La gráfica de una función cuadrática tiene una curva en forma de U y es llamada una parábola. Podemos graficar una función cuadrática usando sus puntos clave, como los interceptos en x, su vértice y su eje de simetría. Las partes de una parábola nos dan información importante de una función.
En este artículo, aprenderemos sobre las diferentes partes de las gráficas de funciones cuadráticas y graficaremos estas funciones en su forma vértice y su forma estándar.
Partes de parábolas
Recordemos que una función cuadrática tiene la forma $latex f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$, en donde $latex a, b$ y $latex c$ son constantes y $latex a\ne 0$.
Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen forma de U como se muestra a continuación:
El signo en el coeficiente $latex a$ determina si es que la gráfica se abre hacia arriba o se abre hacia abajo. Si es que $latex a>0$, la gráfica se abre hacia arriba y si es que $latex a<0$, la gráfica se abre hacia abajo.
Las parábolas tienen diferentes características que determinan su forma y su ubicación en el plano cartesiano. Estas características son el vértice, el eje de simetría, el intercepto en y, y los interceptos en x.
Vértice
El vértice es el punto extremo en la gráfica de una función cuadrática, es decir, es el punto más alto o el punto más bajo. Si es que la parábola se abre hacia arriba, el vértice representa el punto más bajo y si es que la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto.
Eje de simetría
Todas las parábolas son simétricas con respecto a una línea vertical llamada el eje de simetría. Esta línea vertical pasa a través del vértice.
Intercepto en y
El intercepto en y es el punto en el que parábola cruza al eje y. Para todas las gráficas de funciones cuadráticas, existe un único intercepto en y. Si existieran más interceptos en y, la gráfica no representaría a una función.
Interceptos en x
Los interceptos son los puntos en los que la parábola cruza al eje x. Los interceptos en x representan a los ceros o las raíces de la función cuadrática, es decir, los valores de $latex x$ cuando tenemos $latex x=0$. Es posible tener cero interceptos en x, un intercepto en x y dos interceptos en x. El número de interceptos depende de la ubicación de la gráfica de la función cuadrática. Cuando la parábola tiene dos interceptos en x, el vértice siempre se ubica entre estos interceptos debido a la simetría de la gráfica.
Interpretación gráfica de las soluciones de funciones cuadráticas
Podemos encontrar las raíces de las funciones cuadráticas algebraicamente o gráficamente.
Para encontrar las raíces algebraicamente, podemos usar la fórmula cuadrática $latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$. También podemos encontrar las raíces gráficamente al realizar varias observaciones de la gráfica de una función cuadrática.
Miremos la conexión entre encontrar raíces algebraicamente y gráficamente con la gráfica de la función $latex f(x)={{x}^{2}}+x-2$:
Podemos mirar que la gráfica cruza al eje x en los puntos (-2, 0) y (1, 0). Sabemos que los interceptos en x representan a las raíces de la función cuadrática, por lo que $latex x=-2$ y $latex x=1$ son las raíces.
Ahora encontremos las raíces de $latex f(x)={{x}^{2}}+x-2$ algebraicamente. Podemos usar la fórmula cuadrática con los coeficientes $latex a=1, b=1, c=-2$.
$latex x=\frac{{-1\pm \sqrt{{{{1}^{2}}-4\left( 1 \right)\left( {-2} \right)}}}}{{2\left( 1 \right)}}$
$latex x=\frac{{-1\pm \sqrt{9}}}{2}$
$latex x=\frac{{-1\pm 3}}{{2}}$
Entonces, tenemos dos posibles valores para x: $latex x=\frac{{-1+3}}{{2}}$ y $latex x=\frac{{-1-3}}{{2}}$. Al simplificar estos valores, obtenemos $latex x=1$ y $latex x=-2$. Estos son los mismos valores que encontramos gráficamente.
EJEMPLO
Encuentra las raíces de la función $latex f(x)={{x}^{2}}+2x+3$ algebraicamente y gráficamente:
Podemos mirar que la gráfica no cruza al eje x, por lo tanto, no tiene raíces reales. Podemos verificar esto algebraicamente.
Usaremos la fórmula cuadrática con los coeficientes $latex a=1, b=2, c=3$.
$latex x=\frac{{-2\pm \sqrt{{{{2}^{2}}-4\left( 1 \right)\left( {3} \right)}}}}{{2\left( 1 \right)}}$
$latex x=\frac{{1\pm \sqrt{-9}}}{2}$
Observamos que tenemos $latex \sqrt{-8}$, lo cual no es un número real. Esto significa que la función cuadrática no tiene raíces reales.
Gráficas de funciones cuadráticas en forma vértice
La forma vértice de una función cuadrática nos permite encontrar el vértice de la gráfica fácilmente.
Las ecuaciones cuadráticas pueden ser presentadas en distintas formas. Por ejemplo, ya hemos visto su forma estándar:
$latex f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$
Otra forma común es la forma vértice:
$latex f\left( x \right)=a{{(x-h)}^{2}}+k$
En esta forma, el vértice es el punto $latex (h, k)$. Como vimos anteriormente, el coeficiente $latex a$ determina si es que la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
Transformar de forma vértice a forma estándar
Para transformar una función cuadrática escrita en forma vértice a forma estándar simplemente expandimos la expresión elevada al cuadrado y combinamos términos semejantes. Por ejemplo, la siguiente cuadrática:
$latex f\left( x \right)={{(x-5)}^{2}}+4$
Puede ser reescrita así:
$latex f\left( x \right)=(x-5)(x-5)+4$
$latex f\left( x \right)={{x}^{2}}-5x-5x+25+4$
$latex f\left( x \right)={{x}^{2}}-10x+29$
Transformar de forma estándar a forma vértice
Esto es un poco más difícil y tenemos que usar un proceso llamado “completar el cuadrado”.
Cuando tenemos $latex a=1$
Supongamos que queremos escribir $latex f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+3$ en forma vértice. Observamos que el coeficiente del término $latex {{x}^{2}}$ es 1. Cuando este es el caso, miramos el coeficiente del término x y tomamos su mitad.
Luego elevamos al cuadrado a ese número. Es decir, en este caso tenemos al 2, tomando su mitad tenemos 1 y al elevarlo al cuadrado, tenemos 1. Luego, sumamos y restamos este número como se muestra a continuación:
$latex f\left( x \right)=({{x}^{2}}+2x+1)+3-1$
Aquí, sumamos y restamos el mismo número, por lo que en realidad no cambiamos la función. Ahora, la expresión en el paréntesis puede ser escrita en forma de cuadrado y tenemos
$latex f\left( x \right)={{(x+1)}^{2}}+2$
En esta forma. el vértice es $latex (-1, 2)$.
Cuando tenemos $latex a\ne 1$
Esto es un poco más difícil que el caso anterior, pero podemos usar la misma idea para transformar la función. Supongamos que queremos escribir $latex f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+12x-4$ en forma vértice. Ahora, el coeficiente del término $latex {{x}^{2}}$ es 2. Podemos factorizar el 2 de los primeros dos términos:
$latex f\left( x \right)=2({{x}^{2}}+6x)-4$
Entonces, completamos el cuadrado dentro de los paréntesis. Observamos que la mitad de 6 es 3 y elevado al cuadrado es 9, por lo que sumamos y restamos el 9 dentro de los paréntesis:
$latex f\left( x \right)=2({{x}^{2}}+6x+9-9)-4$
y resolvemos de la siguiente forma:
$latex f\left( x \right)=2({{(x+3)}^{2}}-9)-4$
$latex f\left( x \right)=2{{(x+3)}^{2}}-18-4$
$latex f\left( x \right)={{(x+3}^{2}}-11$
Entonces, el vértice de la gráfica es $latex (-3, -11)$.
Gráficas de funciones cuadráticas en forma estándar
Una función cuadrática en la forma $latex f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ está en la forma estándar. Sin importar el formato, la gráfica de una función cuadrática es una parábola. Por ejemplo, la siguiente es la gráfica de $latex f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-4$
Cada coeficiente de una función cuadrática produce un impacto en la forma y la ubicación de la gráfica en el plano cartesiano.
Coeficiente de $latex {{x}^{2}}, a$
El coeficiente a controla la velocidad de incremento o decrecimiento de la función desde el vértice. Entre más grande y positivo sea a, más rápido crecerá la función cuadrática y la gráfica parecerá hacerse más “delgada”.
El coeficiente a también controla hacia donde se abrirá la parábola. Si es que tenemos $latex a>0$, la gráfica se abre hacia arriba y si es que tenemos $latex a<0$, la gráfica se abre hacia abajo.
Eje de simetría
Los coeficientes a y b controlan el eje de simetría y la coordenada x del vértice de la parábola. Podemos encontrar el eje de simetría de una parábola de la siguiente forma:
$latex x=-\frac{b}{{2a}}$
Por ejemplo, en la parábola $latex f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+2$, tenemos $latex a=3, b=-6$, entonces, tenemos $latex x=-\frac{-6}{{2(3)}}=1$. El vértice tiene coordenada en x de 1:
Intercepto en y de la parábola
El coeficiente c controla la altura de la parábola. Este es el punto en donde la parábola interseca al eje y. El punto (0, y) es el intercepto en y de la parábola. En este caso, $latex c=2$ y la parábola interseca al eje y en el punto (0, 2).
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
