Sistemas de Ecuaciones por el Método de Reducción o Eliminación

Un sistema de ecuaciones consiste de dos o más ecuaciones con dos o más variables, las cuales comparten la misma solución. Uno de los métodos usados para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables es el método de reducción. Este método consiste en multiplicar a una de las ecuaciones por un número, de modo que al sumar las ecuaciones, eliminemos una de las variables.

A continuación, aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones usando el método de reducción. Luego, resolveremos varios ejercicios de práctica usando este método.

ÁLGEBRA
ejercicios de sistemas de ecuaciones

Relevante para

Aprender a resolver sistemas de ecuaciones con el método de reducción.

Ver método

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ejercicios de sistemas de ecuaciones

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Pasos para resolver sistemas de ecuaciones por reducción

El método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones consiste en multiplicar a una de las ecuaciones por un número, de modo que al sumar ambas ecuaciones, una de las variables sea eliminada.

Detalladamente, podemos seguir los siguientes pasos para resolver sistemas de ecuaciones por reducción o eliminación:

Paso 1: Simplificar ambas ecuaciones. Esto incluye remover paréntesis, eliminar fracciones y combinar términos semejantes.

Paso 2: Escribir a las ecuaciones en la forma Ax+By=C para facilitar su resolución.

Paso 3: Multiplicar una o ambas ecuaciones por algún número, de modo que obtengamos coeficientes opuestos en una de las variables.

Tenemos que eliminar una de las variables al sumar las ecuaciones. Por lo tanto, tenemos que lograr que un coeficiente sea a y el otro –a en una de las variables.

Paso 4: Sumar las ecuaciones. Al hacer esto, obtendremos una sola ecuación con una sola variable.

Paso 5: Resuelve la ecuación del paso 4 para la variable restante.

Si necesitas hacer una revisión, puedes mirar nuestro artículo sobre cómo resolver ecuaciones con una incógnita.

Paso 6: Sustituye el valor del paso 5 en cualquiera de las dos ecuaciones y resuelve para la segunda variable.


Sistemas de ecuaciones por reducción – Ejercicios resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando el método de reducción o eliminación de sistemas de ecuaciones. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Usa el método de reducción para resolver el sistema: $latex \begin{cases}x-y=3 \\ 2x+y=12 \end{cases}$

Pasos 1 y 2: Las ecuaciones ya están simplificadas y ya están en la forma Ax+By=C.

Paso 3: Tenemos coeficientes opuestos en la variable y.

Paso 4: Sumando las ecuaciones, tenemos:

$latex x-y=3$

$latex +   \hspace{1cm}    2x+y=12$               

___________________

$latex 3x=15$

Paso 5: Resolviendo para x, tenemos:

$latex 3x=15$

$latex x=5$

Paso 6: Sustituyendo $latex x=5$ en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex 2x+y=12$

$latex 2(5)+y=12$

$latex 10+y=12$

$latex y=2$

La solución al sistema de ecuaciones es $latex x=5,~~y=2$.

EJERCICIO 2

Encuentra la solución al sistema de ecuaciones usando el método de eliminación: $latex \begin{cases}y=2x+7 \\ -6x-2y=-4 \end{cases}$

Paso 1: Podemos dividir a la segunda ecuación por -2:

$latex \begin{cases}y=2x+7 \\ 3x+y=2 \end{cases}$

Paso 2: Escribimos a las ecuaciones en la forma Ax+By=C:

$latex \begin{cases}-2x+y=7 \\ 3x+y=2 \end{cases}$

Paso 3: Multiplicamos la primera ecuación por -1 para obtener coeficientes opuestos en y:

$latex \begin{cases}2x-y=-7\\ 3x+y=2 \end{cases}$

Paso 4: Sumando las ecuaciones, tenemos:

$latex 2x-y=-7$

$latex +   \hspace{1cm}    3x+y=2$               

___________________

$latex 5x=-5$

Paso 5: Resolvemos para x:

$latex 5x=-5$

$latex x=-1$

Paso 6: Sustituyendo $latex x=-1$ en la primera ecuación, tenemos: 

$latex y=2x+7$

$latex y=2(-1)+7$

$latex y=5$

La solución es $latex x=-1, ~~y=5$.

EJERCICIO 3

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x=3y-14 \\ 2y=x+8 \end{cases}$

Paso 1: Las ecuaciones ya están simplificadas.

Paso 2: Escribiendo a las ecuaciones en la forma Ax+By=C, tenemos:

$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -x+2y=8 \end{cases}$

Paso 3: Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para obtener coeficientes opuestos en x:

$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -2x+4y=16 \end{cases}$

Paso 4: Al sumar las ecuaciones, tenemos:

$latex 2x-3y=-14$

$latex +   \hspace{1cm}    -2x+4y=16$               

___________________

$latex y=2$

Paso 5: Ya obtuvimos el valor de y:

$latex y=2$

Paso 6: Usando el valor $latex y=2$ en la primera ecuación, tenemos: 

$latex 2x=3y-14$

$latex 2x=3(2)-14$

$latex 2x=-8$

$latex x=-4$

La solución es $latex x=-4,~~y=2$.

EJERCICIO 4

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x-3y=7 \\ 2x+3y=1 \end{cases}$

Pasos 1 y 2: No tenemos nada que simplificar y las ecuaciones ya están en la forma Ax+By=C.

Paso 3: Ya tenemos coeficientes opuestos en y.

Paso 4: Sumando las ecuaciones, tenemos:

$latex 2x-3y=7$

$latex +   \hspace{1cm}    2x+3y=1$               

___________________

$latex 4x=8$

Paso 5: Resolviendo la ecuación, tenemos:

$latex x=2$

Paso 6: Usando el valor $latex x=2$ en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex 2x+3y=1$

$latex 2(2)+3y=1$

$latex 4+3y=1$

$latex 3y=-3$

$latex y=-1$

La solución es $latex x=2,~~y=-1$.

EJERCICIO 5

Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$

Paso 1 y 2: Las ecuaciones ya están simplificadas y escritas en la forma Ax+By=C.

Paso 3: Ya tenemos coeficientes opuestos en y:

$latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$

Paso 4: Sumando las ecuaciones, tenemos:

$latex 3x-y=1$

$latex +   \hspace{1cm}    5x+y=7$               

___________________

$latex 8x=8$

Paso 5: Resolviendo para x, tenemos:

$latex x=1$

Paso 6: Usando el valor $latex x=1$ en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex 5x+y=7$

$latex 5(1)+y=7$

$latex y=2$

La solución es $latex x=1,~~y=2$.

EJERCICIO 6

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ 2x+3y=11 \end{cases}$

Paso 1 y 2: Las ecuaciones ya están simplificadas y escritas en la forma Ax+By=C.

Paso 3: Multiplicamos a la segunda ecuación por -1 para obtener coeficientes opuestos en x:

$latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ -2x-3y=-11 \end{cases}$

Paso 4: Sumando las ecuaciones, tenemos:

$latex 2x-7y=1$

$latex +   \hspace{1cm}    -2x-3y=-11$               

___________________

$latex -10y=-10$

Paso 5: Resolviendo la ecuación, tenemos:

$latex y=1$

Paso 6: Usando el valor $latex y=1$ en la primera ecuación, tenemos: 

$latex 2x-7y=1$

$latex 2x-7(1)=1$

$latex 2x=8$

$latex x=4$

La solución es $latex x=4,~~y=1$.

EJERCICIO 7

Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 6x-4y=2 \end{cases}$

Paso 1: Podemos simplificar la segunda ecuación al dividirla por 2:

$latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 3x-2y=1 \end{cases}$

Paso 2: Las ecuaciones ya están en la forma Ax+By=C.

Paso 3: Multiplicamos la segunda ecuación por -1 para obtener coeficientes opuestos en x:

$latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ -3x+2y=-1 \end{cases}$

Paso 4: Sumando las ecuaciones, tenemos:

$latex 3x-4y=5$

$latex +   \hspace{1cm}    -3x+2y=-1$               

___________________

$latex -2y=4$

Paso 5: Resolviendo la ecuación, tenemos:

$latex y=-2$

Paso 6: Usando el valor $latex y=-2$ en la segunda ecuación, tenemos: 

$latex 3x-2y=1$

$latex 3x-2(-2)=1$

$latex 3x+4=1$

$latex 3x=-3$

$latex x=-1$

La solución es $latex x=-1,~~y=-2$.

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Sistemas de ecuaciones por reducción – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de reducción o eliminación.

Resuelve con el método de reducción $latex \begin{cases}x-y=2 \\ 2x+y=16 \end{cases}$

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Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}5x+2y=7 \\ 2x+y=2 \end{cases}$

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Encuentra la solución al sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}x-2y=5 \\ 3x+y=8 \end{cases}$

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Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}2x+3y=1 \\ 3x+y=5 \end{cases}$

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Resuelve el sistema de ecuaciones: $latex \begin{cases}3x-2y=5 \\ 2x+y=8 \end{cases}$

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Véase también

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