Derivada de arco cot (cotangente inversa) – Demostración y Gráficas

La derivada de arcocotagente o cotangente inversa se usa para derivar una función que involucra la forma inversa de la función trigonométrica ‘cotangente’. La derivada de la función cotangente inversa es igual a -1/(1+x2). Esta derivada se puede probar usando el teorema de Pitágoras y Álgebra.

En este artículo, discutiremos cómo derivar la arcocotangente o la función cotangente inversa. Cubriremos breves fundamentos, su definición, fórmula, una comparación gráfica de la función no derivada y derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de arco cot, cotangente inversa

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arccot de x.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de arco cot, cotangente inversa

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arccot de x.

Ver demostración

Evite confusiones en el uso de arccot(x), cot-1(x),
1 / cot(x)
, y cotn(x)

Es importante que no comprometamos las posibles confusiones que podríamos tener al usar diferentes denotaciones entre $latex \text{arccot}(x)$, $latex \cot^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1}{\cot{(x)}}$ y $latex \cot^{n}{(x)}$, ya que intercambiar el significado de estos símbolos puede conducir a errores de derivación. Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos

$latex \text{arccot}(x) = \cot^{-1}{(x)}$

Ambos símbolos $latex \text{arccot}$ y $latex \cot^{-1}$ se pueden usar al calcular la cotangente inversa. \text{arccot} se usa comúnmente como el símbolo verbal de la función cotangente inversa que se usa popularmente como denotaciones introductorias para principiantes, mientras que $latex \cot^{-1}$ se usa como símbolo matemático de la función cotangente inversa para una función más formal.

Sin embargo, cuando se trata de la denotación $latex \cot^{-1}{(x)}$, a veces puede confundir a los alumnos que $latex -1$ es un exponente algebraico de una cotangente no inversa, lo cual no es cierto . El $latex -1$ usado para la cotangente inversa representa que la cotangente es inversa y no elevada a $latex -1$. Esto ha sido probado y mostrado en el sub-artículo anterior escrito arriba.

Por lo tanto,

$latex \cot^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\cot{(x)}}$

Y dados como $latex \cot^{2}{(x)}$ o $latex \cot^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de una cotangente no inversa, NO DEBE utilizar la fórmula de la cotangente inversa ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de una cotangente no inversa.


Demostración de la derivada de la función cotangente inversa

En esta prueba, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, las funciones trigonométricas de cotangente y cosecante, y algo de álgebra básica. Usaremos un triángulo rectángulo $latex \Delta ABC$, pero usaremos las siguientes variables para una ilustración más sencilla.

Triángulo rectángulo-coty-x

donde por cada unidad de un lado opuesto al ángulo y, hay un lado x adyacente al ángulo y y una hipotenusa igual a $latex \sqrt{1+x^2}$.

Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Cho-Sha-Cao, particularmente la función cotangente usando sus lados adyacentes y opuestos.

$latex \cot{(\theta)} = \frac{adj}{opp}$

$latex \cot{(y)} = \frac{x}{1}$

$latex \cot{(y)} = x$

Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica de la cotangente para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\cot{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$

$latex \frac{d}{dx} (\cot{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} (-\csc^{2}{(y)}) = 1$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\csc^{2}{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^{2}{(y)}}$

Obteniendo la cosecante del ángulo y de nuestro triángulo rectángulo dado, tenemos

$latex \csc{(y)} = \frac{hyp}{opp}$

$latex \csc{(y)} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{1}$

Como necesitamos sustituir $latex \csc{(y)}$ en $latex \csc^{2}{(y)}$, necesitamos elevar al cuadrado ambos lados

$latex \csc^{2}{(y)} = \left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{1}\right)^2$

$latex \csc^{2}{(y)} = \left(\sqrt{1+x^2}\right)^2$

$latex \csc^{2}{(y)} = 1+x^2$

Entonces podemos sustituir $latex \csc^{2}{(y)}$ a la diferenciación implícita de $latex \cot{(y)} = x$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^{2}{(y)}}$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$

Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos

$latex \cot{(y)} = x$

$latex y = \frac{x}{\cot}$

$latex y = \cot^{-1}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \cot^{-1}{(x)} \right)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$

que ahora es la fórmula derivada de la cotangente inversa de x.

Ahora, para la derivada de una cotangente inversa de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula de la derivada de la cotangente inversa junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \cot^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.


¿Cómo derivar una función cotangente inversa?

El proceso de derivación de una función cotangente inversa es muy sencillo, suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función cotangente inversa y cómo llegamos a su fórmula derivada.

MÉTODO 1: Derivada de la cotangente inversa de cualquier variable única x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cot^{-1}{(x)} \right) = -\frac{1}{1+x^2}$

Paso 1: Analizar si la cotangente inversa de una variable es función de esa misma variable. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \cot^{-1}{(x)}$, comprueba si es una función de la misma variable x o f(x).

Nota: si $latex \cot^{-1}{(x)}$ es una función de una variable diferente como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left(\cot^{-1}{(x)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\cot^{-1}{(x)} \right)$

Paso 3: Luego aplique directamente la fórmula derivada de la función cotangente inversa

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1 + x^2}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada de la Cotangente Inversa de cualquier función u en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cot^{-1}{(u)} \right) = -\frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función inversa como $latex F(x) = \cot^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \text{arccot}(u)$, donde $latex u $ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\cot^{-1}{(u)} \right)$

o también

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\cot^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \cot^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \cot^{-1}{(u)}$

and

$latex g(x) = u$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función exterior $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la cotangente inversa $latex \cot^{-1}{(u)}$, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cot^{-1}{(u)} \right) = -\frac{1}{1+u^2}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 7: Sustituya $latex u$ en $latex f'(u)$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de cotangente inversa de x vs. la derivada de la cotangente inversa de x

Dada la función

$latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de arccotx

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de arccotx

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de la derivada de arccot x y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex (0,\pi)$ o $latex 0<y<\pi$

mientras que la derivada $latex f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-1, 0)$ o $latex -1 \leq y < 0$


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer o segundo método para derivar una función cotangente inversa.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\theta) = \cot^{-1}{(\theta)}$

Solución: Analizando la función cotangente inversa dada, vemos que es solo una cotangente inversa de una sola variable $latex \theta$ elevada a una variable igual a uno. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analizar si la cotangente inversa de $latex \theta$ es una función de $latex \theta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Ilustrar la derivación usando

$latex \frac{d}{d\theta} f(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left(\cot^{-1}{(\theta)} \right)$

Paso 3: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función cotangente inversa y derivar en términos de $latex \theta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\theta) = -\frac{1}{1 + \theta^2}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex F(x) = \cot^{-1}{\left(6x^2-3 \right)}$

Solución: Analizando la función cotangente inversa dada, es una cotangente inversa de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función cotangente inversa como $latex F(x) = \cot^{-1}{(u)}$ o $latex F(x) = \text{arccot}(u)$, donde $latex u$ representa cualquier función distinta de x. En este problema,

$latex u = 6x^2-3$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Ilustre la derivación usando los símbolos de derivación o denotaciones como

$latex \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left(\cot^{-1}{(u)} \right)$

Paso 3: Considere $latex \cot^{-1}{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $látex F(x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \cot^{-1}{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 6x^2-3$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función exterior $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la cotangente inversa $latex \cot^{-1}{(u)}$, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cot^{-1}{(u)} \right) = -\frac{1}{1+u^2}$

Paso 5: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$. Dado que nuestro $latex u$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex u$.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(6x^2-3 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = 12x$

Paso 6: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot 12x$

Paso 7: Sustituya $latex u$ en $latex f'(u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot 12x$

$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+(6x^2-3)^2} \cdot 12x$

Paso 8: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.

$latex F'(x) = -\frac{1}{1+(6x^2-3)^2} \cdot 12x$

$latex F'(x) = -\frac{12x}{1+(6x^2-3)^2}$

$latex F'(x) = -\frac{12x}{1 + 9(2x^2-1)^2}$

Y la respuesta final es:

$latex F'(x) = -\frac{12x}{1 + 9(2x^2-1)^2}$

o también

$latex F'(x) = -\frac{12x}{36x^4-36x^2+10}$


Véase también

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