Ejercicios de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

Puesto que el avión vuela directamente en línea recta desde A hasta B, y mantiene su velocidad constante, la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme es aplicable en este caso:

$$ x(t)=x_0 + v\cdot t$$

La posición inicial es $latex x_0 =0$, la velocidad del avión es $latex v=830\hspace{1 mm}\frac{km}{h}$ y el tiempo es $latex t=210\hspace{1mm} minutos$. Antes de sustituir los valores en la fórmula, es necesario expresar el tiempo en horas, ya que se pide la distancia que separa a las ciudades en kilómetros. Por lo tanto:

$$210\hspace {1 mm}minutos=210\times \frac{1\hspace{1mm} hora}{60\hspace{1 mm} minutos}=3.5\hspace{1 mm}horas$$

Entonces:

$$ x(t)=v\cdot t$$

$$ x(3.5)=830\hspace{1 mm}\frac{km}{h}\times 3.5\hspace{1 mm}h=2905\hspace{1mm}km$$

Las ciudades A y B distan entre sí $latex 2905\hspace{1mm}km$.

Supondremos, por simplicidad, que el movimiento de los continentes es rectilíneo uniforme. De su ecuación:

$$ x(t)=x_0 + v\cdot t$$

Interesa conocer:

$$\Delta x = x-x_0$$

Cuyo valor, según el enunciado, es:

$$\Delta x = x-x_0=500\hspace{1mm}km$$

$$\Delta x = v\cdot t$$

Despejando el tiempo $latex t$, resulta:

$$t=\frac{\Delta x}{v}$$

Antes de sustituir, es necesario verificar que las unidades sean homogéneas. Los kilómetros pueden expresarse en centímetros, o los centímetros en kilómetros, mediante notación científica.

En cualquier caso, el tiempo quedará en años:

$$t=\frac{\Delta x}{v}=\frac{5\times 10^7\hspace{1mm}cm}{3\hspace{1mm}\dfrac{cm}{año}}=1.7\times 10^7\hspace{1mm}años$$

Un millón de años es $latex 1\times 10^6\hspace{1mm}años$, así que los continentes se habrán separado 500 km al cabo de unos 17 millones de años.

Partiendo de la ecuación:

$$ x(t)=x_0 + v\cdot t$$

Se toman los valores $latex x_0= 4\hspace{1mm}m$, $latex v = -10\hspace{1mm}m/s$ y $latex t= 5\hspace{1mm} s$ y se sustituyen estos valores para obtener la ecuación para la posición.

El signo negativo en la velocidad se debe a que el objeto se mueve en sentido negativo, de acuerdo al enunciado:

$$ x(t)=4 -10\cdot t$$

Al cabo de t=5 s, el móvil estará en:

$$ x(5)=4\hspace{1mm}m – \left(10\hspace{1mm}\frac{m}{s}\times5\hspace{1mm} s\right)=-46\hspace{1mm}m$$

Por lo tanto, al cabo de t=5 s, el objeto estará en:

$$ x(5)=-46\hspace{1mm}m$$

Partiendo de la ecuación para el movimiento rectilíneo uniforme, se despeja el tiempo:

$$ x(t)=v\cdot t\Rightarrow t=\frac{x}{v}$$

Antes de sustituir los valores numéricos del enunciado, es necesario asegurarse de que las unidades coincidan, de manera que se puede utilizar la velocidad de la luz como $latex c=300.000\hspace{1 mm}km/$, de manera que el tiempo calculado esté en segundos:

$$ t=\frac{x}{v}=\frac{150000000\hspace{1 mm}km}{300000\hspace{1mm}\dfrac{km}{s}}=500 \hspace{1mm}s=8.33\hspace{1 mm} minutos$$

La luz que vemos del Sol tardó aproximadamente 8 minutos en llegar a la Tierra.

a) De acuerdo a la información del enunciado, la posición inicial de la partícula es $latex x_0=4\hspace{1mm}m$, y dado que conocemos su rapidez, al sustituir valores en la ecuación de movimiento, resulta:

$$x(t)=4+8t$$

b) Para calcular el tiempo solicitado, se sustituye $latex x(t)=12\hspace{1mm}m$ y se despeja el tiempo:

$$t=\dfrac{12\hspace{1mm}m-4\hspace{1mm}m}{8\hspace{1mm}m/s}=1\hspace{1mm}s$$

c) Al cabo de 5 segundos, la partícula se encontrará en la posición $latex x(5)$, dada por:

$$x(5)=4\hspace{1mm}m+\left(8\hspace{1mm}\frac{m}{s}\times 5\hspace{1mm}s\right)=44\hspace{1mm}m$$

d) El desplazamiento en $latex t=5\hspace{1mm}s$ es:

$$\Delta x= x_{final} -x_{inicial} =44\hspace{1mm}m- 4\hspace{1mm}m=40\hspace{1mm}m$$

a) El primer paso es llevar a cabo la conversión de minutos a horas:

$$120\hspace{1 mm}minutos=2\hspace{1 mm}horas$$

Como el punto de partida es el mismo, se toma $latex x_0=0$ para los dos móviles.

Llamaremos móvil 1 al más lento y móvil 2 al más rápido. En ese caso, el móvil 2 adelanta al móvil 1:

$$x_1=75\frac{km}{h}\times2\hspace{1 mm}horas=150\hspace{1 mm}km$$

$$x_2=90\frac{km}{h}\times2\hspace{1 mm}horas=180\hspace{1 mm}km$$

Por lo tanto, al cabo de $latex t=2\hspace{1mm} horas$, los móviles están separados una distancia de:

$$ (180 – 150) \hspace{1 mm}km=30 \hspace{1 mm}km$$

b) En este caso, para distinguir los sentidos en que se mueven los automóviles, basta con adjudicarle a uno de ellos una velocidad negativa. Por ejemplo, se puede hacer que $latex v_2=-90\hspace{1mm}\frac{km}{h}$. De esta manera:

$$x_1=75\frac{km}{h}\times2\hspace{1 mm}horas=150\hspace{1 mm}km$$

$$x_2=-90\frac{km}{h}\times2\hspace{1 mm}horas=-180\hspace{1 mm}km$$

Al cabo de $latex t=2\hspace{1mm} horas$, los móviles, que se han estado alejando el uno del otro desde el comienzo, estarán separados una distancia de:

$$ [150-(-180)] \hspace{1 mm}km=330 \hspace{1 mm}km$$

a) El móvil se encuentra inicialmente a 125 m del origen:

$$x_0=125\hspace{1mm}m$$

b) El móvil se encuentra detenido en los siguientes intervalos de tiempo:

• Desde $latex t=0$ hasta $latex t = 2\hspace{1 mm} s$
• Desde Desde $latex t=4$ hasta $latex t = 6\hspace{1 mm} s$
• Desde $latex t=7$ hasta $latex t = 2\hspace{1 mm} s$

c) El móvil tiene velocidad negativa en el intervalo:

• Entre $latex t=6$ hasta $latex t = 7\hspace{1 mm} s$

d) El móvil tiene velocidad positiva en el intervalo:

• Entre $latex t=2$ hasta $latex t = 4\hspace{1 mm} s$
• Entre $latex t=8$ hasta $latex t = 10\hspace{1 mm} s$

e) La distancia total se calcula sumando las distancias que el móvil recorre en el correspondiente intervalo de tiempo:

• De $latex t=0$ a $latex t = 2\hspace{1 mm} s$ está detenido, por lo tanto, $latex \Delta x_1=0\hspace{1mm}m$
• De $latex t=2$ a $latex t = 4\hspace{1 mm} s$ recorre $latex \Delta x_2=225-125\hspace{1mm}m=100\hspace{1 mm}m$
• De $latex t=4$ a $latex t = 6\hspace{1 mm} s$ está detenido, por lo tanto, $latex \Delta x_3=0\hspace{1mm}m$
• De $latex t=6$ a $latex t = 7\hspace{1 mm} s$ el móvil regresa al origen, $latex \Delta x_4=225\hspace{1mm}m$
• De $latex t=7$ a $latex t = 8\hspace{1 mm} s$ está detenido, por lo tanto, $latex \Delta x_5=0\hspace{1mm}m$
• De $latex t=8$ a $latex t = 10\hspace{1 mm} s$ el móvil recorre $latex \Delta x_6=37.5\hspace{1mm}m$

$$Distancia\hspace{1mm} total = 100\hspace{1 mm}m+225\hspace{1mm}m+37.5\hspace{1mm}m=362.5\hspace{1mm}m$$

f) El movimiento consta de seis tramos diferentes, en los tramos 1, 3 y 5 está detenido, en los tramos 2 y 6 tiene velocidad positiva y en el tramo 4 tiene velocidad negativa. La velocidad equivale a la pendiente de la recta en cada tramo:

• $latex v_1=0\hspace{1mm}m/s$
• $latex v_2=\dfrac{225m-125m}{4s-2s}=+50\hspace{1mm}m/s$
• $latex v_3=0\hspace{1mm}m/s$
• $latex v_4=\dfrac{225m-0m}{6s-7s}=-225\hspace{1mm}m/s$
• $latex v_5=0\hspace{1mm}m/s$
• $latex v_6=\dfrac{37.5m-0m}{10s-8s}=+18.75\hspace{1mm}m/s$

g) La rapidez media es el cociente entre la distancia total recorrida y el tiempo que dura el movimiento:

$$v_m=\dfrac{362.5\hspace{1mm}m}{10\hspace{1mm}s}=36.25\hspace{1mm}m/s$$

a) Sea el instante inicial $latex t_0 =0$. Para ese momento, se le asigna al móvil 1 la posición $latex x_1=0$ y al móvil 2 la posición $latex x_2 =150\hspace{1mm}m$. Sus velocidades respectivas son: $latex v_1=+6\hspace{1mm}m/s$ y $latex v_2=-9\hspace{1mm}m/s$, por la tanto:

$$x_1(t)=6t$$

$$x_2(t)=150-9t$$

Con el fin de determinar el tiempo de encuentro, se igualan las respectivas ecuaciones:

$$6t=150-9t$$

$$15t=150$$

$$t=10\hspace{1mm}s$$

Los móviles se cruzan al cabo de $latex t = 10\hspace{1mm}s$.

b) Después de 15 segundos del instante inicial, han pasado 5 segundos después que se cruzaron. En ese lapso, el móvil 1 recorrió la siguiente distancia.

$$x_1 = 6t=6 \hspace{1 mm}\frac{m}{s}\times 5\hspace{1mm} s=30 \hspace{1mm}m$$

Y el móvil recorrió esta otra distancia:

$$x_2=6t=9 \hspace{1 mm}\frac{m}{s}\times 5\hspace{1mm} s=45\hspace{1mm}m$$

Recuérdese que la distancia siempre es positiva, solo que los móviles se mueven en sentidos contrarios, por lo tanto, la distancia que los separa a los 15 segundos de haberse cruzado es:

$$30\hspace{1mm}m+45\hspace{1mm}m =75 \hspace{1mm}m$$

Supóngase que el auto rojo viaja a 12 km/h y el auto verde lo hace a 18 km/h, como se mueven perpendicularmente, sus trayectorias rectilíneas forman los lados de un triángulo rectángulo, mientras que la distancia que los separa es la hipotenusa.

Del teorema de Pitágoras:

$$ (18t)^2+(12t)^2 = 900^2 \rightarrow 324t^2+144t^2=810000$$

$$468t^2=810000$$

$$t=\sqrt{\dfrac{810000}{468}}\hspace{1mm}s=41.6\hspace{1mm} s$$

Después de transcurrir 41.6 s después del cruce, los automóviles estarán separados una distancia de 900 m.

a) La función de posición de la partícula es una función por partes, con tres tramos.

Tramo 1

Posición inicial: $latex x_0=-8\hspace{1mm}m$

Duración: inicia en $latex t=0$ y finaliza en $latex t=10\hspace{1mm}s$

Velocidad: $latex + 2m/s$

Ecuación: $latex x(t)=-8+2t$

Posición final: $latex x(10)=-8+2\times 10\hspace{1mm} m= 12 \hspace{1mm} m$.

Tramo 2

Posición inicial: $latex x(10)=12\hspace{1mm}m$

Duración: inicia en $latex t=10\hspace{1mm}s$ y finaliza en $latex t=16\hspace{1mm}s$

Velocidad: nula

Ecuación: $latex x(t)= 12\hspace{1mm}m$ (La partícula permaneció en reposo en esta posición)

Posición final: $latex x(16)=12\hspace{1mm}m$.

Tramo 3

Posición inicial: $latex x(16)=12\hspace{1mm}m$

Duración: inicia en $latex t=16\hspace{1mm}s$ y finaliza en $latex t=25\hspace{1mm}s$

Velocidad: $latex v=-5\hspace{1mm}m/s$

Ecuación: $latex x(t)=12-5(t-16)$ (El tiempo se cuenta desde t=0 y este tramo empezó 16 segundos después de que diera inicio el movimiento, por eso hay que restar 16 a la variable).

Posición final: $latex x(25)=12-5\times (25-16)\hspace{1mm}=-33\hspace{1mm}m$

Reuniendo las tres expresiones, queda:

$$x(t) = \left\{\begin{array}{rl}  -8+2t & \text{si } 0 \leq t\leq10\\   12 & \text{si } 10 \leq t\leq16\\ 12-5(t-16) & \text{si } 16\leq t\leq25\end{array} \right. $$

b) Gráfica de la posición en función del tiempo:

c) En $latex t=18\hspace{1mm}s$ la partícula se encuentra en $latex x=2\hspace{1mm}m$.

d) Al final del movimiento, la partícula quedó en la posición $latex x=-33\hspace{1mm}m$.

e) Gráfica de la velocidad en función del tiempo:

f) La distancia recorrida durante los primeros 20 segundos equivale numéricamente al área comprendida entre la gráfica y el eje horizontal.

Como son rectángulos, dicha área se calcula multiplicando base por altura:

$$d_{20}= |10\hspace{1mm}\times2\hspace{1mm}m/s|+|{4\hspace{1mm}\times(-5\hspace{1mm}m/s)}|=40\hspace{1mm}m$$

Nótese que el área siempre es una cantidad positiva.

g) La distancia total recorrida por el móvil equivale numéricamente al área resaltada en color de la figura.

Puede usarse el resultado del ítem anterior y sumar el área faltante, que es la del rectángulo cuya base va de 20 s a 25 s:

$$d_{25}=40\hspace{1mm}m +|{5\hspace{1mm}s\hspace{1mm}\times(-5\hspace{1mm}m/s)}|=65\hspace{1mm}m$$.

h) La rapidez media del viaje se calcula dividiendo la distancia total recorrida entre el tiempo empleado:

$$v_m=\dfrac{65\hspace{1mm}m}{10\hspace{1mm}s}=6.5\hspace{1mm}m/s$$