La derivada de la función secante inversa es igual a 1/(|x|√(x2-1)). Podemos demostrar esta derivada usando el teorema de Pitágoras y el álgebra.
En este artículo, aprenderemos cómo derivar la función secante inversa. Veremos algunos fundamentos, una comparación gráfica de la función no derivada y derivada, y algunos ejemplos.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arcsec de x.
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Relevante para…
Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arcsec de x.
Evite confusiones en el uso de arcsec(x), sec-1(x), 1 / sec(x) , y secn(x)
Es importante que no caigamos en las posibles confusiones que podamos tener al usar diferentes denotaciones $latex \text{arcsec}(x)$, $latex \sec^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1}{\sec{(x)}}$ y $latex \sec^{n}{(x)}$, ya que nos puede conducir a errores de derivación. Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos
$latex \text{arcsec}(x) = \sec^{-1}{(x)}$
Los símbolos $latex \text{arcsec}$ y $latex \sec^{-1}$ son usados indistintamente al calcular la secante inversa. $latex \text{arcsecant}$ se usa comúnmente como el símbolo verbal de la función secante inversa, mientras que $latex \sec^{-1}$ se usa como símbolo matemático de la función secante inversa para un entorno más formal.
Sin embargo, en el caso de la denotación $latex \sec^{-1}{(x)}$, debemos considerar que $latex -1$ no es un exponente algebraico de una secante. El $latex -1$ usado para la secante inversa representa que la secante es inversa y no elevada a $latex -1$.
Por lo tanto,
$latex \sec^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\sec{(x)}}$
Y dados como $latex \sec^{2}{(x)}$ o $latex \sec^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de una secante no inversa, NO DEBE utilizar la fórmula de la secante inversa ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de una secante no inversa.
Demostración de la derivada de la función secante inversa
En esta demostración, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, la función trigonométrica de secante y tangente, y algo de álgebra básica. Al igual que en la figura anterior como muestra de referencia para un triángulo rectángulo dado, supongamos que tenemos ese mismo triángulo $latex \Delta ABC$, pero esta vez, cambiemos las variables para una ilustración más sencilla.
donde por cada unidad de un lado adyacente al ángulo y, hay un lado $latex \sqrt{x^2-1}$ opuesto al ángulo y y una hipotenusa x.
Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Cho-Sha-Cao, particularmente la función secante usando la hipotenusa x y su lado adyacente.
$latex \sec{(\theta)} = \frac{hip}{ady}$
$latex \sec{(y)} = \frac{x}{1}$
$latex \sec{(y)} = x$
Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica de la secante para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos
$latex \frac{d}{dx} (\sec{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$
$latex \frac{d}{dx} (\sec{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} (\sec{(y)}\tan{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec{(y)}\tan{(y)}}$
Obteniendo la tangente del ángulo y de nuestro triángulo rectángulo dado, tenemos
$latex \tan{(y)} = \frac{opu}{ady}$
$latex \tan{(y)} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{1}$
$latex \tan{(y)} = \sqrt{x^2-1}$
Entonces podemos sustituir $latex \sec{(y)}$ y $latex \tan{(y)}$ a la diferenciación implícita de $latex \sec{(y)} = x$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec{(y)}\tan{(y)}}$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x) \cdot \left(\sqrt{x^2-1}\right)}$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$
Ahora, tenemos que
$latex \sec{(y)} = x$
y también
$latex \text{hipotenusa} = x$
Sabemos que una hipotenusa negativa no puede existir. Por lo tanto, $latex \sec{(y)}$ en este caso no puede ser negativo. Por eso el multiplicando x en el denominador de la derivada de la secante inversa debe considerarse un valor absoluto.
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos
$latex \sec{(y)} = x$
$latex y = \frac{x}{\sec}$
$latex y = \sec^{-1}{(x)}$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sec^{-1}{(x)} \right)$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
que ahora es la fórmula derivada de la secante inversa de x.
Ahora, para la derivada de una secante inversa de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula de la derivada de la secante inversa junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \sec^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.
Gráfica de secante inversa de x vs. la derivada de la secante inversa de x
La gráfica de la función
$latex f(x) = \sec^{-1}{(x)}$
se ilustra como
Y al derivar a la función $latex f(x) = \sec^{-1}{(x)}$, obtenemos
$latex f'(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
la cual tiene la siguiente gráfica
Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos
Usando las gráficas, se puede observar que la función original $latex f(x) = \sec^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de
$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty )$ o todos los números reales excepto $latex -1 < x < 1$
y existe dentro del rango de
$latex [0,\frac{\pi}{2}\big) \cup \big(\frac{\pi}{2},\pi]$ o $latex 0 \leq y \leq \pi$ excepto $latex \frac{\pi}{2}$
mientras que la derivada $latex f'(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ tiene un dominio de
$latex (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ o todos los números reales excepto $latex -1 \leq x \leq 1$
y existe dentro del rango de
$latex (0,\infty)$ o $latex y > 0$
Ejemplos
En los siguientes ejemplos, veremos cómo derivar funciones secante inverso compuestas.
EJEMPLO 1
¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \sec^{-1}(2x)$?
Solución
Dado que tenemos una función secante inversa compuesta, podemos usar la regla de la cadena para derivarla.
Entonces, consideramos a $latex u=2x$ como la función interna y tenemos $latex f(u)=\sec^{-1}(u)$ y aplicando la regla de la cadena, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \times 2$$
Luego, sustituimos $latex u=2x$ de vuelta en la función y tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{|2x|\sqrt{(2x)^2-1}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{|2x|\sqrt{4x^2-1}}$$
EJEMPLO 2
Encuentra la derivada de la función $latex F(x) = \sec^{-1}(x^2-5)$
Solución
Para usar la regla de la cadena, escribimos a la función secante inversa como $latex f (u) = \sec^{-1}(u)$, donde $latex u = x^2-5$.
Entonces, empezamos encontrando la derivada de la función externa $latex f(u)$:
$$\frac{d}{du} ( \sec^{-1}(u) ) = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}}$$
Ahora, calculamos la derivada de la función interna $latex g(x)=u=x^2-5$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(x^2-5)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 2x$$
Luego, tenemos que multiplicar a la derivada de la función externa por la derivada de la función interna:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot 2x$$
Por último, substituimos $latex u$ de vuelta y simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x^2-5|\sqrt{(x^2-5)^2-1}} \cdot 2x$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{|x^2-5|\sqrt{(x^2-5)^2-1}}$$
$$F'(x) = \frac{2x}{|x^2-5|\sqrt{x^4-10x^2+24}}$$
EJEMPLO 3
Encuentra la derivada de $latex f(x) = \sec^{-1}(\sqrt{x})$
Solución
En este caso, la función interna es $latex u=\sqrt{x}$. Considerando que podemos escribirla como $latex u=x^{\frac{1}{2}}$, su derivada es:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Si es que aplicamos la regla de la cadena con $latex f(u)=\sec^{-1}(u)$, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Sustituyendo $latex u=\sqrt{x}$ y simplificando, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|\sqrt{x}|\sqrt{(\sqrt{x})^2-1}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|\sqrt{x}|\sqrt{x-1}} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|\sqrt{x}|\sqrt{x-1}\sqrt{x}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|\sqrt{x}|\sqrt{x(x-1)}}$$
Práctica de derivadas de funciones secante inversa compuestas
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas inversas? Mira estas páginas:
- Derivada de arco tan (tangente inversa) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco sin (seno inverso) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco cos (coseno inverso) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco csc (cosecante inversa) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco cot (cotangente inversa) – Demostración y Gráficas
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
