{(\theta)} = 1 + \tan^{2}{(\theta)}$. Aplicando esto, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^{2}{(y)}}$

De nuestra ecuación dada, recordamos que

$latex \tan{(y)} = x$

Entonces podemos sustituir esto en la ecuación derivada implícitamente.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^{2}{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\tan{(y)})^2}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (x)^2}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos

$latex \tan{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\tan}$

$latex y = \tan^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

que ahora es la fórmula derivada de la tangente inversa de x.

Ahora, para la derivada de una tangente inversa de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula derivada de la tangente inversa junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \tan^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.

---

Gráfica de tangente inversa x vs. la derivada de la tangente inversa x

Dada la función

$latex f(x) = \tan^{-1}{(x)}$

su gráfica es

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \tan^{-1}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

que se ilustra gráficamente como

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \tan^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ o $latex -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$

mientras que la derivada $latex f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex (0, 1]$ o $latex 0 < y \leq 1$

---

Ejemplos

Los siguientes son algunos ejemplos de cómo derivar funciones tangente inversa compuestas.

Práctica de derivadas de funciones tangente inversa compuestas

---

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas inversas? Mira estas páginas:

• Derivada de arco sin (seno inverso) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco cos (coseno inverso) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco sec (secante inversa) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco csc (cosecante inversa) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco cot (cotangente inversa) – Demostración y Gráficas