Identidades de Ángulos Medios con Ejercicios

Las identidades de ángulos medios son identidades trigonométricas usadas para simplificar expresiones trigonométricas y calcular el seno, coseno o tangente de ángulos medios cuando conocemos los valores de un ángulo dado. Estas identidades son obtenidas usando las identidades de ángulos dobles y realizando una sustitución.

A continuación, aprenderemos a derivar las identidades de ángulos medios y las aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

TRIGONOMETRÍA
identidades de medio angulo de seno y coseno

Relevante para

Derivar y aplicar las identidades de ángulos medios.

Ver identidades

TRIGONOMETRÍA
identidades de medio angulo de seno y coseno

Relevante para

Derivar y aplicar las identidades de ángulos medios.

Ver identidades

¿Cuáles son las identidades de ángulos medios?

Las identidades de ángulos medios son identidades trigonométricas que son usadas para calcular o simplificar expresiones con ángulos medios, como $latex \sin(\frac{\theta}{2})$. Estas identidades también pueden ser usadas para transformar expresiones trigonométricas con exponentes a una sin exponentes.

La identidad de ángulo medio del seno es:

$latex \sin(\frac{\theta}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}$

La identidad de ángulo medio del coseno es:

$latex \cos(\frac{\theta}{2})=\pm \sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}$

La identidad de ángulo medio de la tangente es:

$latex \tan(\frac{\theta}{2})=\frac{\sin(\theta)}{1+\cos(\theta)}$

$latex =\frac{1-\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$

¿Cómo derivar las identidades de ángulos medios?

Las identidades de ángulos medios pueden ser derivadas usando las indentidades de ángulos dobles.

Para derivar la fórmula de la identidad de ángulo medio de senos, empezamos con la identidad de ángulos dobles de cosenos:

$latex \cos(2\theta)=1-2{{\sin}^2}(\theta)$

Si es que usamos la relación $latex \theta=\frac{\alpha}{2}$, tenemos $latex 2\theta=\alpha$. Sustituyendo estas expresiones en la identidad de arriba, tenemos:

$latex \cos(\alpha)=1-2{{\sin}^2}(\frac{\alpha}{2})$

Ahora, resolvemos esta expresión para $latex \sin(\frac{\alpha}{2})$:

$latex \cos(\alpha)=1-2{{\sin}^2}(\frac{\alpha}{2})$

$latex 2{{\sin}^2}(\frac{\alpha}{2})=1-\cos(\alpha)$

$latex {{\sin}^2}(\frac{\alpha}{2})=\frac{1-\cos(\alpha)}{2}$

$latex \sin(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}$

El signo de $latex \sin(\frac{\alpha}{2})$ depende del cuadrante en el que $latex \frac{\alpha}{2}$ se ubique. Si es que $latex \frac{\alpha}{2}$ está en el primer o segundo cuadrante, la fórmula usa el signo positivo y si es que $latex \frac{\alpha}{2}$ está en el tercer o cuarto cuadrante, la fórmula usa el signo negativo.

Usamos un proceso similar para encontrar la identidad de ángulo medio de coseno. Entonces, empezamos con la identidad de doble ángulo del coseno en la siguiente forma:

$latex \cos(2\theta)=2{{\cos}^2}(\theta)-1$

Luego de realizar las sustituciones, obtenemos:

$latex \cos(\alpha)=2{{\cos}^2}(\frac{\alpha}{2})-1$

Ahora, resolvemos para $latex \cos(\frac{\alpha}{2})$:

$latex \cos(\alpha)=2{{\cos}^2}(\frac{\alpha}{2})-1$

$latex 2{{\cos}^2}(\frac{\alpha}{2})=1+\cos(\alpha)$

$latex {{\cos}^2}(\frac{\alpha}{2})=\frac{1+\cos(\alpha)}{2}$

$latex \cos(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}$

En este caso, si es que $latex \frac{\alpha}{2}$ está en el primer o cuarto cuadrante, la fórmula usa el signo positivo y si es que $latex \frac{\alpha}{2}$ está en el segundo o tercer cuadrante, la fórmula usa el signo negativo.


Ejercicios de identidades de ángulos medios resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando lo aprendido sobre las identidades de ángulos medios. Estudia y analiza estos ejercicios para entender el proceso usado.

EJERCICIO 1

Usa la identidad de ángulo medio del seno para encontrar el valor de seno de 15°.

Solución

EJERCICIO 2

Determina el valor del coseno de 165° usando la identidad del ángulo medio del coseno.

Solución

EJERCICIO 3

Comprueba que la identidad $latex 2{{\sin}^2}(\frac{x}{2})+\cos(x)=1$.

Solución

Ejercicios de identidades de ángulos medios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios de práctica usando lo aprendido sobre las identidades de ángulos medios de seno, coseno y tangente. Selecciona una respuesta y verifícala para comprobar que obtuviste la respuesta correcta.

Encuentra el valor de $latex \sin(75^{\circ})$ usando la identidad del ángulo medio.

Escoge una respuesta






Si es que tenemos $latex \cos(A)=\frac{12}{13}$, en donde el ángulo A se encuentra entre 0° y 90°, ¿cuál es el valor de $latex \sin(\frac{A}{2})$?

Escoge una respuesta







Véase también

¿Interesado en aprender más sobre identidades trigonométricas? Mira estas páginas:

Imagen de perfil del autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

Explora nuestros recursos de matemáticas.

Explorar