Los sistemas de ecuaciones son ecuaciones simultáneas que comparten las mismas soluciones. Podemos resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas usando el método de sustitución. Este método consiste en despejar una de las variables en una de las ecuaciones. Luego, tenemos que sustituir esa expresión en la segunda ecuación para formar una sola ecuación con una incógnita.
A continuación, conoceremos cómo resolver sistemas de ecuaciones usando el método de sustitución. Resolveremos varios ejercicios para entender el proceso usado.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a resolver sistemas de ecuaciones con el método de sustitución.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a resolver sistemas de ecuaciones con el método de sustitución.
Pasos para resolver sistemas de ecuaciones por sustitución
El método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones consiste en resolver una de las ecuaciones para una de las variables. Luego, sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación y obtendremos una ecuación con una sola variable, la cual puede ser resuelta fácilmente.
Detalladamente, podemos seguir los siguientes pasos para resolver sistemas de ecuaciones por sustitución:
1. Simplificar ambas ecuaciones si es que es posible.
Esto incluye remover paréntesis, combinar términos semejantes y eliminar fracciones.
2. Resolver una ecuación para una variable.
Podemos escoger cualquiera de las ecuaciones y resolver para cualquiera de las variables.
3. Sustituir la expresión obtenida en el paso 2 en la otra ecuación.
Al realizar esto, obtendremos una ecuación con una sola incógnita.
4. Resolver la ecuación del paso 3.
Al realizar esto, obtendremos el valor de una de las variables. Si necesitas hacer una revisión, puedes mirar nuestro artículo sobre cómo resolver ecuaciones con una incógnita.
5. Encontrar el valor de la otra variable.
Sustituimos el valor de la variable obtenido en el paso 4 en cualquiera de las dos ecuaciones y resolvemos.
Sistemas de ecuaciones por sustitución – Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1
Encuentra las soluciones al sistema de ecuaciones usando el método de sustitución: $latex \begin{cases}x+2y=10 \\ 2x-y=5 \end{cases}$
Solución
Paso 1: Las ecuaciones ya están simplificadas.
Paso 2: Resolviendo la primera ecuación para x, tenemos:
$latex x+2y=10$
$latex x=10-2y$
Paso 3: Sustituyendo a $latex x=10-2y$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 2x-y=5$
$latex 2(10-2y)-y=5$
$latex 20-4y-y=5$
Paso 4: Resolviendo para y, tenemos:
$latex 20-4y-y=5$
$latex -5y=-15$
$latex y=3$
Paso 5: Sustituyendo el valor $latex y=3$ en la primera ecuación, tenemos:
$latex x+2y=10$
$latex x+2(3)=10$
$latex x=4$
La solución al sistema es $latex x=4,~~y=3$.
EJERCICIO 2
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución: $latex \begin{cases}-2x-y=1 \\ 3x+4y=6 \end{cases}$
Solución
Paso 1: Las ecuaciones ya están simplificadas.
Paso 2: Resolviendo la primera ecuación para y, tenemos:
$latex -2x-y=1$
$latex -y=1+2x$
$latex y=-1-2x$
Paso 3: Sustituyendo $latex y=-1-2x$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 3x+4y=6$
$latex 3x+4(-1-2x)=6$
$latex 3x-4-8x=6$
Paso 4: Resolviendo para x, tenemos:
$latex 3x-4-8x=6$
$latex -5x=10$
$latex x=-2$
Paso 5: Sustituyendo $latex x=-2$ en la primera ecuación, tenemos:
$latex -2x-y=1$
$latex -2(-2)-y=1$
$latex 4-y=1$
$latex -y=-3$
$latex y=3$
La solución del sistema es $latex x=-2, ~~y=3$.
EJERCICIO 3
Encuentra la solución al sistema de ecuaciones usando el método de sustitución: $latex \begin{cases}2(2x-4)+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$
Solución
Paso 1: Podemos simplificar la primera ecuación:
$latex \begin{cases}4x-8+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$
Paso 2: Resolviendo la primera ecuación para y, tenemos:
$latex 4x-8+y=3$
$latex y=-4x+11$
Paso 3: Sustituyendo $latex y=-4x+11$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex -x+2y=4$
$latex -x+2(-4x+11)=4$
$latex -x-8x+22=4$
Paso 4: Resolviendo para x, tenemos:
$latex -x-8x+22=4$
$latex -9x=-18$
$latex x=2$
Paso 5: Sustituyendo $latex x=2$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex -x+2y=4$
$latex -2+2y=4$
$latex 2y=6$
$latex y=3$
La solución del sistema es $latex x=2,~~y=3$.
EJERCICIO 4
Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}3x+4y-27=0 \\ 5x+y-11=0 \end{cases}$
Solución
Paso 1: Las ecuaciones ya están simplificadas.
Paso 2: Podemos resolver la segunda ecuación para y:
$latex 5x+y-11=0$
$latex y=-5x+11$
Paso 3: Sustituyendo $latex y=-5x+11$ en la primera ecuación, tenemos:
$latex 3x+4y-27=0$
$latex 3x+4(-5x+11)-27=0$
$latex 3x-20x+44-27=0$
$latex -17x+17=0$
Paso 4: Resolviendo para x, tenemos:
$latex -17x+17=0$
$latex -17x=-17$
$latex x=1$
Paso 5: Sustituyendo $latex x=1$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 5x+y-11=0$
$latex 5(1)+y-11=0$
$latex y-6=0$
$latex y=6$
La solución del sistema es $latex x=1,~~y=6$.
EJERCICIO 5
Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2(-x+y)=-3x+y+9 \\ 2x+y=13 \end{cases}$
Solución
Paso 1: Simplificando la primera ecuación, tenemos:
$latex \begin{cases}x+y=9 \\ 2x+y=13 \end{cases}$
Paso 2: Resolviendo la primera ecuación para y, tenemos:
$latex x+y=9$
$latex y=9-x$
Paso 3: Sustituyendo $latex y=9-x$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 2x+y=13$
$latex 2x+9-x=13$
Paso 4: Resolviendo para x, tenemos:
$latex 2x+9-x=13$
$latex x=4$
Paso 5: Sustituyendo $latex x=4$ en la primera ecuación, tenemos:
$latex x+y=9$
$latex 4+y=9$
$latex y=5$
La solución del sistema es $latex x=4,~~y=5$.
EJERCICIO 6
Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x-3y=7 \\ 2x+3y=1 \end{cases}$
Solución
Paso 1: Las ecuaciones ya están simplificadas.
Paso 2: Resolviendo la primera ecuación para x, tenemos:
$latex 2x-3y=7$
$latex 2x=3y+7$
$latex x=\frac{3y+7}{2}$
Paso 3: Sustituyendo $latex x=\frac{3y+7}{2}$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 2x+3y=1$
$latex 2\left(\frac{3y+7}{2}\right)+3y=1$
$latex 3y+7+3y=1$
Paso 4: Resolviendo para y, tenemos:
$latex 3y+7+3y=1$
$latex 6y=-6$
$latex y=-1$
Paso 5: Sustituyendo $latex y=-1$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 2x+3y=1$
$latex 2x+3(-1)=1$
$latex 2x-3=1$
$latex 2x=4$
$latex x=2$
La solución del sistema es $latex x=2,~~y=-1$.
EJERCICIO 7
Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución: $latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 6x-4y=2 \end{cases}$
Solución
Paso 1: Podemos simplificar la segunda ecuación al dividirla por 2:
$latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 3x-2y=1 \end{cases}$
Paso 2: Resolviendo la segunda ecuación para x, tenemos:
$latex 3x-2y=1$
$latex 3x=2y+1$
$latex x=\frac{2y+1}{3}$
Paso 3: Sustituyendo $latex x=\frac{2y+1}{3}$ en la primera ecuación, tenemos:
$latex 3x-4y=5$
$latex 3\left(\frac{2y+1}{3}\right)-4y=5$
$latex 2y+1-4y=5$
Paso 4: Resolviendo para y, tenemos:
$latex 2y+1-4y=5$
$latex -2y=4$
$latex y=-2$
Paso 5: Sustituyendo $latex y=-2$ en la segunda ecuación, tenemos:
$latex 3x-2y=1$
$latex 3x-2(-2)=1$
$latex 3x+4=1$
$latex 3x=-3$
$latex x=-1$
La solución del sistema es $latex x=-1,~~y=-2$.
Sistemas de ecuaciones por sustitución – Ejercicios para resolver
Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}x-2y=5 \\ 3x+y=8 \end{cases}$
Escribe la respuesta en la forma x=?, y=?.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre sistemas de ecuaciones? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
