Derivada de arco cot (cotangente inversa) – Demostración y Gráficas

Evite confusiones en el uso de arccot(x), cot^-1(x),

1 / cot(x)

, y cotⁿ(x)

Vamos a empezar por clarificar el uso de las diferentes denotaciones entre $latex \text{arccot}(x)$, $latex \cot^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1}{\cot{(x)}}$ y $latex \cot^{n}{(x)}$, ya que intercambiar estos símbolos, podemos obtener errores de derivación.

Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos

$latex \text{arccot}(x) = \cot^{-1}{(x)}$

Los símbolos $latex \text{arccot}$ y $latex \cot^{-1}$ son usados para denotar a la cotangente inversa. \text{arccot} se usa como el símbolo verbal de la función cotangente inversa, mientras que $latex \cot^{-1}$ se usa como símbolo matemático de la función cotangente inversa para una función más formal.

En el caso de la denotación $latex \cot^{-1}{(x)}$, debemos considerar que $latex -1$ no es un exponente algebraico de una cotangente no inversa. El $latex -1$ usado para la cotangente inversa representa que la cotangente es inversa y no elevada a $latex -1$.

Por lo tanto,

$latex \cot^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\cot{(x)}}$

Y dados como $latex \cot^{2}{(x)}$ o $latex \cot^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de una cotangente no inversa, NO DEBE utilizar la fórmula de la cotangente inversa ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de una cotangente no inversa.

Demostración de la derivada de la función cotangente inversa

En esta prueba, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, las funciones trigonométricas de cotangente y cosecante, y algo de álgebra básica. Usaremos un triángulo rectángulo $latex \Delta ABC$, pero usaremos las siguientes variables para una ilustración más sencilla.

donde por cada unidad de un lado opuesto al ángulo y, hay un lado x adyacente al ángulo y y una hipotenusa igual a $latex \sqrt{1+x^2}$.

Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Cho-Sha-Cao, particularmente la función cotangente usando sus lados adyacentes y opuestos.

$latex \cot{(\theta)} = \frac{ady}{opu}$

$latex \cot{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \cot{(y)} = x$

Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica de la cotangente para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\cot{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\cot{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (-\csc^{2}{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\csc^{2}{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^{2}{(y)}}$

Obteniendo la cosecante del ángulo y de nuestro triángulo rectángulo dado, tenemos

$latex \csc{(y)} = \frac{hyp}{opp}$

$latex \csc{(y)} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{1}$

Como necesitamos sustituir $latex \csc{(y)}$ en $latex \csc^{2}{(y)}$, necesitamos elevar al cuadrado ambos lados

$latex \csc^{2}{(y)} = \left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{1}\right)^2$

$latex \csc^{2}{(y)} = \left(\sqrt{1+x^2}\right)^2$

$latex \csc^{2}{(y)} = 1+x^2$

Entonces podemos sustituir $latex \csc^{2}{(y)}$ a la diferenciación implícita de $latex \cot{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^{2}{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$

Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos

$latex \cot{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\cot}$

$latex y = \cot^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \cot^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$

que ahora es la fórmula derivada de la cotangente inversa de x.

Ahora, para la derivada de una cotangente inversa de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula de la derivada de la cotangente inversa junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \cot^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.

Gráfica de cotangente inversa de x vs. la derivada de la cotangente inversa de x

Dada la función

$latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$

su gráfica es

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$

que se ilustra gráficamente como

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex (0,\pi)$ o $latex 0<y<\pi$

mientras que la derivada $latex f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-1, 0)$ o $latex -1 \leq y < 0$

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo derivar una función cotangente inversa compuesta.

Práctica de derivadas de funciones cotangente inversa compuestas

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas inversas? Mira estas páginas:

• Derivada de arco tan (tangente inversa) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco sin (seno inverso) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco cos (coseno inverso) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco sec (secante inversa) – Demostración y Gráficas
• Derivada de arco csc (cosecante inversa) – Demostración y Gráficas