Derivada de arco sec (secante inversa) – Demostración y Gráficas

La derivada de arcosecante o secante inversa se usa para derivar una función que involucra la forma inversa de la función trigonométrica ‘secante’. La derivada de la función secante inversa es igual a 1/(|x|√(x2-1)). Podemos probar esta derivada usando el teorema de Pitágoras y el álgebra.

En este artículo, discutiremos cómo derivar la función arcosecante o la función secante inversa. Cubriremos breves fundamentos, su definición, fórmula, una comparación gráfica de la función no derivada y derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de arco secante, secante inversa

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arcsec de x.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de arco secante, secante inversa

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arcsec de x.

Ver demostración

Evite confusiones en el uso de arcsec(x), sec-1(x),
1 / sec(x)
, y secn(x)

Es importante que no comprometamos las posibles confusiones que podamos tener al usar diferentes denotaciones entre $latex \text{arcsec}(x)$, $latex \sec^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1}{\sec{(x)}}$ y $latex \sec^{n}{(x)}$, ya que intercambiar el significado de estos símbolos puede conducir a errores de derivación. Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos

$latex \text{arcsec}(x) = \sec^{-1}{(x)}$

Ambos símbolos $latex \text{arcsec}$ y $latex \sec^{-1}$ se pueden usar indistintamente al calcular la secante inversa. $latex \text{arcsecant}$ se usa comúnmente como el símbolo verbal de la función secante inversa que se usa popularmente como denotaciones introductorias para principiantes, mientras que $latex \sec^{-1}$ se usa como símbolo matemático de la función secante inversa para un entorno más formal.

Sin embargo, cuando se trata de la denotación $latex \sec^{-1}{(x)}$, a veces puede confundir a los alumnos que $latex -1$ es un exponente algebraico de una secante no inversa, lo cual no es cierto . El $latex -1$ usado para la secante inversa representa que la secante es inversa y no elevada a $latex -1$. Esto ha sido probado y mostrado en el sub-artículo anterior escrito arriba.

Por lo tanto,

$latex \sec^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\sec{(x)}}$

Y dados como $latex \sec^{2}{(x)}$ o $latex \sec^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de una secante no inversa, NO DEBE utilizar la fórmula de la secante inversa ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de una secante no inversa.


Demostración de la derivada de la función secante inversa

En esta demostración, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, la función trigonométrica de secante y tangente, y algo de álgebra básica. Al igual que en la figura anterior como muestra de referencia para un triángulo rectángulo dado, supongamos que tenemos ese mismo triángulo $latex \Delta ABC$, pero esta vez, cambiemos las variables para una ilustración más sencilla.

Triángulo rectángulo -secy-x-1

donde por cada unidad de un lado adyacente al ángulo y, hay un lado $latex \sqrt{x^2-1}$ opuesto al ángulo y y una hipotenusa x.

Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Cho-Sha-Cao, particularmente la función secante usando la hipotenusa x y su lado adyacente.

$latex \sec{(\theta)} = \frac{hip}{ady}$

$latex \sec{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \sec{(y)} = x$

Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica de la secante para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\sec{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\sec{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (\sec{(y)}\tan{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec{(y)}\tan{(y)}}$

Obteniendo la tangente del ángulo y de nuestro triángulo rectángulo dado, tenemos

$latex \tan{(y)} = \frac{opu}{ady}$

$latex \tan{(y)} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{1}$

$latex \tan{(y)} = \sqrt{x^2-1}$

Entonces podemos sustituir $latex \sec{(y)}$ y $latex \tan{(y)}$ a la diferenciación implícita de $latex \sec{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec{(y)}\tan{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x) \cdot \left(\sqrt{x^2-1}\right)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

Ahora, tenemos que

$latex \sec{(y)} = x$

y también

$latex \text{hipotenusa} = x$

Sabemos que una hipotenusa negativa no puede existir. Por lo tanto, $latex \sec{(y)}$ en este caso no puede ser negativo. Por eso el multiplicando x en el denominador de la derivada de la secante inversa debe considerarse un valor absoluto.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos

$latex \sec{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\sec}$

$latex y = \sec^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sec^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

que ahora es la fórmula derivada de la secante inversa de x.

Ahora, para la derivada de una secante inversa de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula de la derivada de la secante inversa junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \sec^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.


¿Cómo derivar una función secante inversa?

El proceso de derivación de una función secante inversa es muy sencillo, suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función secante inversa y cómo llegamos a su fórmula derivada.

MÉTODO 1: Derivada de la secante inversa de cualquier variable única x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sec^{-1}{(x)} \right) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Paso 1: Analiza si la secante inversa de una variable es función de esa misma variable. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \sec^{-1}{(x)}$, comprueba si es una función de la misma variable x o f(x).

Nota: si $latex \sec^{-1}{(x)}$ es una función de una variable diferente como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left(\sec^{-1}{(x)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\sec^{-1}{(x)} \right)$

Paso 3: Luego aplique directamente la fórmula derivada de la función secante inversa

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{(x^2-1)}}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada de la Secante Inversa de cualquier función u en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sec^{-1}{(u)} \right) = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función inversa como $latex F(x) = \sec^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \text{arcsec}(u)$, donde $latex u $ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\sec^{-1}{(u)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\sec^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \sec^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \sec^{-1}{(u)}$

y también

$latex g(x) = u$

Paso 4: Obtén la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la secante inversa $latex \sec^{-1}{(u)}$, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sec^{-1}{(u)} \right) = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 7: Sustituya $latex u$ en $latex f'(u)$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de secante inversa de x vs. la derivada de la secante inversa de x

Dada la función

$latex f(x) = \sec^{-1}{(x)}$

la gráfica se ilustra como

Gráfica de arcsecx

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \sec^{-1}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de arcsecx

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de arsec x y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \sec^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty )$ o todos los números reales excepto $latex -1 < x < 1$

y existe dentro del rango de

$latex [0,\frac{\pi}{2}\big) \cup \big(\frac{\pi}{2},\pi]$ o $latex 0 \leq y \leq \pi$ excepto $latex \frac{\pi}{2}$

mientras que la derivada $latex f'(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ o todos los números reales excepto $latex -1 \leq x \leq 1$

y existe dentro del rango de

$latex (0,\infty)$ o $latex y > 0$


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer o segundo método para derivar una función secante inversa.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\theta) = \sec^{-1}{(\theta)}$

Solución: Analizando la función secante inversa dada, es solo una secante inversa de una sola variable $latex \theta$ elevada a una variable igual a uno. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si la secante inversa de $latex \theta$ es una función de $latex \theta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Ilustrar la derivación usando

$latex \frac{d}{d\theta} f(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left(\sec^{-1}{(\theta)} \right)$

Paso 3: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función secante inversa y derivar en términos de $latex \theta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\theta) = \frac{1}{\theta\sqrt{\theta^2-1}}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex F(x) = \sec^{-1}{\left(8x^2-4 \right)}$

Solución: Analizando la función secante inversa dada, es una secante inversa de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función secante inversa como $latex F(x) = \sec^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \text{arcsec}(u)$, donde $latex u $ representa cualquier función que no sea x. En este problema,

$latex u = 8x^2-4$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\sec^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \sec^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \sec^{-1}{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 8x^2-4$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la secante inversa, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sec^{-1}{(u)} \right) = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$. Dado que nuestro $latex u$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex u$.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(8x^2-4 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = 16x$

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot 16x$

Paso 7: Sustituya $latex u$ en $latex f'(u)$

$latex \frac{dy}{dx} =\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot 16x$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|(8x^2-4)|\sqrt{(8x^2-4)^2-1}} \cdot 16x$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.

$latex F'(x) = \frac{1}{|(8x^2-4)|\sqrt{(8x^2-4)^2-1}} \cdot 16x$

$latex F'(x) = \frac{16x}{(8x^2-4)\sqrt{(8x^2-4)^2-1}}$

$latex F'(x) = \frac{16x}{4(2x^2-1)\sqrt{(8x^2-4)^2-1}}$

$latex F'(x) = \frac{4x}{(2x^2-1)\sqrt{(8x^2-1)^2-1}}$

Y la respuesta final es:

$latex F'(x) = \frac{4x}{(2x^2-1)\sqrt{(8x^2-4)^2-1}}$


Véase también

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