Sistemas de Ecuaciones por el Método de Sustitución

Los sistemas de ecuaciones son ecuaciones simultáneas que comparten las mismas soluciones. Podemos resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas usando el método de sustitución. Este método consiste en despejar una de las variables en una de las ecuaciones. Luego, tenemos que sustituir esa expresión en la segunda ecuación para formar una sola ecuación con una incógnita.

A continuación, conoceremos cómo resolver sistemas de ecuaciones usando el método de sustitución. Resolveremos varios ejercicios para entender el proceso usado.

ÁLGEBRA
ejercicios de sistemas de ecuaciones

Relevante para

Aprender a resolver sistemas de ecuaciones con el método de sustitución.

Ver método

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ejercicios de sistemas de ecuaciones

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Pasos para resolver sistemas de ecuaciones por sustitución

El método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones consiste en resolver una de las ecuaciones para una de las variables. Luego, sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación y obtendremos una ecuación con una sola variable, la cual puede ser resuelta fácilmente.

Detalladamente, podemos seguir los siguientes pasos para resolver sistemas de ecuaciones por sustitución:

Paso 1: Simplificar ambas ecuaciones si es que es posible. Esto incluye remover paréntesis, combinar términos semejantes y eliminar fracciones.

Paso 2: Resolver una ecuación para una variable. Podemos escoger cualquiera de las ecuaciones y resolver para cualquiera de las variables.

Paso 3: Sustituir la expresión obtenida en el paso 2 en la otra ecuación. Al realizar esto, obtendremos una ecuación con una sola incógnita.

Paso 4: Resolver la ecuación del paso 3. Al realizar esto, obtendremos el valor de una de las variables.

Si necesitas hacer una revisión, puedes mirar nuestro artículo sobre cómo resolver ecuaciones con una incógnita.

Paso 5: Encontrar el valor de la otra variable. Sustituimos el valor de la variable obtenido en el paso 4 en cualquiera de las dos ecuaciones y resolvemos.

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones. Una solución a un sistema de ecuaciones debe satisfacer a todas las ecuaciones del sistema. Entonces, sustituimos los valores en las ecuaciones y verificamos el resultado.


Sistemas de ecuaciones por sustitución – Ejercicios resueltos

En los siguientes ejercicios, tenemos que encontrar las soluciones a los sistemas de ecuaciones usando el método de sustitución. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Encuentra las soluciones al sistema de ecuaciones usando el método de sustitución: $latex \begin{cases}x+2y=10 \\ 2x-y=5 \end{cases}$

Paso 1: Las ecuaciones ya están simplificadas.

Paso 2: Resolviendo la primera ecuación para x, tenemos:

$latex x+2y=10$

$latex x=10-2y$

Paso 3: Sustituyendo a $latex x=10-2y$ en la segunda ecuación, tenemos:

$latex 2x-y=5$

$latex 2(10-2y)-y=5$

$latex 20-4y-y=5$

Paso 4: Resolviendo para y, tenemos:

$latex 20-4y-y=5$

$latex -5y=-15$

$latex y=3$

Paso 5: Sustituyendo el valor $latex y=3$ en la primera ecuación, tenemos: 

$latex x+2y=10$

$latex x+2(3)=10$

$latex x=4$

La solución al sistema es $latex x=4,~~y=3$.

EJERCICIO 2

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución: $latex \begin{cases}-2x-y=1 \\ 3x+4y=6 \end{cases}$

Paso 1: Las ecuaciones ya están simplificadas.

Paso 2: Resolviendo la primera ecuación para y, tenemos:

$latex -2x-y=1$

$latex -y=1+2x$

$latex y=-1-2x$

Paso 3: Sustituyendo $latex y=-1-2x$ en la segunda ecuación, tenemos:

$latex 3x+4y=6$

$latex 3x+4(-1-2x)=6$

$latex 3x-4-8x=6$

Paso 4: Resolviendo para x, tenemos:

$latex 3x-4-8x=6$

$latex -5x=10$

$latex x=-2$

Paso 5: Sustituyendo $latex x=-2$ en la primera ecuación, tenemos: 

$latex -2x-y=1$

$latex -2(-2)-y=1$

$latex 4-y=1$

$latex -y=-3$

$latex y=3$

La solución del sistema es $latex x=-2, ~~y=3$.

EJERCICIO 3

Encuentra la solución al sistema de ecuaciones usando el método de sustitución: $latex \begin{cases}2(2x-4)+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$

Paso 1: Podemos simplificar la primera ecuación:

$latex \begin{cases}4x-8+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$

Paso 2: Resolviendo la primera ecuación para y, tenemos:

$latex 4x-8+y=3$

$latex y=-4x+11$

Paso 3: Sustituyendo $latex y=-4x+11$ en la segunda ecuación, tenemos:

$latex -x+2y=4$

$latex -x+2(-4x+11)=4$

$latex -x-8x+22=4$

Paso 4: Resolviendo para x, tenemos:

$latex -x-8x+22=4$

$latex -9x=-18$

$latex x=2$

Paso 5: Sustituyendo $latex x=2$ en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex -x+2y=4$

$latex -2+2y=4$

$latex 2y=6$

$latex y=3$

La solución del sistema es $latex x=2,~~y=3$.

EJERCICIO 4

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}3x+4y-27=0 \\ 5x+y-11=0 \end{cases}$

Paso 1: Las ecuaciones ya están simplificadas.

Paso 2: Podemos resolver la segunda ecuación para y:

$latex 5x+y-11=0$

$latex y=-5x+11$

Paso 3: Sustituyendo $latex y=-5x+11$ en la primera ecuación, tenemos:

$latex 3x+4y-27=0$

$latex 3x+4(-5x+11)-27=0$

$latex 3x-20x+44-27=0$

$latex -17x+17=0$

Paso 4: Resolviendo para x, tenemos:

$latex -17x+17=0$

$latex -17x=-17$

$latex x=1$

Paso 5: Sustituyendo $latex x=1$ en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex 5x+y-11=0$

$latex 5(1)+y-11=0$

$latex y-6=0$

$latex y=6$

La solución del sistema es $latex x=1,~~y=6$.

EJERCICIO 5

Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2(-x+y)=-3x+y+9 \\ 2x+y=13 \end{cases}$

Paso 1: Simplificando la primera ecuación, tenemos:

$latex \begin{cases}x+y=9 \\ 2x+y=13 \end{cases}$

Paso 2: Resolviendo la primera ecuación para y, tenemos:

$latex x+y=9$

$latex y=9-x$

Paso 3: Sustituyendo $latex y=9-x$ en la segunda ecuación, tenemos:

$latex 2x+y=13$

$latex 2x+9-x=13$

Paso 4: Resolviendo para x, tenemos:

$latex 2x+9-x=13$

$latex x=4$

Paso 5: Sustituyendo $latex x=4$ en la primera ecuación, tenemos: 

$latex x+y=9$

$latex 4+y=9$

$latex y=5$

La solución del sistema es $latex x=4,~~y=5$.

EJERCICIO 6

Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x-3y=7 \\ 2x+3y=1 \end{cases}$

Paso 1: Las ecuaciones ya están simplificadas.

Paso 2: Resolviendo la primera ecuación para x, tenemos:

$latex 2x-3y=7$

$latex 2x=3y+7$

$latex x=\frac{3y+7}{2}$

Paso 3: Sustituyendo $latex x=\frac{3y+7}{2}$ en la segunda ecuación, tenemos:

$latex 2x+3y=1$

$latex 2\left(\frac{3y+7}{2}\right)+3y=1$

$latex 3y+7+3y=1$

Paso 4: Resolviendo para y, tenemos:

$latex 3y+7+3y=1$

$latex 6y=-6$

$latex y=-1$

Paso 5: Sustituyendo $latex y=-1$ en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex 2x+3y=1$

$latex 2x+3(-1)=1$

$latex 2x-3=1$

$latex 2x=4$

$latex x=2$

La solución del sistema es $latex x=2,~~y=-1$.

EJERCICIO 7

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución: $latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 6x-4y=2 \end{cases}$

Paso 1: Podemos simplificar la segunda ecuación al dividirla por 2:

$latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 3x-2y=1 \end{cases}$

Paso 2: Resolviendo la segunda ecuación para x, tenemos:

$latex 3x-2y=1$

$latex 3x=2y+1$

$latex x=\frac{2y+1}{3}$

Paso 3: Sustituyendo $latex x=\frac{2y+1}{3}$ en la primera ecuación, tenemos:

$latex 3x-4y=5$

$latex 3\left(\frac{2y+1}{3}\right)-4y=5$

$latex 2y+1-4y=5$

Paso 4: Resolviendo para y, tenemos:

$latex 2y+1-4y=5$

$latex -2y=4$

$latex y=-2$

Paso 5: Sustituyendo $latex y=-2$ en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex 3x-2y=1$

$latex 3x-2(-2)=1$

$latex 3x+4=1$

$latex 3x=-3$

$latex x=-1$

La solución del sistema es $latex x=-1,~~y=-2$.

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Sistemas de ecuaciones por sustitución – Ejercicios para resolver

Encuentra las soluciones a los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de sustitución.

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$

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Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}5x+2y=7 \\ 2x+y=2 \end{cases}$

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Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ 2x+3y=11 \end{cases}$

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Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x+3y=1 \\ 3x+y=5 \end{cases}$

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Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}x-2y=5 \\ 3x+y=8 \end{cases}$

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