Cuando tenemos la potencia de la potencia en expresiones exponenciales, encontramos la nueva potencia al multiplicar las dos potencias. Por ejemplo, en la siguiente expresión, x al cuadrado está siendo elevada a la potencia de 5, por lo que multiplicamos el 2 y el 5 para encontrar la nueva potencia.
$latex \left(x^2\right)^5=x^{(2)(5)}=x^{10}$
ÁLGEBRA
Relevante para…
Resolver ejercicios de expresiones con potencia de la potencia.
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Regla de la potencia de la potencia
Recordemos que las expresiones exponenciales tienen dos partes. La primera parte es la base y la segunda es el exponente como puede verse en la ilustración:
- El exponente es el número que indica cuántas veces la base será multiplicada por sí misma.
- La base es el número o variable que está siendo multiplicada repetidamente.
La regla de la potencia de la potencia nos dice que, cuando tenemos una expresión exponencial elevada a una potencia, simplemente tenemos que copiar la base y multiplicar los exponentes. Aquí asumimos que la base es diferente de cero y los exponentes son números enteros:
Ejemplos resueltos
Los siguientes ejemplos nos muestran cómo podemos resolver expresiones en las que tenemos una potencia de la potencia:
EJEMPLOS 1
Cada factor dentro del paréntesis es elevado al exponente que está afuera del paréntesis:
- $latex {{\left( {{{3}^{4}}} \right)}^{5}}={{3}^{{\left( 4 \right)\left( 5 \right)}}}={{3}^{{20}}}$
- $latex {{\left( {{{4}^{{-2}}}} \right)}^{3}}={{4}^{{\left( {-2} \right)\left( 3 \right)}}}={{4}^{{-6}}}=\frac{1}{{{{4}^{6}}}}$
- $latex {{\left( {{{x}^{3}}} \right)}^{5}}={{x}^{{\left( 3 \right)\left( 5 \right)}}}={{x}^{{15}}}$
- $latex {{\left( {{{x}^{2}}{{y}^{4}}} \right)}^{3}}={{x}^{{\left( 2 \right)\left( 3 \right)}}}{{y}^{{\left( 4 \right)\left( 3 \right)}}}={{x}^{6}}{{y}^{{12}}}$
EJEMPLO 2
En el siguiente ejemplo, usamos el orden de las operaciones para resolver. Primero elevamos las expresiones dentro del paréntesis a sus potencias. Luego multiplicamos las dos expresiones. Aplicamos la regla del producto para simplificar las expresiones al combinar las bases iguales y sumar los exponentes:
$latex {{\left( {2{{x}^{2}}{{y}^{4}}} \right)}^{3}}{{\left( {4{{x}^{3}}{{y}^{2}}} \right)}^{2}}$
$latex =\left( {{{2}^{3}}{{x}^{{2\times 3}}}{{y}^{{4\times 3}}}} \right)\left( {{{4}^{2}}{{x}^{{3\times 2}}}{{y}^{{2\times 2}}}} \right)$
$latex =\left( {8{{x}^{6}}{{y}^{{12}}}} \right)\left( {16{{x}^{6}}{{y}^{4}}} \right)$
$latex =128{{x}^{{12}}}{{y}^{{16}}}$
EJEMPLOS 3
El siguiente ejemplo es similar al anterior, pero con exponentes negativos:
$latex {{\left( {{{x}^{2}}{{y}^{3}}} \right)}^{-3}}{{\left( {{{x}^{-3}}{{y}^{-4}}} \right)}^{-4}}$
$latex =\left( {{{x}^{{2\times -3}}}{{y}^{{3\times -3}}}} \right)\left( {{{x}^{{-3\times -4}}}{{y}^{{-4\times -4}}}} \right)$
$latex =\left( {{{x}^{-6}}{{y}^{{-9}}}} \right)\left( {{{x}^{12}}{{y}^{16}}} \right)$
$latex ={{x}^{{6}}}{{y}^{{7}}}$
Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios
Véase también
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