La resolución de ecuaciones es probablemente el tema más importante e interesante en el álgebra. Hay una gran variedad de ecuaciones. En este artículo, nos familiarizaremos con la resolución de ecuaciones, pero más específicamente, miraremos la resolución de ecuaciones con dos incógnitas con ejemplos resueltos para facilitar el entendimiento de los conceptos.

ÁLGEBRA
ejercicios de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Relevante para

Resolver ecuaciones con dos incógnitas.

Ver métodos

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ejercicios de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

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Resolver ecuaciones con dos incógnitas.

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¿Qué son las ecuaciones con dos incógnitas?

Las ecuaciones de primer grado tienen la característica de que contienen únicamente variables elevadas a la primera potencia después de haber sido reducida a su forma más simple. Las ecuaciones con dos incógnitas o variables pueden ser escritas en la forma general Ax+By+C=0, en donde los coeficientes A y B son diferentes de 0.

Por ejemplo, las ecuaciones 4x+3y=105x-5y=10 son ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. A primera vista, la ecuación 4{{x}^{2}}+6x-2y-4{{x}^{2}}=5 pareciera no ser de primer grado.

Sin embargo, al escribirla en su forma más simple, es decir, cuando combinamos términos semejantes y simplificamos, los términos que contienen {{x}^{2}} se eliminan y tenemos la ecuación 6x-2y=5. Por lo tanto, es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

Generalmente, una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, si es que tenemos un valor de una variable definido, la ecuación tendrá una sola solución. 

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas puede tener una sola solución, infinitas soluciones o ninguna solución dependiendo en los valores de sus coeficientes.

EJEMPLOS

Las siguientes ecuaciones son ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

x+3y+5=12

\frac{1}{3}x+3y=\frac{3}{2}+4x

2{{x}^{2}}+4x-3y=2{{x}^{2}}+8

2x+{{x}^{3}}-{{x}^{3}}=9-5y


Regla de las ecuaciones

Cualquier operación (adición, sustracción, multiplicación, división) puede ser realizada a un lado de la ecuación, siempre y cuando la misma operación sea realizada en el lado opuesto.

Por ejemplo, imagina que tenemos la ecuación 2x+4y=3x-20.

Si es que así lo deseamos, podemos restar 6 a ambos lados de la ecuación: 2x+4y-6=3x-20-6.

En este caso, no nos ayuda mucho haber restado 6 a ambos lados de la ecuación. Sin embargo, podemos simplificar las ecuaciones y eventualmente resolverlas si es que aplicamos las operaciones correctas a ambos lados.

Ahora veamos un método con el que podemos resolver ecuaciones con dos incógnitas.


Método para resolver ecuaciones con dos incógnitas

1. Si tenemos un valor de una variable dado, reemplazamos ese valor en la ecuación. Si es que no tenemos ningún valor dado, la ecuación automáticamente tiene un número infinito de soluciones.

2. Simplificar ambos lados:

a. Quitamos los paréntesis (usando la propiedad distributiva) si es que los hay.

b. Eliminamos las fracciones (multiplicamos por el mínimo común múltiplo).

c. Simplificamos los términos semejantes.

3. Despejamos la variable:

Realizamos operaciones para mover la variable a un lado de la ecuación y las constantes al otro lado.

4. Despejamos completamente la variable usando multiplicación o división.

5. Verificamos la respuesta.


Ejemplos de ecuaciones con dos incógnitas

EJEMPLO 1

  • Si es que tenemos y=2, encuentra el valor de x en la ecuación 2x+4y=10-x+7.

Solución: 

1. Reemplazamos el valor de la variable: 

2x+4(2)=10-x+7

2x+8=10-x+7

2. Simplificamos: 

No tenemos paréntesis.

No tenemos fracciones.

Combinamos términos semejantes: 2x+8=17-x.

3. Despejamos la variable: movemos el 8 hacia la derecha y el -x hacia la izquierda: 

2x+8-8=17-x-8

2x=9-x

2x+x=9-x+x

3x=9

4. Despejamos completamente a la x: dividimos ambos lados por 3: 

\frac{3}{3}x=\frac{{9}}{3}

x=\frac{{9}}{3}=3

5. Verificamos la respuesta: reemplazamos los valores de las variables en la ecuación original:

2(3)+4(2)=10-(3)+7

6+8=10-3+7

14=14

Esto es verdadero

Respuesta: y=2,   x=3

EJEMPLO 2

  • Si es que tenemos x=4, encuentra el valor de y en la ecuación 5x-2y+5=12-3x+15.

Solución: 

1. Reemplazamos el valor de la variable: 

5(4)-2y+5=12-3(4)+15

20-2y+5=12-12+15

2. Simplificamos: 

No tenemos paréntesis.

No tenemos fracciones.

Combinamos términos semejantes: 25-2y=15.

3. Despejamos la variable: movemos el 25 hacia la derecha: 

25-2y-25=15-25

-2y=-10

4. Despejamos completamente a la y: dividimos ambos lados por -2: 

\frac{-2}{-2}y=\frac{{-10}}{-2}

y=\frac{{-10}}{-2}=5

5. Verificamos la respuesta: reemplazamos los valores de las variables en la ecuación original:

5(4)-2(5)+5=12-3(4)+15

20-10+5=12-12+15

15=15

Esto es verdadero

Respuesta: y=5,   x=4

EJEMPLO 3

  • Encuentra el valor de x y y en la ecuación 3x-2y=20+x.

Solución: 

No tenemos ningún valor de alguna variable dado, entonces, esta ecuación tiene un número infinito de soluciones. Por ejemplo, supongamos que x=1, entonces tendríamos:

3x-2y=20+x

3(1)-2y=20+1

3-2y=21

-2y=21-3

-2y=18

y=-9

Ahora, supongamos que x=2, entonces tendríamos:

3x-2y=20+x

3(2)-2y=20+2

6-2y=22

-2y=22-6

-2y=16

y=-8

Podríamos seguir el proceso con diferentes valores de x y siempre obtendríamos respuestas diferentes. Esto significa que hay un número infinito de soluciones.

EJEMPLO 4

  • Si es que tenemos x=6, encuentra el valor de y en la ecuación x+4(y+2)=10+2y+2x.

Solución: 

1. Reemplazamos el valor de la variable: 

 6+4(y+2)=10+2y+2(6)

6+4(y+2)=10+2y+12

2. Simplificamos: 

Simplificamos paréntesis: 6+4y+8=10+2y+12.

No tenemos fracciones.

Combinamos términos semejantes: 4y+14=2y+22.

3. Despejamos la variable: movemos el 14 hacia la derecha y el 2y hacia la izquierda: 

4y+14-14=2y+22-14

4y=2y+8

4y-2y=2y+8-2y

2y=8

4. Despejamos completamente a la y: dividimos ambos lados por 2: 

\frac{2}{2}y=\frac{{8}}{2}

y=\frac{{8}}{2}=4

5. Verificamos la respuesta: reemplazamos los valores de las variables en la ecuación original:

6+4(4+2)=10+2(4)+2(6)

6+4(6)=10+8+12

30=30

Esto es verdadero

Respuesta: y=4,   x=6

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EJEMPLO 5

  • Si es que tenemos y=2, encuentra el valor de x en la ecuación \frac{1}{3}x+2y+\frac{1}{2}x=y+x+1.

Solución: 

1. Reemplazamos el valor de la variable: 

\frac{1}{3}x+2(2)+\frac{1}{2}x=2+x+1

\frac{1}{3}x+4+\frac{1}{2}x=2+x+1

2. Simplificamos: 

No tenemos paréntesis.

Simplificamos fracciones: multiplicamos por 6: 2x+24+3x=12+6x+6.

Combinamos términos semejantes: 5x+24=18+6x.

3. Despejamos la variable: movemos el 24 hacia la derecha y el 6x hacia la izquierda: 

5x+24-24=18+6x-24

5x=6x-6

5x-6x=6x-6-6x

-x=-6

4. Despejamos completamente a la x: dividimos ambos lados por -1: 

\frac{-1}{-1}x=\frac{{-6}}{-1}

x=\frac{{-6}}{-1}=6

5. Verificamos la respuesta: reemplazamos los valores de las variables en la ecuación original:

\frac{1}{3}(6)+2(2)+\frac{1}{2}(6)=(2)+(6)+1

2+4+3=2+6+1

9=9

Esto es verdadero

Respuesta: y=2,   x=6


Véase también

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