Ejercicios Resueltos de Caída Libre en Física

La caída libre es un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, es decir, un movimiento con aceleración constante, donde la aceleración proviene de la atracción gravitacional de la Tierra. La coordenada vertical $latex y$ cambia con el tiempo $latex t$ a medida que el cuerpo va descendiendo, por eso se dice que la posición vertical es una función del tiempo dada por la siguiente expresión:

$$ y(t)= h + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (-g) \cdot t^2 $$

En la expresión anterior, $latex h$ representa la altura inicial, $latex v_0$ la rapidez inicial que en para el caso de un objeto que es soltado es nula ($latex v_0=0$). $latex g$ es la magnitud de la aceleración de gravedad, se ha colocado un signo menos porque esa aceleración siempre apunta hacia abajo, y como el eje Y tiene orientación positiva hacia arriba, entonces hacia abajo es negativo. La posición de la bola a un tiempo cualquiera $latex t$ viene dada por $latex y(t)$ y se mide desde el suelo hacia arriba hasta la posición actual de la bola.

Supongamos que la bola llega al suelo en el instante $latex t_s$, entonces para ese instante se cumple que $latex y(t_s)=0$:

$$ 0= h – \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_s}^2 $$

Despejamos la aceleración de gravedad $latex g$:

$$g=\dfrac{2 \cdot h}{{t_s}^2}$$

Colocamos los datos conocidos para determinar el valor numérico de $latex g$:

$$g=\dfrac{2 \cdot 55.86 m}{{3.3764s}^2}=9.80 \frac{m}{s^2}$$

Teniendo en cuenta que $latex 1m = 3,28084 pies$, la aceleración de gravedad expresada en pies sobre segundos al cuadrado es:

$$ g= 9.80 \frac{m}{s^2} = 9.80 \frac{3,28084 pies}{s^2}=32.15 \frac{pies}{s^2}$$

Elegimos un sistema de coordenadas con el origen a ras del piso y dirección del eje Y positiva hacia arriba, en este caso la posición de la pelota como función del tiempo viene dada por:

$$ y(t)= h + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (-g) \cdot t^2 $$

En el instante $latex t_s$ la pelota llega al suelo. Colocando los datos conocidos nos queda:

$$ 0= 55.86 + 10 \cdot t_s – \frac{1}{2} \cdot 9.80 \cdot {t_s}^2 $$

Notamos que el tiempo $latex t_s$ cumple una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:

$$t_s= \dfrac{-10 \pm \sqrt{10^2 – 4 \cdot (-9.80/2) \cdot 55.86}}{2 \cdot (-9.80/2)}$$

$$ t_s= \dfrac{-10 \pm \sqrt{100 +1094.86}}{ -9.80} $$

Esta ecuación tiene dos soluciones, pero solo nos interesa la solución positiva (la que tiene signo negativo delante de la raíz), la cual es después de efectuadas las operaciones:

$$ t_s=4.55 s$$

La velocidad de la pelota, justo antes de tocar suelo, está dada por:

$$ v(t_s)=v_0-g \cdot t_s= 10 -9.80 \cdot 4.55= -34.59 \frac{m}{s}$$

Donde el signo negativo en el resultado de la velocidad nos indica que la velocidad de la pelota justo antes de tocar piso apunta hacia abajo.

Se elige el eje Y con origen sobre la superficie del río y con dirección vertical hacia arriba. Las expresiones que dan la coordenada Y de cada una de las piedras son:

$$ y_1(t) = h -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$$

$$y_2(t)= h \; – \; v_0 \cdot (t-t_o) -\frac{1}{2} \cdot g \cdot (t-t_o)^2$$

Sabemos que cuando las piedras llegan a la superficie del agua del río su coordenada Y vale cero. Colocando apropiadamente los datos conocidos tenemos, para el instante $latex t_s$ de llegada a la superficie del agua, las siguientes relaciones para cada una de las piedras:

$$ 0 = 40 -\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t_s^2$$

$$0= 40 \; – \; v_0 \cdot (t_s-1) -\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (t_s-1)^2$$

De la primera de las ecuaciones obtenemos el tiempo de llegada $latex t_s$:

$$ t_s= \sqrt{8} s=2.83 s$$

Luego sustituimos este resultado en la segunda expresión y despejamos la velocidad $latex v_0$:

$$0= 40 \; – \; v_0 \cdot (1.83) -\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (1.83)^2 \; \Rightarrow \; 23.26 \; – \; v_0 \cdot 1.83=0 $$

De donde se obtiene el valor de velocidad con el que fue lanzada la segunda piedra:

$$ v_0=12.71 \frac{m}{s} $$

En primer lugar determinaremos la altura y la velocidad del cohete 40 segundos después que fue disparado. Para esto usaremos un sistema de coordenadas con el eje Y apuntando hacia arriba y con origen en el piso.

Entonces, si el tiempo t está comprendido entre 0s y 40s la posición del cohete está dada por:

$$ y(t)= \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$$

de donde se deduce que la altura alcanzada a los 40s de vuelo fue:

$$ y(40s)= \frac{1}{2} \cdot 0.2 \cdot 40^2=160m$$

Alcanzando una velocidad de:

$$ v(40s) = 0.2 \frac{m}{s^2} \cdot 40 s= 8 \frac{m}{s}$$

A partir de los 40 segundos todo el movimiento subsiguiente ocurre a la aceleración de gravedad, la cual aproximaremos a $latex 10 \frac{m}{s^2}$.

La altura máxima ocurrirá cuando la velocidad se anule por un instante y llamaremos a ese instante $latex \tilde{t}$:

$$ v(\tilde{t})= 8 \frac{m}{s} – 10 \frac{m}{s^2} \cdot (\tilde{t}-40s)^2 = 0 \; \Rightarrow \tilde{t}=40.89s$$

La altura máxima alcanzada será:

$$h_{max}=160m + 8 \frac{m}{s} \cdot 0.89s- \frac{1}{2} \cdot 10 \frac{m}{s^2} \cdot (0.89s)^2$$

$$ h_{max}=160.16 m$$

El tiempo que le toma descender desde la máxima altura es: $latex t_{des}=\sqrt{\dfrac{2 \cdot 160.16}{10}}=5.66s$

Luego el tiempo total de vuelo fue: $latex t_v=40.89s + 5.66s=46.55s$

Utilizando las fórmulas de la caída libre, podemos calcular la velocidad final ($latex v_f$) y el tiempo ($latex t$) de la siguiente manera:

• $latex v_f = \sqrt{2 * g * h}$
• $latex t =\sqrt{2 * h / g}$
• Sustituyendo los valores, obtenemos:
  • $latex v_f = \sqrt{2 * 9.8 * 20} ≈ 19.8 m/s$
  • $latex t = \sqrt{2 * 20 / 9.8} ≈ 2.02 s$

.

Utilizando la fórmula de la caída libre, podemos calcular la altura (h) de la terraza de la siguiente manera:

• $latex h = 0.5 * g * t^2$
• Sustituyendo los valores, obtenemos:
  • $latex h = 0.5 * 9.8 * 6^2 ≈ 176.4 metros$

.

Utilizando la fórmula de la caída libre, podemos calcular el tiempo (t) que tarda la pelota en alcanzar su altura máxima de la siguiente manera:

• $latex v_f = v_i – g \cdot t$
• Cuando la pelota alcanza su altura máxima, su velocidad final $latex v_f$ es igual a 0. Sustituyendo los valores, obtenemos:
  • $latex 0 = 15 \; – 9.8 \cdot t$
  • $latex t = 15 / 9.8 ≈ 1.53 s$

.

Utilizando la fórmula de la caída libre, que relaciona velocidad final, velocidad inicial y altura, podemos calcular la altura máxima (h) que alcanza la pelota de la siguiente manera:

• $latex {v_f}^2 = {v_i}^2 – 2 \cdot g \cdot h$
• Cuando la pelota alcanza su altura máxima, su velocidad final ($latex v_f$) es igual a 0. Sustituyendo los valores, obtenemos:
  • $latex 0 = 20^2 – 2 * 9.8 * h$
  • $latex h = 20^2 / (2 * 9.8) ≈ 20.41 metros$

.

Usaremos la expresión que da la posición vertical como función del tiempo para un movimiento con aceleración constante igual a la aceleración de gravedad. Elegiremos el eje Y apuntando hacia arriba y con origen en el suelo:

$$y(t)=y_0+v_0 \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2 $$

Si denotamos por $latex \tilde t$ al instante en que la pelota llega al suelo ($latex y(\tilde t)=0$), nos queda:

$$0=10+25 \cdot \tilde t – \frac{1}{2} 10 \cdot {\tilde t}^2 $$

Esta es una ecuación cuadrática que tiene dos soluciones: i) $latex \tilde t=-0.372s$ y ii) $latex \tilde t=+5,372s$. La primera corresponde a un tiempo anterior a que se lanzara la pelota, por lo tanto no tiene sentido físico. En cambio, la segunda solución se corresponde con el instante que la pelota llega al suelo: $latex \tilde t=5,372s$

Elegimos un sistema de coordenadas con el eje Y vertical hacia arriba y origen en el fondo (base) del acantilado. De esta manera, la posición de la piedra como función del tiempo, medido a partir del instante que se soltó, queda dada por:

$$y(t)=y_0-\frac{1}{2}g \cdot t^2$$

Si llamamos $latex t^*$ al instante que la piedra llega al suelo, y tomando en cuenta que para ese instante la posición (altura) de la piedra es cero se tiene:

$$y(t^*)=0=y_0-\frac{1}{2}g \cdot {t^*}^2$$

La ecuación anterior tiene dos incógnitas, las cuales son el tiempo $latex t^*$ y la altura del acantilado $latex y_0$.

Por otra parte, se sabe que el tiempo $latex t_s$ que tarda el sonido en ir desde el fondo hasta la cima del acantilado es:

$$ t_s= \dfrac{y_0}{V_s}$$

También se sabe que el tiempo transcurrido desde que se soltó la piedra hasta que se escucho el sonido del impacto es:

$$T=t^*+t_s=3s \; \Rightarrow \; {t^*}^2=(T-t_s)^2$$

Combinando estas ecuaciones nos queda:

$$\dfrac{2y_0}{g}=(T-\dfrac{y_0}{V_s})^2$$

Desarrollando el cuadrado y simplificando, nos queda la siguiente ecuación cuadrática en la variable $latex y_0$, que es justamente la altura del acantilado:

$$\frac{1}{{V_s}^2}{y_0}^2-(\frac{2}{g}+\frac{2T}{V_s})y_0+T^2=0$$

Sustituyendo los datos conocidos nos queda:

$$8.65 \cdot 10^{-6}{y_0}^2 – 0.2217 y_0 +9 =0$$

Resolviendo la ecuación cuadrática se tiene que la altura del acantilado es:

$$y_0=40.66m$$