Los sistemas de ecuaciones 2×2 son sistemas de dos ecuaciones con dos variables. En este artículo, aprenderemos sobre estos sistemas. Empezaremos conociendo los diferentes tipos de soluciones que pueden tener estos sistemas.

Luego, aprenderemos a resolver esos sistemas de ecuaciones de tres formas diferentes: gráficamente, por el método de sustitución y por el método de eliminación.

ÁLGEBRA
ejercicios de sistemas de ecuaciones

Relevante para

Aprender a resolver sistemas de ecuaciones 2×2.

Ver métodos

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ejercicios de sistemas de ecuaciones

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Sistemas de ecuaciones 2×2 y soluciones

Un sistema de ecuaciones lineales es simplemente un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen que ser resueltas simultáneamente. Aquí veremos específicamente los sistemas que tienen dos ecuaciones y dos incógnitas.

Solución a un sistema

Una solución a un sistema de ecuaciones 2×2 es un par ordenado que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. Una solución es lo que las ecuaciones tienen en común, es el lugar en donde sus líneas se intersecan. Si es que un par ordenado es una solución para una ecuación, pero no para la otra, entonces no es una solución al sistema de ecuaciones.

Un sistema consistente es un sistema que tiene por lo menos una solución.

Un sistema inconsistente es un sistema que no tiene soluciones.

Hay tres posibles resultados que podemos encontrar al trabajar con estos sistemas:

1. Una solución

2. Ninguna solución

3. Infinitas soluciones.


Una solución

Si es que el sistema de ecuaciones con dos variables tiene una solución, es un par ordenado que es una solución para ambas ecuaciones. Esto significa que cuando reemplazamos la solución en las ecuaciones, ambas ecuaciones resultan verdaderas.

Si es que obtenemos una solución como respuesta final al sistema de ecuaciones, esto significa que este sistema es consistente.

La siguiente gráfica muestra un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tiene una solución:

sistemas de ecuaciones 2x2

Ninguna solución

Si es que las líneas de las ecuaciones son paralelas, estas líneas nunca se intersecarán. Eso significa que estas ecuaciones no tienen puntos en común. En esta situación, el sistema de ecuaciones no tiene ninguna solución.

Si es que al resolver nuestro sistema de ecuaciones descubrimos que no tiene ninguna solución, esto significa que el sistema es inconsistente.

En la siguiente gráfica, podemos ver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que no tienen ninguna solución:

sistemas de ecuaciones 2x2

Infinitas soluciones

Si es que las dos líneas de las ecuaciones terminan sobreponiéndose la una sobre la otra, entonces hay un número infinito de soluciones. En esta situación, terminarían siendo la misma línea, por lo que cualquier solución que funcione con la primera ecuación, también funcionará con la segunda.

Si es que obtenemos un número infinito de soluciones para nuestro sistema de ecuaciones, entonces significa que el sistema es consistente.

En la siguiente gráfica, podemos observar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tiene un número infinito de soluciones:

sistemas de ecuaciones 2x2

Resolver sistemas de ecuaciones 2×2 gráficamente

Podemos seguir los siguientes pasos para resolver un sistema de ecuaciones 2×2 gráficamente:

Paso 1: Graficar la primera ecuación.

Puedes usar cualquier método para graficar una línea. Si es que lo necesitas, puedes mirar nuestra guía sobre cómo graficar funciones lineales.

Paso 2: Graficar la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas que la primera.

Graficas la segunda ecuación usando el mismo método o un método diferente que la primera ecuación. La diferencia es que la graficamos en el mismo sistema de coordenadas.

Paso 3: Encuentra la solución.

Si es que las líneas intersecan en un solo lugar, entonces el punto de intersección es la solución al sistema de ecuaciones.

Si es que las líneas son paralelas, entonces nunca se intersecan y por lo tanto no hay ninguna solución.

Si es que las líneas están una encima de la otra, entonces existe un número infinito de soluciones.

Paso 4: Verifica el par de soluciones en ambas ecuaciones.

Sustituye la solución en ambas ecuaciones. Si es que ambas ecuaciones resultan verdaderas, entonces la solución es verdadera. Si es que alguna de las ecuaciones resulta falsa, entonces ese par ordenado no es la solución correcta.

EJEMPLO 1

Resuelve el sistema de ecuaciones gráficamente: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x+y=4} \\ {2x-y=-1} \end{array}} \right.

Paso 1: Graficar la primera ecuación.

Podemos reescribir la ecuación en la forma  y=mx+b, en donde es la pendiente y b es el intercepto en y.

 x+y=4

y=4-x

Entonces, el intercepto en y es 4 y la pendiente es -1: 

sistemas de ecuaciones gráficamente

Paso 2: Graficar la segunda ecuación.

Usamos el mismo método que la ecuación anterior:

 2x-y=-1

y=2x+1

Entonces, el intercepto en y es 1 y la pendiente es 2: 

sistemas de ecuaciones gráficamente

Paso 3: Encuentra la solución.

Debemos determinar si es que las ecuaciones se intersecan y en dónde se intersecan.

Vemos que las ecuaciones se intersecan en el punto (1, 3).

Paso 4: Verifica el par de soluciones en ambas ecuaciones.

Fácilmente podemos verificar que al sustituir los valores de x=1 y y=3, ambas ecuaciones son verdaderas:

 x+y=4

1+3=4

4=4

2x-y=-1

2(1)-3=-1

-1=-1

EJEMPLO 2

Resuelve el sistema de ecuaciones gráficamente: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x+2y=7} \\ {3x-y=7} \end{array}} \right.

Paso 1: Graficar la primera ecuación.

Podemos reescribir la ecuación en la forma  y=mx+b, en donde es la pendiente y b es el intercepto en y.

 x+2y=7

y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}

Entonces, el intercepto en y es 7/2 y la pendiente es -1/2: 

sistemas de ecuaciones gráficamente

Paso 2: Graficar la segunda ecuación.

Usamos el mismo método que la ecuación anterior:

 3x-y=7

y=3x-7

Entonces, el intercepto en y es -7 y la pendiente es 3: 

sistemas de ecuaciones gráficamente

Paso 3: Encuentra la solución.

Debemos determinar si es que las ecuaciones se intersecan y en dónde se intersecan.

Vemos que las ecuaciones se intersecan en el punto (3, 2).

Paso 4: Verifica el par de soluciones en ambas ecuaciones.

Fácilmente podemos verificar que al sustituir los valores de x=3 y y=2, ambas ecuaciones son verdaderas:

 x+2y=7

3+2(2)=7

7=7

3x-y=7

3(3)-2=7

7=7


Resolver sistemas de ecuaciones 2×2 por el método de sustitución

Sigue los siguientes pasos para resolver un sistema de ecuaciones 2×2 usando el método de sustitución:

Paso 1: Simplificar si es que es posible.

Esto incluye remover los paréntesis u otros signos de agrupación y combinar términos semejantes.

Si es que tenemos fracciones, podemos multiplicar por el mínimo común múltiplo.

Paso 2: Resolver una ecuación para una variable.

No importa cuál ecuación escojamos o para cuál variable resolvamos.

Queremos que esto sea lo más fácil posible. Si es que una de las ecuaciones ya tiene despejada una variable, podemos usar esa ecuación.

Paso 3: Sustituye lo que obtuviste en el paso 2 en la otra ecuación.

Asegúrate de sustituir en la ecuación que no usaste en el paso 2. Esto nos dará una ecuación con una sola variable.

Paso 4: Resuelve para la variable restante.

Resuelve la ecuación resultante del paso 3 para la variable restante. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar nuestra guía sobre cómo resolver ecuaciones con una incógnita.

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituye el valor que encontraste en el paso 4 en cualquiera de las dos ecuaciones y resuelve para la otra variable.

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

Sustituye los valores de las incógnitas en ambas ecuaciones. Si es que ambas ecuaciones son verdaderas, los valores son la solución correcta.

EJEMPLO 1

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x-5y=15} \\ {y=2x+4} \end{array}} \right.

Paso 1: Simplificar si es que es posible.

Ambas ecuaciones ya están simplificadas.

Paso 2: Resolver una ecuación para una variable.

Podemos ver que la segunda ecuación ya está resuelta para la variable y:

y=2x+4

Paso 3: Sustituye lo que obtuviste en el paso 2 en la otra ecuación.

Sustituimos la expresión y=2x+4 en la primera ecuación: 

3x-5y=15

3x-5(2x+4)=15

3x-10x-20=15

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

3x-10x-20=15

-7x=35

x=-5

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituimosx=-5 en la segunda ecuación: 

y=x+4

y=-5+4

y=-1

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

EJEMPLO 2

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x-2y=3} \\ {2x-3y=7} \end{array}} \right.

Paso 1: Simplificar si es que es posible.

Ambas ecuaciones ya están simplificadas.

Paso 2: Resolver una ecuación para una variable.

Podemos ver resolver la primera ecuación para x:

x-2y=3

x=3+2y

Paso 3: Sustituye lo que obtuviste en el paso 2 en la otra ecuación.

Sustituimos la expresión x=3+2y en la segunda ecuación: 

2x-3y=7

2(3+2y)-3y=7

6+4y-3y=7

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

6+4y-3y=7

y=1

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituimosy=1 en la primera ecuación: 

x-2y=3

x-2(1)=3

x=5

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios

Ressuelve el sistema 2x-4y=-6, y=3x-1.

Escoge una respuesta






Resuelve el sistema 3x+2y=2, y=-x+2.

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Resolver sistemas de ecuaciones 2×2 por el método de eliminación

Sigue los siguientes pasos para resolver un sistema de ecuaciones 2×2 usando el método de sustitución:

Paso 1: Simplificar si es que es posible y coloca a las ecuaciones en la forma Ax+By=C.

Esto incluye remover los paréntesis u otros signos de agrupación y combinar términos semejantes.

Si es que tenemos fracciones, podemos multiplicar por el mínimo común múltiplo.

Paso 2: Multiplica una o ambas ecuaciones por un número que creará coeficientes opuestos o bien para x o para y.

Vamos a sumar las ecuaciones y necesitamos que una de las variables se elimine luego de realizar la suma. Una forma de garantizar esto es teniendo coeficientes opuestos en una de las variables, ya que la suma de opuestos es 0.

No importa cuál variable decidamos eliminar. Queremos hacer que esto sea lo más fácil posible. Si es que una de las variables ya tiene coeficientes opuestos, podemos simplemente sumar las ecuaciones.

Si es que tenemos coeficientes diferentes, necesitamos multiplicar por números de forma que los coeficientes se vuelvan opuestos. Por ejemplo, si tenemos 2en una ecuación y 3x en la segunda, podemos multiplicar por -3 la primera y por 2 la segunda, de ese modo obtenemos -6 en la primera y 6 en la segunda.

Paso 3: Suma las ecuaciones.

Al sumar las ecuaciones, una de las variables será eliminada y obtendremos una ecuación con una sola variable.

Paso 4: Resuelve para la variable restante.

Resuelve la ecuación resultante del paso 3 para la variable restante. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar nuestra guía sobre cómo resolver ecuaciones con una incógnita.

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituye el valor que encontraste en el paso 4 en cualquiera de las dos ecuaciones y resuelve para la otra variable.

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

Sustituye los valores de las incógnitas en ambas ecuaciones. Si es que ambas ecuaciones son verdaderas, los valores son la solución correcta.

EJEMPLO 1

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de eliminación: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x+2y=10} \\ {-2x+3y=5} \end{array}} \right.

Paso 1: Simplificar si es que es posible y colocar en la  forma Ax+By=C.

Ambas ecuaciones ya están simplificadas y en la forma Ax+By=C.

Paso 2: Multiplica una o ambas ecuaciones por un número que creará coeficientes opuestos o bien para x o para y.

Ya tenemos coeficientes opuestos en la variable x.

Paso 3: Suma las ecuaciones. 

2x+2y=10

+   \hspace{1cm}    -2x+3y=5               

___________________

5y=15

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

5y=15

y=3

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituímos y=3 en la primera ecuación: 

2x+2y=10

2x+2(3)=10

2x+6=10

2x=4

x=2

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

EJEMPLO 2

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de eliminación: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x=y+3} \\ {-x+3y=11} \end{array}} \right.

Paso 1: Simplificar si es que es posible y colocar en la  forma Ax+By=C.

Ambas ecuaciones ya están simplificadas. Las colocamos en la forma Ax+By=C:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x-y=3} \\ {-x+3y=11} \end{array}} \right.

Paso 2: Multiplica una o ambas ecuaciones por un número que creará coeficientes opuestos o bien para x o para y.

Multiplicamos la segunda ecuación por 2:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x-y=3} \\ {-2x+6y=22} \end{array}} \right.

Paso 3: Suma las ecuaciones. 

2x-y=3

+   \hspace{1cm}    -2x+6y=22               

___________________

5y=25

Paso 4: Resuelve para la variable restante:

5y=25

y=5

Paso 5: Resuelve para la segunda variable.

Sustituimos y=5 en la primera ecuación: 

2x-y=3

2x-5=3

2x=8

x=4

Paso 6: Verifica la solución en ambas ecuaciones.

Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios

Resuelve el sistema 2x-3y=3, -2x+y=-5.

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Resuelve el sistema 3x+2y=-9, 2x+y=-5.

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Véase también

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