La derivada de la función cotangente inversa es igual a -1/(1+x2). Esta derivada se puede demostrar usando el teorema de Pitágoras y Álgebra.
En este artículo, conoceremos cómo derivar a la función cotangente inversa. Veremos consideraciones generales con su notación, una demostración, la comparación gráfica de la función no derivada y derivada, y algunos ejemplos.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arccot de x.
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Relevante para…
Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada de arccot de x.
Evite confusiones en el uso de arccot(x), cot-1(x), 1 / cot(x) , y cotn(x)
Vamos a empezar por clarificar el uso de las diferentes denotaciones entre $latex \text{arccot}(x)$, $latex \cot^{-1}{(x)}$, $latex \frac{1}{\cot{(x)}}$ y $latex \cot^{n}{(x)}$, ya que intercambiar estos símbolos, podemos obtener errores de derivación.
Resumiendo la definición de estos símbolos, tenemos
$latex \text{arccot}(x) = \cot^{-1}{(x)}$
Los símbolos $latex \text{arccot}$ y $latex \cot^{-1}$ son usados para denotar a la cotangente inversa. \text{arccot} se usa como el símbolo verbal de la función cotangente inversa, mientras que $latex \cot^{-1}$ se usa como símbolo matemático de la función cotangente inversa para una función más formal.
En el caso de la denotación $latex \cot^{-1}{(x)}$, debemos considerar que $latex -1$ no es un exponente algebraico de una cotangente no inversa. El $latex -1$ usado para la cotangente inversa representa que la cotangente es inversa y no elevada a $latex -1$.
Por lo tanto,
$latex \cot^{-1}{(x)} \neq \frac{1}{\cot{(x)}}$
Y dados como $latex \cot^{2}{(x)}$ o $latex \cot^{n}{(x)}$, donde n es cualquier exponente algebraico de una cotangente no inversa, NO DEBE utilizar la fórmula de la cotangente inversa ya que en estos datos, tanto el 2 como cualquier exponente n se tratan como exponentes algebraicos de una cotangente no inversa.
Demostración de la derivada de la función cotangente inversa
En esta prueba, usaremos principalmente los conceptos de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, las funciones trigonométricas de cotangente y cosecante, y algo de álgebra básica. Usaremos un triángulo rectángulo $latex \Delta ABC$, pero usaremos las siguientes variables para una ilustración más sencilla.
donde por cada unidad de un lado opuesto al ángulo y, hay un lado x adyacente al ángulo y y una hipotenusa igual a $latex \sqrt{1+x^2}$.
Usando estos componentes de un triángulo rectángulo, podemos encontrar el ángulo y usando Cho-Sha-Cao, particularmente la función cotangente usando sus lados adyacentes y opuestos.
$latex \cot{(\theta)} = \frac{ady}{opu}$
$latex \cot{(y)} = \frac{x}{1}$
$latex \cot{(y)} = x$
Ahora, podemos derivar implícitamente esta ecuación usando la derivada de la función trigonométrica de la cotangente para el lado izquierdo y la regla de la potencia para el lado derecho. Al hacerlo, tenemos
$latex \frac{d}{dx} (\cot{(y)}) = \frac{d}{dx} (x)$
$latex \frac{d}{dx} (\cot{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} (-\csc^{2}{(y)}) = 1$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\csc^{2}{(y)}}$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^{2}{(y)}}$
Obteniendo la cosecante del ángulo y de nuestro triángulo rectángulo dado, tenemos
$latex \csc{(y)} = \frac{hyp}{opp}$
$latex \csc{(y)} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{1}$
Como necesitamos sustituir $latex \csc{(y)}$ en $latex \csc^{2}{(y)}$, necesitamos elevar al cuadrado ambos lados
$latex \csc^{2}{(y)} = \left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{1}\right)^2$
$latex \csc^{2}{(y)} = \left(\sqrt{1+x^2}\right)^2$
$latex \csc^{2}{(y)} = 1+x^2$
Entonces podemos sustituir $latex \csc^{2}{(y)}$ a la diferenciación implícita de $latex \cot{(y)} = x$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^{2}{(y)}}$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$
Por lo tanto, despejando algebraicamente el ángulo y y obteniendo su derivada, tenemos
$latex \cot{(y)} = x$
$latex y = \frac{x}{\cot}$
$latex y = \cot^{-1}{(x)}$
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \cot^{-1}{(x)} \right)$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$
que ahora es la fórmula derivada de la cotangente inversa de x.
Ahora, para la derivada de una cotangente inversa de cualquier función que no sea x, podemos aplicar la fórmula de la derivada de la cotangente inversa junto con la fórmula de la regla de la cadena. Al hacerlo, tenemos
$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \cot^{-1}{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
$latex \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{d}{dx} (u)$
donde $latex u$ es cualquier función distinta de x.
Gráfica de cotangente inversa de x vs. la derivada de la cotangente inversa de x
Dada la función
$latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$
su gráfica es
Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$, obtenemos
$latex f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$
que se ilustra gráficamente como
Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos
Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \cot^{-1}{(x)}$ tiene un dominio de
$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales
y existe dentro del rango de
$latex (0,\pi)$ o $latex 0<y<\pi$
mientras que la derivada $latex f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ tiene un dominio de
$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales
y existe dentro del rango de
$latex [-1, 0)$ o $latex -1 \leq y < 0$
Ejemplos
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo derivar una función cotangente inversa compuesta.
EJEMPLO 1
¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \cot^{-1}(11x)$?
Solución
Tenemos una función cotangente inversa compuesta, por lo que vamos a usar la regla de la cadena para derivarla.
Considerando a $latex u=11x$ como la función interna, podemos escribir $latex f(u)=\tan^{-1}(u)$. Entonces, al aplicar la regla de la cadena tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+u^2} \times 11$$
Sustituyendo $latex u=11x$ de vuelta en la función, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{11}{1+(11x)^2}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{11}{1+121x^2}$$
EJEMPLO 2
Encuentra la derivada de la función $latex F(x) = \cot^{-1}(x^3+5)$
Solución
Vamos a usar la regla de la cadena. Entonces, escribimos a la función tangente inversa como $latex f (u) = \cot^{-1}(u)$, donde $latex u = x^3+5$.
Ahora, calculamos la derivada de la función externa $latex f(u)$:
$$\frac{d}{du} ( \cot^{-1}(u) ) = -\frac{1}{1+u^2}$$
Luego, calculamos la derivada de la función interna $latex g(x)=u=x^3+5$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(x^3+5)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 3x^2$$
La regla de la cadena nos dice que tenemos que multiplicar a la derivada de la función externa por la derivada de la función interna:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot 3x^2$$
Por último, substituimos $latex u$ de vuelta y simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+(x^3+5)^2} \cdot 3x^2$$
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{1+x^6+10x^3+25}$$
$$F'(x) = -\frac{3x^2}{x^6+10x^3+26}$$
EJEMPLO 3
Si es que tenemos la función $latex f(x) = \cot^{-1}(\sqrt{x})$, ¿cuál es su derivada?
Solución
La función raíz cuadrada es la función interna. Entonces, dado que $latex u=\sqrt{x}$ es igual a $latex u=x^{\frac{1}{2}}$, tenemos la siguiente derivada:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Como tenemos $latex f(u)=\cot^{-1}(u)$ al aplicar la regla de la cadena nos da:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+u^2} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Sustituyendo $latex u=\sqrt{x}$ y simplificando, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x} \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$$
Práctica de derivadas de funciones cotangente inversa compuestas
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas inversas? Mira estas páginas:
- Derivada de arco tan (tangente inversa) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco sin (seno inverso) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco cos (coseno inverso) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco sec (secante inversa) – Demostración y Gráficas
- Derivada de arco csc (cosecante inversa) – Demostración y Gráficas
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
