Identidades Recíprocas

Ya nos hemos familiarizado con las funciones trigonométricas de seno, coseno y tangente. Estas funciones son escritas como fracciones relacionando a los lados de un triángulo rectángulo. También sabemos que el recíproco de una fracción es igual a la fracción original con su numerador y su denominador intercambiados de posición. Entonces, las identidades recíprocas son formadas al intercambiar al numerador y al denominador de coseno, seno y tangente para formar las funciones secante, cosecante y cotangente respectivamente.

A continuación, aprenderemos más detalles de las identidades recíprocas trigonométricas y las usaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

TRIGONOMETRÍA
identidades trigonométricas fundamentales

Relevante para

Aprender sobre las identidades recíprocas con ejercicios.

Ver identidades

TRIGONOMETRÍA
identidades trigonométricas fundamentales

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¿Cuáles son las identidades recíprocas?

Las identidades recíprocas son identidades trigonométricas que son definidas con respecto a las funciones trigonométricas fundamentales, seno, coseno y tangente. Un recíproco de la fracción $latex \frac{a}{b}$ es la fracción $latex \frac{b}{a}$. Esto significa que encontramos al recíproco de una fracción al intercambiar las posiciones del numerador y del denominador.

Consideremos a la función seno para el ángulo θ. Esta función es definida como el lado opuesto dividido por la hipotenusa. Entonces, tenemos $latex \sin(\theta)=\frac{O}{H}$. La función cosecante es definida como $latex \csc(\theta)=\frac{H}{O}$.

Esto significa que estas dos funciones son recíprocas. Entonces, el valor del seno de un ángulo siempre es igual al recíproco del valor de la cosecante y viceversa. Por ejemplo, si es que tenemos $latex \sin(\theta)=\frac{1}{2}$, entonces, también tenemos $latex \csc(\theta)=2$.

De igual forma, la función coseno y la función secante son recíprocas, y la función tangente y la función cotangente también son recíprocas. Entonces, tenemos las siguientes identidades recíprocas:

$latex \csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)}$

$latex \sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}$

$latex \cot(\theta)=\frac{1}{\tan(\theta)}$

Ejercicios de identidades recíprocas resueltos

Las identidades recíprocas son usadas para resolver los siguientes ejercicios. Cada uno de los ejercicios tiene su respectiva solución, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo.

EJERCICIO 1

Si es que tenemos que $latex \cos(\theta)=0.2$, ¿cuál es el valor de $latex \sec(\theta)$?

Las funciones coseno y secante son recíprocas, por lo que sabemos que podemos «darle la vuelta» a la fracción del valor de coseno para encontrar el valor de la secante. Para facilitar esto, escribimos al coseno como fracción:

$latex \cos(\theta)=0.2=\frac{2}{10}$

Entonces, tenemos:

$latex \sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}$

$latex =\frac{10}{2}$

EJERCICIO 2

Si es que tenemos que $latex \cot(\theta)=\frac{5}{3}$, ¿cuál es el valor de $latex \tan(\theta)$?

Las funciones tangentes y cotangente son recíprocas. Entonces, podemos encontrar el valor de la tangente al «darle la vuelta» a la fracción del valor de la cotangente. Entonces, tenemos:

$latex \cot(\theta)=\frac{5}{3}$

⇒  $latex \tan(\theta)=\frac{3}{5}$

EJERCICIO 3

Verifica la identidad $latex \tan(\theta)+\cot(\theta)=\sec(\theta)\csc(\theta)$.

Podemos reescribir a todo en términos de seno y coseno, recordando que la función tangente es igual a seno dividido por coseno. Entonces, tenemos:

$latex \tan(\theta)+\cot(\theta)=\sec(\theta)\csc(\theta)$

$latex \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}+\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=\frac{1}{\cos(\theta)}\cdot \frac{1}{\sin(\theta)}$

Podemos sumar las fracciones de la izquierda al formar el denominador común $latex \cos(\theta)\sin(\theta)$:

$latex \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}+\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=\frac{1}{\cos(\theta)}\cdot \frac{1}{\sin(\theta)}$

$latex \frac{{{\sin}^2}(\theta)+{{\cos}^2}(\theta)}{\sin(\theta)\cos(\theta)}=\frac{1}{\cos(\theta)}\cdot \frac{1}{\sin(\theta)}$

$latex \frac{1}{\sin(\theta)\cos(\theta)}=\frac{1}{\cos(\theta)}\cdot \frac{1}{\sin(\theta)}$

En el último paso, usamos la identidad Pitagórica principal $latex {{\sin}^2}(\theta)+{{\cos}^2}(\theta)=1$. Vemos que obtuvimos la misma expresión en ambos lados. Esto significa que la identidad dada es verdadera.


Ejercicios de identidades recíprocas para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios de práctica usando las identidades recíprocas. Si necesitas ayuda con esto, mira los ejercicios resueltos de arriba.

Si es que tenemos $latex \cos(x)=0.7$, ¿cuál es el valor de $latex \sec(x)$?

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Si es que tenemos $latex \sin(A)=0.25$, ¿cuál es el valor de $latex \csc(A)$?

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Si es que tenemos $latex tan(x)=5$, ¿cuál es el valor de $latex \cot(x)$?

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Véase también

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