Potencia de la Potencia con Ejemplos

Cuando tenemos la potencia de la potencia en expresiones exponenciales, encontramos la nueva potencia al multiplicar las dos potencias. Por ejemplo, en la siguiente expresión, x al cuadrado está siendo elevada a la potencia de 5, por lo que multiplicamos el 2 y el 5 para encontrar la nueva potencia.

$latex \left(x^2\right)^5=x^{(2)(5)}=x^{10}$

ÁLGEBRA
potencia de la potencia ejercicios

Relevante para

Resolver ejercicios de expresiones con potencia de la potencia.

Ver ejemplos

ÁLGEBRA
potencia de la potencia ejercicios

Relevante para

Resolver ejercicios de expresiones con potencia de la potencia.

Ver ejemplos

Regla de la potencia de la potencia

Recordemos que las expresiones exponenciales tienen dos partes. La primera parte es la base y la segunda es el exponente como puede verse en la ilustración:

reglas de los exponentes
  • El exponente es el número que indica cuántas veces la base será multiplicada por sí misma.
  • La base es el número o variable que está siendo multiplicada repetidamente.

La regla de la potencia de la potencia nos dice que, cuando tenemos una expresión exponencial elevada a una potencia, simplemente tenemos que copiar la base y multiplicar los exponentes. Aquí asumimos que la base es diferente de cero y los exponentes son números enteros:

potencia de una potencia de exponentes

Ejemplos resueltos

Los siguientes ejemplos nos muestran cómo podemos resolver expresiones en las que tenemos una potencia de la potencia:

EJEMPLOS 1

Cada factor dentro del paréntesis es elevado al exponente que está afuera del paréntesis:

  • $latex {{\left( {{{3}^{4}}} \right)}^{5}}={{3}^{{\left( 4 \right)\left( 5 \right)}}}={{3}^{{20}}}$
  • $latex {{\left( {{{4}^{{-2}}}} \right)}^{3}}={{4}^{{\left( {-2} \right)\left( 3 \right)}}}={{4}^{{-6}}}=\frac{1}{{{{4}^{6}}}}$
  • $latex {{\left( {{{x}^{3}}} \right)}^{5}}={{x}^{{\left( 3 \right)\left( 5 \right)}}}={{x}^{{15}}}$
  • $latex {{\left( {{{x}^{2}}{{y}^{4}}} \right)}^{3}}={{x}^{{\left( 2 \right)\left( 3 \right)}}}{{y}^{{\left( 4 \right)\left( 3 \right)}}}={{x}^{6}}{{y}^{{12}}}$

EJEMPLO 2

En el siguiente ejemplo, usamos el orden de las operaciones para resolver. Primero elevamos las expresiones dentro del paréntesis a sus potencias. Luego multiplicamos las dos expresiones. Aplicamos la regla del producto para simplificar las expresiones al combinar las bases iguales y sumar los exponentes:

$latex {{\left( {2{{x}^{2}}{{y}^{4}}} \right)}^{3}}{{\left( {4{{x}^{3}}{{y}^{2}}} \right)}^{2}}$

$latex =\left( {{{2}^{3}}{{x}^{{2\times 3}}}{{y}^{{4\times 3}}}} \right)\left( {{{4}^{2}}{{x}^{{3\times 2}}}{{y}^{{2\times 2}}}} \right)$

$latex =\left( {8{{x}^{6}}{{y}^{{12}}}} \right)\left( {16{{x}^{6}}{{y}^{4}}} \right)$

$latex =128{{x}^{{12}}}{{y}^{{16}}}$

EJEMPLOS 3

El siguiente ejemplo es similar al anterior, pero con exponentes negativos:

$latex {{\left( {{{x}^{2}}{{y}^{3}}} \right)}^{-3}}{{\left( {{{x}^{-3}}{{y}^{-4}}} \right)}^{-4}}$

$latex =\left( {{{x}^{{2\times -3}}}{{y}^{{3\times -3}}}} \right)\left( {{{x}^{{-3\times -4}}}{{y}^{{-4\times -4}}}} \right)$

$latex =\left( {{{x}^{-6}}{{y}^{{-9}}}} \right)\left( {{{x}^{12}}{{y}^{16}}} \right)$

$latex ={{x}^{{6}}}{{y}^{{7}}}$


Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios

Simplifica la expresión $latex {{({{x}^2}{{y}^5})}^3}$.

Escoge una respuesta






Simplifica la expresión $latex (x^{-3} y^{-2})^3$.

Escoge una respuesta






Simplifica la expresión $latex ((a^2)^3)^2$.

Escoge una respuesta







Véase también

¿Interesado en aprender más sobre otros temas algebraicos? Mira estas páginas:

Aprende matemáticas con nuestros recursos adicionales en varios temas diferentes

Conoce Más