El tiro vertical es un caso particular del movimiento de proyectiles, donde un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba o hacia abajo, sin componente horizontal de velocidad. En este tipo de movimiento, el objeto está sujeto únicamente a la fuerza de la gravedad, que actúa hacia abajo con una aceleración constante denotada por “g” (aproximadamente 9.8 m/s² en la Tierra).
A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para predecir el comportamiento de objetos en tiro vertical, y las usaremos para resolver problemas relacionados con este tipo de movimiento.
Fórmulas del tiro vertical
El tiro vertical es cualquier movimiento vertical acelerado bajo la acción de la gravedad, ya sea que el objeto viaje hacia arriba (tiro vertical ascendente) o hacia abajo (tiro vertical descendente). Se ignora la resistencia del aire, que tiende a retardar el movimiento. Se trata de un movimiento sumamente común en la naturaleza y en la vida diaria.
Un tiro vertical es una caída libre aunque posea velocidad inicial, pues la caída libre es el movimiento de un objeto acelerado bajo la acción de la gravedad exclusivamente.
Por lo tanto, la ecuación para la posición en función del tiempo en un tiro vertical es la misma que la de cualquier movimiento rectilíneo con aceleración constante. Dicha aceleración se denota $latex g$ y comúnmente su valor es $latex g= 9.8\hspace{1mm}\dfrac{m}{s^2}$, suponiendo que el movimiento ocurre en las adyacencias de la Tierra.
Tiro vertical: ecuación para la posición
En todos los casos, si se elige un sistema de referencia, en el cual el sentido vertical hacia abajo es negativo, la ecuación para la posición de un objeto en función del tiempo, adquiere la forma:
$$y(t)=y_{0}+v_{0}t-\frac{1}{2}gt^2$$
No obstante, en algunos casos convendrá más tomar el sentido vertical hacia abajo como positivo, entonces, se debe tener cuidado de ser consistente con la elección de signos.
En la ecuación mostrada, $latex y(t)$ denota la posición vertical en función del tiempo transcurrido, y $latex y_{0}$ es la posición inicial, que puede elegirse como igual a 0 en el punto de lanzamiento, simplificando la ecuación a:
$$y(t)=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^2$$
El signo de la velocidad inicial puede ser positivo o negativo, según el objeto se impulse hacia arriba o hacia abajo. Es decir, si el objeto se impulsa hacia arriba, la velocidad inicial es positiva, y conforme el proyectil asciende, disminuye su magnitud poco a poco hasta anularse. Es entonces cuando el objeto alcanza su altura máxima.
Numerosas aplicaciones requieren conocer esta altura máxima, para la cual no es difícil desarrollar una expresión:
Tiro vertical ascendente: ecuación para la altura máxima
Partiendo de la ecuación que relaciona velocidad y posición para un movimiento uniformente acelerado:
$$v^2 =v_0^2 – 2gy$$
Haciendo $latex v=0$, resulta la altura máxima $latex y_{máx}$, dada por:
$$0 =v_0^2 – 2gy_{máx}$$
Por lo tanto:
$$y_{máx}=\frac{v_0^2}{2g}$$
Como puede verse, la altura máxima depende de la velocidad inicial que se le dio al proyectil. Cuanto mayor sea esta velocidad, más altura alcanzará el objeto.
Tiro vertical ascendente: ecuación para el tiempo máximo
El tiempo máximo es el tiempo que tarda el proyectil en lograr su altura máxima. Se puede calcular partiendo de la ecuación que relaciona velocidad y tiempo:
$$v=v_0-gt$$
Cuando el proyectil llega a la altura máxima, momentáneamente se detiene y comienza a descender, justo allí se alcanza el tiempo máximo $latex t_{máx}$:
$$0=v_0-gt_{máx}$$
$$t_{máx}=\frac{v_0}{g}$$
Cuanto mayor sea la velocidad inicial del objeto, más tardará en alcanzar la altura máxima.
Ejercicios resueltos de tiro vertical en física
Importante: En los ejercicios que siguen, se ignora la resistencia del aire y se toma el valor de la aceleración de la gravedad como $latex g=9.8\frac{m}{s}$.
EJERCICIO 1
Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con rapidez inicial de 26.2 m/s, la cual llega justo al borde la azotea de un edificio. Calcular:
a) La altura H del edificio.
b) El tiempo que permanece en el aire.
c) ¿Cuántos pisos tiene el edificio? Suponga que cada piso mide 3.5 m de altura.
Solución
a) Para hallar la altura del edificio, conociendo la velocidad inicial, se utiliza:
$$h_{máx}=H=\frac{v_0^2}{2g}$$
Se utiliza el sistema de referencia con el origen en el punto de lanzamiento y sentido vertical hacia arriba positivo.
Sustituyendo valores, se obtiene:
$$H=\frac{\left(26.2\hspace{1mm}\dfrac{m}{s}\right)^2}{2\times 9.8\hspace{1mm}\dfrac{m}{s^2}}=35.02\hspace{1mm}m$$
b) El tiempo de vuelo se puede hallar partiendo de:
$$t_{vuelo}=\frac{v_0}{g}$$
$$t_{vuelo}=\frac{26.2\hspace{1mm}\dfrac{m}{s}}{9.8\hspace{1mm}\dfrac{m}{s^2}}=2.7\hspace{1mm}s$$
c) Dividiendo la altura del edificio entre la altura de cada piso, resulta n, el número de pisos:
$$n=\frac{35.2}{3.5}\approx 10\hspace{1mm}pisos$$
EJERCICIO 2
Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con la intención de que alcance una altura máxima de 20 m.
a) ¿Qué velocidad inicial hay que proporcionarle?
b) ¿Cuánto tiempo durará en el aire?
Solución
a) De la ecuación que relaciona la altura máxima con la velocidad inicial, se despeja esta última:
$$h_{máx}=\frac{v_0^2}{2g}\Rightarrow v_0=\sqrt{2gh_{máx}}$$
Sustituyendo el valor indicado en el enunciado para la altura máxima, se obtiene:
$$v_0=\sqrt{2\times\hspace{1mm}9.8\dfrac{m}{s^2}\times 20\hspace{1mm}m}=19.8\dfrac{m}{s}$$
b) Como el lanzamiento es a nivel, es decir, la pelota vuelve a su lugar de partida, el tiempo que durará en el aire, o tiempo de vuelo $latex t_{vuelo}$, es el doble del tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima $latex t_{máx}$:
$$t_{vuelo}=2\cdot t_{máx}=\frac{2v_0}{g}=\frac{2\times 19.8\dfrac{m}{s}}{9.8\dfrac{m}{s^2}}=4.04\hspace{1mm}s$$
EJERCICIO 3
Desde la azotea de una edificación, situada a 10 m del suelo, se proyectan verticalmente hacia arriba dos objetos, con un intervalo de tiempo de 2 s entre cada lanzamiento. La velocidad inicial del primer objeto es de 80 m/ y la del segundo objeto es de 100 m/s.
a) ¿Al cabo de cuánto tiempo estarán los objetos a la misma altura?
b) ¿Qué altura será esta?
c) ¿Cuál será la velocidad de cada objeto en ese instante?
Solución
a) Sean $latex y_1$ y $latex y_2$ las respectivas posiciones de cada objeto, y sean $latex t_1$ y $latex t_2$ sus respectivos tiempos. Llamando $latex t$ al tiempo del primer objeto, el tiempo del segundo estará retrasado 2 segundos, por lo tanto $latex t_2=t-2$.
Para que el encuentro ocurra, las posiciones y los tiempos de los objetos deben ser los mismos:
$$y_1=y_2\Rightarrow v_{01}t-\frac{1}{2}gt^2= v_{02}(t-2)-\frac{1}{2}g(t-2)^2$$
$$ 80t-4.9t^2= 100(t-2)-4.9(t-2)^2$$
Mediante un poco de álgebra, se obtiene la siguiente ecuación:
$$ 80t-4.9t^2= 100t-200-4.9t^2+19.6t-19.6$$
$$-20t-19.6t=-200-19.6$$
$$39.6t=219.2\Rightarrow t =\frac{219.6}{39.6}\hspace{1mm}s=5.5\hspace{1mm}s$$
b) Se puede hallar la altura mediante sustitución de este resultado en la ecuación de la posición de cualquiera de los objetos, por ejemplo:
$$y_1=80t-4.9t^2=(80\times 5.5-4.9\times 5.5^2)\hspace{1mm}m=291.8\hspace{1mm}m $$
c) La ecuación de la velocidad para cualquiera de los móviles es:
$$v(t)=v_0-gt$$
De manera que, para cada uno:
$$v_1=80\frac{m}{s}-\left(9.8\frac{m}{s^2}\times 5.5\hspace{1mm}s\right)=26.1\hspace{1mm}\frac{m}{s}$$
$$v_2=100\frac{m}{s}-\left(9.8\frac{m}{s^2}\times 5.5\hspace{1mm}s\right)=46.1\hspace{1mm}\frac{m}{s}$$
EJERCICIO 4
Un globo se encuentra a 80 m, ascendiendo con rapidez constante de 58 m/s, cuando de repente suelta un paquete con lastre.
a) ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo?
b) ¿Cuál es su altura máxima?
Solución
a) El paquete de lastre abandona el globo con la velocidad inicial que este lleva. Tomando el origen del sistema de coordenadas en el lugar donde el paquete es liberado, la ecuación de posición es:
$$y(t)=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$
Y sustituyendo la velocidad inicial que indica el enunciado, resulta:
$$y(t)=58t-4.9t^2$$
El suelo está en la posición $latex y=-80\hspace{1mm}m$, lo que conduce a la siguiente ecuación de segundo grado:
$$-80=58t-4.9t^2$$
Cuyas soluciones son:
$latex t_1=-1.25$
$latex t_2=13.1$
Únicamente la solución positiva tiene sentido, por lo tanto, el paquete dura en el aire un tiempo $latex t_{vuelo}=13.1\hspace{1mm}s$.
b) Ya que la velocidad inicial del paquete es ascendente, se toma como positiva. El paquete subirá una cierta altura antes descender.
La altura máxima respecto al lugar del lanzamiento es:
$$h_{máx}=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{\left(58\dfrac{m}{s}\right)^2}{2\times 9.8\dfrac{m}{s^2}}=171.6\hspace{1mm}m$$
Entonces, la altura máxima, medida respecto al suelo es:
$$H_{máx}=(171.6+80)\hspace{1mm}m=251.6 \hspace{1mm}m$$
EJERCICIO 5
Un cohete de prueba se lanza verticalmente con una velocidad inicial de 75,0 m/s y se aleja de la plataforma de lanzamiento con una aceleración de 5,50 m/s2. Después de un tiempo, el cohete agota su combustible y su motor se apaga a una altura de 1,20 km, después de lo cual queda librado a la acción de la gravedad.
a) ¿Cuánto tiempo permanece el cohete en el aire?
b) ¿Cuál es la altitud máxima alcanzada por el cohete?
c) ¿Cuál es la velocidad es la velocidad del cohete justo antes de chocar contra el suelo?
Solución
a) El movimiento es vertical y transcurre en dos etapas: la primera en la cual el cohete es propulsado por la aceleración proporcionada por su combustible y asciende $latex 1,20\hspace{1mm} km = 1200 \hspace{1mm}m$.
La segunda empieza cuando el combustible se acaba y el cohete queda bajo la acción de la gravedad.
En la primera etapa, la aceleración impulsa al cohete hacia arriba y se le asigna signo +, mientras que, en la segunda etapa, la aceleración es la de la gravedad, dirigida verticalmente hacia abajo y con signo −.
Primera etapa
La ecuación de posición en la primera etapa es:
$$ y=75t+\left(\frac{1}{2}\right)5.5t^2=75t+2.75t^2$$
Donde se ha tomado el origen del sistema de coordenadas en el punto de lanzamiento.
Resolviendo la ecuación en $latex t$ para $latex y=1200$, resulta:
$$2.75t^2+75t-1200=0$$
La solución positiva es:
$$t=11.3\hspace{1mm}s$$
Para ese momento, la velocidad del cohete es:
$$v=75+5.5t=(75+5.5\times 11.3)\hspace{1mm}\frac{m}{s}=137.15\hspace{1mm}\frac{m}{s} $$
Segunda etapa
La siguiente etapa del movimiento transcurre bajo la acción de la gravedad, e inicia con la velocidad que tenía al final de la primera etapa, la cual acaba de calcularse.
La nueva ecuación de posición será:
$$ y=1200+137.15t-4.9t^2$$
El tiempo necesario para volver a $latex y = 0$ se obtiene resolviendo la ecuación:
$$ 1200+137.15t-4.9t^2=0$$
Cuya solución es:
$$t=35.0\hspace{1mm}s$$
Por lo tanto, el cohete se mantuvo en el aire durante un tiempo $latex t_{total}$:
$$t_{total}=11.3\hspace{1mm}s+35.0\hspace{1mm}s=46.3\hspace{1mm}s$$
b) Durante la primera etapa del movimiento, se sabe que el cohete ascendió $latex h_1= 1200\hspace{1mm}m$. Falta calcular la altura que alcanza durante la segunda etapa, a la que llamaremos $latex h_2$:
$$h_2=h_{máx}=\frac{v_0^2}{2g}=\left(\frac{137.15^2}{2\times 9.8}\right)\hspace{1mm}{m}=964.6\hspace{1mm}{m}$$
Por lo tanto:
$$h_2=964.6\hspace{1mm}{m}$$
El cohete asciende hasta una altura total $latex H$ de:
$$H=1200\hspace{1mm}{m}+964.6\hspace{1mm}{m}=2164.6\hspace{1mm}{m}$$
c) La ecuación para la velocidad en la segunda etapa es:
$$v(t)=137.15-9.8t$$
Por lo tanto, la velocidad con que llega al suelo es:
$$v(t)=(137.15-9.8\times35.0)\hspace{1mm}\frac{m}{s}=-205.85\hspace{1mm}\frac{m}{s}$$
EJERCICIO 6
Desde la azotea de un edificio de 80 m se deja caer una pelota, y dos segundos más tarde, se lanza otra pelota idéntica desde el suelo, verticalmente hacia arriba, con velocidad inicial de 20 m/s. Calcular:
a) ¿En qué instante se cruzan?
b) ¿A qué altura ocurre el cruce?
Solución
a) El origen del sistema de coordenadas se puede elegir en la azotea, de manera que el suelo se encuentre en la posición $latex y_{suelo}=-80\hspace{1mm}m$.
Para la pelota 1, la ecuación de posición es:
$latex y_1=-4.9t^2$
Para la pelota 2, que sale con 2 segundos de retardo respecto a la pelota 1 y tiene velocidad inicial ascendente de $latex 20\frac{m}{s}$, la ecuación de posición es:
$latex y_2=-80+20(t-2)-4.9(t-2)^2$
Para que el cruce tenga lugar, las pelotas deben ocupar la misma posición vertical:
$$y_1=y_2\Rightarrow -4.9t^2=-80+20(t-2)-4.9(t-2)^2$$
Desarrollando el producto notable en el miembro de la derecha:
$$-4.9t^2=-80+20t-40-4.9(t^2-4t+4)\Rightarrow $$
$$-4.9t^2=-80+20t-40-4.9t^2+19.6t-19.6$$
Después de reducir términos semejantes:
$$39.6t=139.6\Rightarrow t=\frac{139.6}{39.6}\hspace{1mm}s=3.5\hspace{1mm}s$$
b) El lugar del cruce se puede encontrar sustituyendo este tiempo en cualquiera de las ecuaciones de posición, por ejemplo:
$$ y_1=(-4.9\times 3.5^2)\hspace{1mm}m=-60\hspace{1mm}m$$
Significa que, medido desde el suelo, la altura a la que ocurre el cruce es:
$$h_{cruce}=(80-60)\hspace{1mm}m=20\hspace{1mm}m$$
EJERCICIO 7
La mujer maravilla está sobre un puente, mientras un camión de plataforma se dirige hacia ella por la autopista que debajo, a una velocidad constante de 18 m/s. Cuando calcula que es oportuno, la mujer maravilla se lanza del puente y aterriza con gran precisión 10,0 m más abajo, justo sobre el techo del camión. Calcular a qué distancia del puente estaba el camión cuando ella se lanzó, en los siguientes casos:
a) Si se dejó caer.
b) Se impulsó verticalmente hacia abajo con velocidad inicial de 2 m/s.
Solución
Para resolver el ejercicio, es preciso tener en cuenta que hay dos objetos en movimiento. El primero es el camión, con movimiento rectilíneo uniforme en dirección horizontal, y el segundo es la mujer maravilla, cuyo movimiento es acelerado en dirección vertical.
Para que la mujer maravilla aterrice a salvo en la plataforma del camión, el tiempo que este tarda en recorrer la distancia $latex \Delta x$ que lo separa del puente, debe ser igual al tiempo que ella tarda en caer los 10 m de altura.
Dicho tiempo es el siguiente:
$$y=\frac{1}{2}gt^2\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2y}{g}}$$
$$t=\sqrt{\frac{2\times 10\hspace{1mm}m}{9.8\hspace{1mm}\dfrac{m}{s^2}}}=1.43\hspace{1mm}s$$
Durante este tiempo, el camión, que lleva movimiento rectilíneo uniforme, recorrerá esta distancia:
$$\Delta x=18\hspace{1mm}\dfrac{m}{s}\times1.43\hspace{1mm}s= 25.74\hspace{1mm}m$$
Y la respuesta es que el camión se encontraba a 25.74 metros de distancia del puente cuando la mujer maravilla se lanzó de él.
b) Si la mujer maravilla se impulsa hacia abajo con cierta velocidad inicial, el tiempo que tarda en caer los 10 metros es menor. En los cálculos que siguen, por comodidad se supone que la posición vertical hacia abajo es positiva:
$$y=v_0t+\frac{1}{2}gt^2$$
$$10=2t+4.9t^2$$
$$4.9t^2+2t-10=0$$
Cuya solución es:
$$t=1.24\hspace{1mm}s$$
En tal caso, el camion debe encontrarse a la siguiente distancia, también menor que en el caso anterior:
$$\Delta x=18\hspace{1mm}\dfrac{m}{s}\times1.24\hspace{1mm}s= 22.32\hspace{1mm}m$$
Ejercicios de tiro vertical para resolver
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Véase también
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