Las identidades de ángulos dobles son identidades trigonométricas usadas para reescribir a funciones trigonométricas, como seno, coseno y tangente, que tienen un doble ángulo, como 2θ. Estas identidades son derivadas usando las identidades de sumas de ángulos. Tenemos un total de tres identidades de ángulos dobles, una para coseno, otra para seno y otra para tangente. Sin embargo, estas identidades pueden tener diferentes variaciones.
A continuación, aprenderemos a derivar las identidades de ángulos dobles. Luego, aplicaremos estas identidades para resolver algunos ejercicios de práctica.
¿Cuáles son las identidades de ángulos dobles?
Las identidades de ángulos dobles son identidades trigonométricas que son usadas cuando tenemos una función trigonométrica que tiene una entrada que es igual al doble de un ángulo dado. Por ejemplo, podemos usar estas identidades para resolver $latex \sin(2\theta)$.
De esta forma, si es que tenemos el valor de θ y tenemos que encontrar $latex \sin(2\theta)$, podemos usar esta identidad para simplificar el problema.
La siguiente es la fórmula que expresa la identidad de ángulo doble para el seno:
| $latex \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ |
La siguiente es la fórmula que expresa la identidad de ángulo doble para el coseno. Esta identidad puede tener dos variaciones adicionales que son obtenidas al usar la identidad Pitagórica:
| $latex \cos(2x)={{\cos}^2}(x)-{{\sin}^2}(x)$ $latex =2{{\cos}^2}(x)-1$ $latex =1-2{{\sin}^2}(x)$ |
La siguiente es la fórmula que expresa la identidad de ángulo doble para la tangente:
| $latex \tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-{{\tan}^2}(x)}$ |
¿Cómo derivar las identidades de ángulos dobles?
Las identidades de ángulos dobles son derivadas usando las identidades de suma de ángulos.
En el caso de la suma de ángulos en un seno, tenemos:
$$\sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$$
Si es que α y β fueran el mismo ángulo, tendríamos:
$$\sin(\alpha + \alpha)=\sin(\alpha)\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\sin(\alpha)$$
$latex \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
Esta es la identidad del ángulo doble para el seno. Usando el mismo proceso, encontramos la identidad del ángulo doble para el coseno. Entonces, empezamos con la identidad de suma de ángulos del coseno:
$$\cos(\alpha + \beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$$
Ahora, usamos el mismo ángulo y tenemos:
$$\cos(\alpha + \alpha)=\cos(\alpha)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\alpha)$$
$latex \cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)$
Podemos derivar dos variaciones adicionales de esta identidad usando la identidad Pitagórica, $latex {{\sin}^2}(\alpha)+{{\cos}^2}(\alpha)=1$. Esta identidad puede ser escrita como $latex {{\sin}^2}(\alpha)=1-{{\cos}^2}(\alpha)$ y $latex {{\cos}^2}(\alpha)=1-{{\sin}^2}(\alpha)$.
Si es que usamos a $latex {{\sin}^2}(\alpha)=1-{{\cos}^2}(\alpha)$, tenemos:
$latex \cos(2\alpha)={{\cos}^2}(\alpha)-{{\sin}^2}(\alpha)$
$latex ={{\cos}^2}(\alpha)-(1-{{\cos}^2}(\alpha))$
$latex ={{\cos}^2}(\alpha)-1+{{\cos}^2}(\alpha))$
$latex =2{{\cos}^2}(\alpha)-1$
Si es que usamos a $latex {{\cos}^2}(\alpha)=1-{{\sin}^2}(\alpha)$, tenemos:
$latex \cos(2\alpha)={{\cos}^2}(\alpha)-{{\sin}^2}(\alpha)$
$latex =1-{{\sin}^2}(\alpha)-{{\sin}^2}(\alpha)$
$latex =1-2{{\sin}^2}(\alpha)$
Ahora, usamos la fórmula de la identidad de suma de ángulos de la tangente para calcular su fórmula de ángulo doble. Entonces, empezamos con:
$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$$
Si es que tenemos el mismo ángulo, la fórmula se vuelve:
$$\tan(\alpha+\alpha)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\alpha)}{1-\tan(\alpha)\tan(\alpha)}$$
$latex \tan(2\alpha)=\frac{2\tan(\alpha)}{1-{{\tan}^2}(\alpha)}$$
Ejercicios de identidades de ángulos dobles resueltos
Las identidades de ángulos dobles del seno, coseno y tangente son usadas para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Si es que tenemos $latex \sin(A)=\frac{5}{13}$ y $latex \cos(A)=-\frac{12}{13}$, ¿cuál es el valor de $latex \sin(2A)$?
Solución
Conocemos los valores de seno de A y coseno de A, por lo que podemos aplicar la fórmula del ángulo doble para el seno directamente. Entonces, tenemos:
$latex \sin(2A)=2\sin(A)\cos(A)$
$latex \sin(2A)=2(\frac{5}{13})(-\frac{12}{13})$
$latex \sin(2A)=-\frac{120}{169})$
EJERCICIO 2
Si es que tenemos $latex \sin(A)=\frac{5}{13}$ y $latex \cos(A)=-\frac{12}{13}$, ¿cuál es el valor de $latex \cos(2A)$?
Solución
En este caso, queremos encontrar el valor del coseno del ángulo doble de A. Entonces, usamos la fórmula vista arriba con los valores del seno y del coseno dados:
$latex \cos(2A)={{\cos}^2}(A)-{{\sin}^2}(A)$
$latex \cos(2A)={{(-\frac{12}{13})}^2}-{{(\frac{5}{13})}^2}$
$latex \cos(2A)=\frac{144-25}{169}$
$latex \cos(2A)=\frac{119}{169}$
EJERCICIO 3
¿Cuál es el valor de $latex \cos(2A)$ si es que tenemos $latex \sin(A)=\frac{2}{9}$?
Solución
En este ejercicio, sólo tenemos el valor del seno de A, pero podemos encontrar el valor del coseno del doble ángulo A al usar la tercera variación de la fórmula del ángulo doble para el coseno. Entonces, tenemos:
$latex \cos(2A)=1-2{{\sin}^2}(A)$
$latex \cos(2A)=1-2{{(\frac{2}{9})}^2}$
$latex \cos(2A)=1-2(\frac{4}{81})$
$latex \cos(2A)=1-\frac{8}{81}$
$latex \cos(2A)=\frac{73}{81}$
EJERCICIO 4
Encuentra una expresión para $latex \cos(4A)$.
Solución
Podemos escribir a $latex \cos(4A)$ como $latex \cos(2A+2A)$. Ahora, podemos usar la identidad del ángulo doble para coseno, en donde el ángulo es 2A. Entonces, tenemos:
$$\cos(2A+2A)=\cos(2A)\cos(2A)-\sin(2A)\sin(2A)$$
$latex ={{\cos}^2}(2A)-{{\sin}^2}(2A)$
Ahora, usamos las identidades de ángulo doble tanto para el coseno como para el seno. En el caso del seno, usamos la segunda variación:
$latex \cos(4A)={{\cos}^2}(2A)-{{\sin}^2}(2A)$
$$={{(2{{\cos}^2}(A)-1)}^2}-{{(2\sin(A)\cos(A))}^2}$$
$$=4{{\cos}^4}(A)-4{{\cos}^2}(A)+1-4{{\sin}^2}(A){{\cos}^2}(A)$$
$$=4{{\cos}^4}(A)-4{{\cos}^2}(A)+1-4(1-{{\cos}^2}(A)){{\cos}^2}(A)$$
$$=4{{\cos}^4}(A)-4{{\cos}^2}(A)+1-4{{\cos}^2}(A)+4{{\cos}^4}(A)$$
$latex =8{{\cos}^4}(A)-8{{\cos}^2}(A)+1$
Ejercicios de identidades de ángulos dobles para resolver
Usa los siguientes ejercicios para practicar el uso de las identidades de ángulos dobles vistas arriba. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre identidades trigonométricas? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
