Ejercicios resueltos de MRUV (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado)

La aceleración es el cambio de la velocidad por unidad de tiempo. Como sabemos que se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado, entonces la aceleración se calcula tomando la diferencia entre la rapidez final menos la rapidez inicial y dividiendo entre el lapso de tiempo durante el cual ocurrió el movimiento:

$$a=\dfrac{V_f-V_i}{\Delta t}$$

La rapidez final del automóvil es $latex V_f=36 \dfrac{km}{h}$ que equivale a:

$$V_f=\dfrac{36}{3.6} \dfrac{m}{s}=10 \dfrac{m}{s}$$

Luego la aceleración del automóvil durante su movimiento fue:

$$a= \dfrac{(10 \frac{m}{s} – 0 \frac{m}{s})}{4 s}= \dfrac{10 \frac{m}{s}}{4 s} = 2.5 \dfrac{m}{s^2}$$

En un movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUV), la posición cambia con el tiempo de acuerdo a la siguiente ecuación cuadrática:

$$ x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

En nuestro caso tomamos la posición inicial del automóvil como $latex x_0=0$ y la velocidad inicial como $latex v_0=0$. La aceleración $latex a=2.5 \frac{m}{s^2}$. Entonces la distancia recorrida en los $latex 4s$ es:

$$x(4)=\frac{1}{2} 2.5 \cdot 4^2=20 m$$

La relación que hay entre la posición y el tiempo viene dada por:

$$ x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

Pero, en este ejercicio se tiene que $latex x_0=0  \; y \; v_0=0$ por lo que la fórmula se simplifica a:

$$ x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

También se sabe que en cierto tiempo $latex t$ la posición es $latex x(t)=d=10m$. Despejando el tiempo de la fórmula anterior se tiene:

$$ t=\sqrt{\dfrac{2d}{a}}$$

Luego, el tiempo empleado en recorrer los 10 primeros metros es: $$t=\sqrt{ \frac{2 \cdot 10}{2.5} }=2.828 s$$

También nos piden la velocidad del automóvil para el momento en que recorrió los primeros 10 metros. Para esto usamos la siguiente relación entre velocidad y tiempo:$$ v(t)=v_0+a \cdot t$$

Entonces la velocidad, para ese instante, es: $$ v(2.83)=0 + 2.5 \cdot 2.828=7.07 \frac{m}{s}$$

Tomamos como posición cero el semáforo y el instante cero justo el momento en que cambia la luz. En este caso, la posición del carro como función del tiempo viene dada por:

$$x_c(t)=V_c \cdot t$$

Mientras que la posición de la moto como función del tiempo es:

$$x_m(t)= \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

En el instante de encuentro, que lo llamaremos $latex t^*$, ambos vehículos tendrán la misma posición:

$$ x_c(t^*)=x_m(t^*)$$

Es decir, que para ese instante se cumple la siguiente igualdad:

$$V_c \cdot t^* = \frac{1}{2}a \cdot {t^*}^2 $$

De donde se deduce que:

$$ t^* = \dfrac{2 V_c}{a}$$

Colocando los valores numéricos correspondientes se obtiene:

a) $$ t^* = \dfrac{2 \cdot 14 \frac{m}{s}}{2.4 \frac{m}{s^2}}=11.667s$$

Como la moto va acelerando, su rapidez aumenta linealmente con el tiempo de acuerdo a:

$$ v_m(t)= a \cdot t$$

Para el instante en que la moto alcanza el carro, su velocidad será:

b) $$ v_m(t^*)= a \cdot t^*= 2.4 \frac{m}{s^2} \cdot 11.667s =28 \frac{m}{s} $$

Después de transcurridos $latex t^*=11.667s$, tanto la moto como el carro se encuentran a la misma distancia del semáforo, la cual está dada por:

c) $$ x_c(t^*)=V_c \cdot t^*= 14 \frac{m}{s} \cdot 11.667s = 163.34 m $$

Previo al cálculo de la aceleración, procedemos a convertir la velocidad de salida de la pelota a $latex \frac{m}{s}$:

$$250 \dfrac{km}{h}=250 \dfrac{10^3 m}{3600 s}= \dfrac{250}{3.6} \dfrac{m}{s}=69.44 \frac{m}{s}$$

Supondremos que la aceleración de la pelota fue constante, desde que hizo contacto con la raqueta hasta el instante justo en que se despega de la misma.

En este caso la aceleración se calcula tomando el cociente de la variación de la rapidez dividida entre el lapso de tiempo durante el cual ocurrió dicha variación:

$$a = \dfrac{\Delta V}{\Delta t}= \dfrac{69.44 \frac{m}{s}}{0.030 s}=2314.8 \frac{m}{s^2}$$

Esta es una aceleración enorme, si la comparamos con la aceleración de gravedad, que es la aceleración con la que cae un objeto que se suelta, la cual es $latex g=9.8 \frac{m}{s^2}$. La aceleración de la pelota fue 236 veces mayor que la aceleración de la gravedad:

$$a=236g$$

Es una aceleración enorme, teniendo en cuenta que los pilotos de combate pierden momentáneamente el sentido cuando se someten a aceleraciones de entre $latex 3g$ y $latex 4g$. A los $latex 35g$ las costillas se fracturan.

En primer lugar, convertimos de km/h a m/s:

$$100 \frac{km}{h}=\dfrac{100}{3.6} \frac{m}{s}=27.77 \frac{m}{s}$$

Luego la aceleración se calcula así:

$$a = \dfrac{\Delta V}{\Delta t}= \dfrac{27.77 \frac{m}{s}}{2.8 s}=9.92 \frac{m}{s^2}$$

Comparada con la aceleración de gravedad, la cual es $latex 9.8 \frac{m}{s^2}$, la aceleración del F1 es apenas una centésima mayor:

$$a= 1.01g$$

En los primeros 2.8 segundos el F1 recorre una distancia dada por:

$$d= 0.5 \cdot a \cdot t^2= 0.5 \cdot 9.92 \frac{m}{s^2} \cdot (2.8 s)^2 = 39 m $$

El ciclista comienza su movimiento con una rapidez de 3 m/s, la cual mantiene durante 3 s. Luego, comienza a frenar y en 2 segundos pasa de tener una rapidez de 3 m/s a rapidez 0 m/s.

La distancia recorrida en los primeros 3 s es el área bajo el rectángulo: $latex d_1 = v \cdot t = 3 m/s \cdot 3 s = 9m$.

En los próximos 2 segundos, la distancia recorrida es el área bajo el triángulo: $latex d_2 = ( 3 m/s \cdot  2 s)/2 = 3m$.

La distancia total recorrida, desde que se inicia el movimiento hasta que se detiene, es: $latex d= d_1+ d_2= 12m$.

Entre los 3s y 5s la rapidez del ciclista disminuye en forma uniforme, a razón de 3 m/s en 2 s. Esto significa que su aceleración es:

$$ a=\dfrac{V_f-V_i}{t_f-t_i}=\dfrac{0 m/s – 3 m/s}{5 s – 3 s}= \dfrac{-3 m/s}{2 s}= -1.5 \frac{m}{s^2}$$

El signo negativo nos indica que la aceleración va en dirección contraria a la velocidad (la cual se ha tomado como la dirección positiva). Por lo tanto, entre 3s y 5 s el ciclista disminuye su rapidez a razón de 1.5 m/s en cada segundo.

Para construir el gráfico necesitamos saber en cuanto tiempo se alcanzan los 20 m/s. Para lo cual usaremos la siguiente expresión:

$$V(t)=V_0 + a \cdot t$$

Sabemos que $latex V(t)=20 m/s$, la rapidez inicial $latex V_0=0$ y que la aceleración es $latex a=2 m/s^2$. Por lo tanto, debemos despejar el tiempo $latex t$ desconocido:

$$t= \dfrac{V(t)}{a}=\dfrac{20 m/s}{2 m/s^2}= 10 s$$

El auto mantiene la velocidad alcanzada por 2 segundos más. A partir de allí comienza a frenar con aceleración $latex a=-1 m/s^2$, esto le tomará un lapso de tiempo $latex \Delta t$ dado por:

$$ \Delta t= \dfrac{0 m/s – 20 m/s}{-1 m/s^2}= 20 s$$

Con estos datos podemos construir el gráfico de velocidad – tiempo:

El carro se estuvo moviendo durante 32 s.

La distancia total recorrida es el área bajo el gráfico v-t, la cual se puede calcular en tres tramos de la siguiente manera:

$$ d_1= \dfrac{ 20 m/s \cdot 10 s}{2}=100 m$$

$$ d_2= 20 m/s \cdot 2 s = 40 m$$

$$ d_3= \dfrac{20 m/s \cdot 20 s}{2}=200m$$

La distancia total recorrida por el auto eléctrico fue:

$$ d= d_1+d_2+d_3= 100m + 40m + 200m = 340 m$$

La ecuación que da la posición del automóvil como función del tiempo es:

$$x_a(t)= \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{m}{s^2} \cdot t^2$$

y la posición del camión en un instante t cualquiera es:

$$x_c(t)= 10 \frac{m}{s} \cdot t$$

Si denominamos $latex t_e$ al instante del encuentro, entonces se cumple que para ese instante las posiciones del auto y del camión son iguales:

$$x_a(t_e)=x_c(t_e) \Rightarrow {t_e}^2=10 t_e$$

Las soluciones de esta ecuación son: $latex t_e=0$ y $latex t_e=10s$. La primera es cuando el camión rebaso al auto en el semáforo y la segunda es cuando el auto alcanza al camión, que es la solución que nos interesa.

Es decir, el auto alcanza al camión a los $latex 10s$ a una distancia de $$ x_a(10s)=10^2 m= 100m$$ Para ese instante, el automóvil tiene una velocidad dada por:

$$V_a(t_e) = 2 \frac{m}{s^2} \cdot 10 s = 20 \frac{m}{s}$$

En primer lugar, nos dicen que el objeto sigue MRUV, es decir que se mueve con aceleración constante $latex a$. Además consideramos intervalos de tiempo fijo de $latex \Delta t=2s$. En en el primer lapso de tiempo el objeto se desplaza $latex \Delta x_1=55m$, en el segundo lapso (también de 2s) el objeto se desplaza $latex \Delta x_2=77m$.

La relación entre estas cantidades es la siguiente:

$$ \Delta x_1=V_{01} \cdot \Delta t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\Delta t}^2 \; ; \; (ec.1)$$

$$ \Delta x_2=V_{02} \cdot \Delta t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\Delta t}^2 \; ; \; (ec.2)$$

Donde $latex V_{01}$ es la velocidad inicial en el primer tramo, mientras que $latex V_{02}$ es la velocidad inicial en el segundo tramo. Sin embargo, la velocidad inicial del segundo tramo es la velocidad final del primer tramo, lo que nos conduce a escribir la siguiente relación:

$$ V_{02} = V_{01} + a \cdot \Delta t \; ; \; (ec.3)$$

Sustituyendo la expresión anterior, en la ecuación que da el desplazamiento del segundo tramo, nos queda después de operar y simplificar:

$$ \Delta x_2=V_{01} \cdot \Delta t + \frac{3}{2} \cdot a \cdot {\Delta t}^2 \; ; \; (ec.4)$$

Restando (ec.4) menos (ec.1) nos queda:

$$ 22= a \cdot {\Delta t}^2=a \cdot 2^2 \; \Rightarrow \; a=\frac{11}{2} $$

Luego usando (ec.1) podemos obtener $latex V_{01}$:

$$ 55=V_{01} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2} \cdot 2^2 \; \Rightarrow \; V_{01}=22 $$

Ahora estamos listos para calcular, que distancia recorre el extraño objeto en el tercer lapso de 2 segundos. Lo haremos calculando el desplazamiento total que tuvo el objeto en $latex 3 \cdot \Delta t = 6 s$:

$$ \Delta x(6s)= V_{01} \cdot 6s + \frac{1}{2} \cdot a \cdot {6s}^2= 22 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2} \cdot 6^2=231m$$

Entonces en el tercer lapso de 2 segundos recorrió una distancia de $latex 231 -(55+77) = 99m$.

En resumen, sobre el objeto no identificado descubrimos que su aceleración es $latex \frac{11}{2} \frac{m}{s^2}$, que su movimiento comienza con una velocidad de $latex 22 \frac{m}{s}$ y que en cada lapso de 2 segundos se desplaza siguiendo la siguiente secuencia:

$$ 55m; \; 77m; \; 99m$$