Identidades de Ángulos Dobles

Las identidades de ángulos dobles son identidades trigonométricas usadas para reescribir a funciones trigonométricas, como seno, coseno y tangente, que tienen un doble ángulo, como 2θ. Estas identidades son derivadas usando las identidades de sumas de ángulos. Tenemos un total de tres identidades de ángulos dobles, una para coseno, otra para seno y otra para tangente. Sin embargo, estas identidades pueden tener diferentes variaciones.

A continuación, aprenderemos a derivar las identidades de ángulos dobles. Luego, aplicaremos estas identidades para resolver algunos ejercicios de práctica.

TRIGONOMETRÍA
identidades de angulos dobles

Relevante para

Conocer y aplicar las identidades de ángulos dobles.

Ver identidades

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¿Cuáles son las identidades de ángulos dobles?

Las identidades de ángulos dobles son identidades trigonométricas que son usadas cuando tenemos una función trigonométrica que tiene una entrada que es igual al doble de un ángulo dado. Por ejemplo, podemos usar estas identidades para resolver $latex \sin(2\theta)$.

De esta forma, si es que tenemos el valor de θ y tenemos que encontrar $latex \sin(2\theta)$, podemos usar esta identidad para simplificar el problema.

La siguiente es la fórmula que expresa la identidad de ángulo doble para el seno:

$latex \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

La siguiente es la fórmula que expresa la identidad de ángulo doble para el coseno. Esta identidad puede tener dos variaciones adicionales que son obtenidas al usar la identidad Pitagórica:

$latex \cos(2x)={{\cos}^2}(x)-{{\sin}^2}(x)$

$latex =2{{\cos}^2}(x)-1$

$latex =1-2{{\sin}^2}(x)$

La siguiente es la fórmula que expresa la identidad de ángulo doble para la tangente:

$latex \tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-{{\tan}^2}(x)}$

¿Cómo derivar las identidades de ángulos dobles?

Las identidades de ángulos dobles son derivadas usando las identidades de suma de ángulos.

En el caso de la suma de ángulos en un seno, tenemos:

$$\sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$$

Si es que α y β fueran el mismo ángulo, tendríamos:

$$\sin(\alpha + \alpha)=\sin(\alpha)\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\sin(\alpha)$$

$latex \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Esta es la identidad del ángulo doble para el seno. Usando el mismo proceso, encontramos la identidad del ángulo doble para el coseno. Entonces, empezamos con la identidad de suma de ángulos del coseno:

$$\cos(\alpha + \beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$$

Ahora, usamos el mismo ángulo y tenemos:

$$\cos(\alpha + \alpha)=\cos(\alpha)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\alpha)$$

$latex \cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)$

Podemos derivar dos variaciones adicionales de esta identidad usando la identidad Pitagórica, $latex {{\sin}^2}(\alpha)+{{\cos}^2}(\alpha)=1$. Esta identidad puede ser escrita como $latex {{\sin}^2}(\alpha)=1-{{\cos}^2}(\alpha)$ y $latex {{\cos}^2}(\alpha)=1-{{\sin}^2}(\alpha)$.

Si es que usamos a $latex {{\sin}^2}(\alpha)=1-{{\cos}^2}(\alpha)$, tenemos:

$latex \cos(2\alpha)={{\cos}^2}(\alpha)-{{\sin}^2}(\alpha)$

$latex ={{\cos}^2}(\alpha)-(1-{{\cos}^2}(\alpha))$

$latex ={{\cos}^2}(\alpha)-1+{{\cos}^2}(\alpha))$

$latex =2{{\cos}^2}(\alpha)-1$

Si es que usamos a $latex {{\cos}^2}(\alpha)=1-{{\sin}^2}(\alpha)$, tenemos:

$latex \cos(2\alpha)={{\cos}^2}(\alpha)-{{\sin}^2}(\alpha)$

$latex =1-{{\sin}^2}(\alpha)-{{\sin}^2}(\alpha)$

$latex =1-2{{\sin}^2}(\alpha)$

Ahora, usamos la fórmula de la identidad de suma de ángulos de la tangente para calcular su fórmula de ángulo doble. Entonces, empezamos con:

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$$

Si es que tenemos el mismo ángulo, la fórmula se vuelve:

$$\tan(\alpha+\alpha)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\alpha)}{1-\tan(\alpha)\tan(\alpha)}$$

$latex \tan(2\alpha)=\frac{2\tan(\alpha)}{1-{{\tan}^2}(\alpha)}$$


Ejercicios de identidades de ángulos dobles resueltos

Las identidades de ángulos dobles del seno, coseno y tangente son usadas para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Si es que tenemos $latex \sin(A)=\frac{5}{13}$ y $latex \cos(A)=-\frac{12}{13}$, ¿cuál es el valor de $latex \sin(2A)$?

Solución

EJERCICIO 2

Si es que tenemos $latex \sin(A)=\frac{5}{13}$ y $latex \cos(A)=-\frac{12}{13}$, ¿cuál es el valor de $latex \cos(2A)$?

Solución

EJERCICIO 3

¿Cuál es el valor de $latex \cos(2A)$ si es que tenemos $latex \sin(A)=\frac{2}{9}$?

Solución

EJERCICIO 4

Encuentra una expresión para $latex \cos(4A)$.

Solución

Ejercicios de identidades de ángulos dobles para resolver

Usa los siguientes ejercicios para practicar el uso de las identidades de ángulos dobles vistas arriba. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos.

Si es que tenemos $latex \sin(x)=\frac{4}{5}$ y $latex \cos(x)=-\frac{3}{5}$, ¿cuál es el valor de $latex \sin(2x)$?

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Si es que tenemos $latex \sin(x)=\frac{4}{5}$, ¿cuál es el valor de $latex \cos(2x)$?

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Si es que tenemos $latex \tan(x)=-\frac{4}{3}$, ¿cuál es el valor de $latex \tan(2x)$?

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Véase también

¿Interesado en aprender más sobre identidades trigonométricas? Mira estas páginas:

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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