Encontrar el radio y centro de un círculo con la ecuación

Para encontrar el radio y las coordenadas del centro de un círculo cuando tenemos su ecuación escrita en forma general, tenemos que escribir a la ecuación en su forma estándar. Esto es realizado al completar el cuadrado de tanto de x, como de y. Una vez tengamos la forma estándar, podemos identificar al centro y al radio fácilmente.

A continuación, conoceremos cómo encontrar el radio y el centro de un círculo cuando tenemos su ecuación dada en forma general. Veremos algunos problemas de práctica para aplicar lo aprendido.

GEOMETRÍA
Fórmula del centro de un círculo

Relevante para

Aprender a encontrar el radio y el centro de un círculo.

Ver pasos

GEOMETRÍA
Fórmula del centro de un círculo

Relevante para

Aprender a encontrar el radio y el centro de un círculo.

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Pasos para encontrar el radio y el centro de un círculo

Para encontrar el radio y el centro de un círculo, vamos a empezar encontrando la ecuación estándar de un círculo.

Supongamos que tenemos un círculo con el centro $latex C=(a,~b)$ y el radio $latex r$. Además, el punto $latex P=(x,~y)$ se encuentra en la circunferencia del círculo.

Diagrama para el radio y el centro de un círculo

Si es que usamos la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

$$ r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$$

Al elevar al cuadrado, tenemos:

$$ r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$$

Esta es la forma estándar de la ecuación del círculo. En esta forma, $latex r$ es el radio y $latex (a, ~b)$ es el centro del círculo.

Cuando expandimos y simplificamos esta ecuación, tenemos la ecuación general del círculo:

$$ x^2+y^2-2ax-2by+c=0$$

en donde, $latex c=a^2+b^2-r^2$.

Entonces, si es que tenemos a la ecuación de un círculo dada en su forma general, podemos encontrar su centro y su radio de la siguiente forma:

Paso 1: Escribir a la ecuación del círculo en su forma estándar, $latex r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$. Podemos lograr esto al completar el cuadrado de x y de y.

Paso 2: Sacar la raíz cuadrada de $latex r^2$ para obtener el radio del círculo.

Paso 3: El centro del círculo es igual a $latex (a, ~b)$.


Ejemplos resueltos del radio y el centro de un círculo usando su ecuación

Cada uno de los siguientes ejemplos tiene una solución detallada, en donde aplicamos lo aprendido sobre las ecuaciones de un círculo para encontrar su radio y su centro.

EJEMPLO 1

Encuentra el radio y las coordenadas del centro de un círculo que tiene la ecuación $latex (x-5)^2+(y+3)^2=16$.

En este ejemplo, tenemos a la ecuación del círculo dada en su forma estándar. Entonces, podemos obtener las coordenadas del centro y el radio comparándola con la ecuación:

$latex (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Entonces, vemos que $latex a=5$ y $latex b=-3$, por lo que el centro es $latex (5,~-3)$.

Para encontrar el radio, tenemos que sacar la raíz cuadrada de 16, lo cual es igual a 4, por lo que el radio es $latex r=4$.

EJEMPLO 2

¿Cuál es el centro y el radio de un círculo que tiene la ecuación $latex (x+7)^2+(y-4)^2+6=10$?

Este ejemplo es similar al anterior, con la diferencia que tenemos que simplificar la ecuación dada primero. Entonces, tenemos:

$latex (x+7)^2+(y-4)^2+6=10$

$latex (x+7)^2+(y-4)^2=4$

Ahora, la comparamos con la forma estándar:

$latex (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Entonces, tenemos $latex a=-7$ y $latex b=4$, por lo que el centro es $latex (5,~-3)$.

El radio es igual a $latex r=2$.

EJEMPLO 3

Encuentra el radio y el centro de un círculo que tiene la ecuación $latex x^2+y^2+2x-4y-4=0$.

En esta caso, tenemos a la ecuación del círculo en su forma general. Entonces, tenemos que empezar convirtiendo la ecuación a forma estándar.

Para esto, completamos el cuadrado tanto de x, como de y y tenemos:

$latex x^2+y^2+2x-4y-4=0$

$latex x^2+2x+y^2-4y-4=0$

$$(x+1)^2-1+(y-2)^2-4-4=0$$

$latex (x+1)^2+(y-2)^2=9$

Ahora que tenemos a la ecuación del círculo en su forma estándar, podemos ver fácilmente que el centro es $latex (-1, ~2)$ y su radio es $latex r=3$.

EJEMPLO 4

¿Cuáles son las coordenadas del centro y el radio del círculo con la ecuación $latex x^2+y^2-4x-2y+1=0$?

Para encontrar el radio y las coordenadas del centro, tenemos que encontrar la forma estándar de la ecuación del círculo. Entonces, completamos el cuadrado de ambas variables:

$latex x^2+y^2-4x-2y+1=0$

$latex x^2-4x+y^2-2y+1=0$

$$(x-2)^2-4+(y-1)^2-1+1=0$$

$latex (x-2)^2+(y-1)^2=4$

El centro del círculo es $latex (2, ~1)$ y su radio es $latex r=2$.

EJEMPLO 5

Encuentra el radio y el centro de un círculo que tiene la ecuación $latex x^2+y^2-2x-8y+8=0$.

Vamos a completar el cuadrado de ambas variables para encontrar la forma estándar de la ecuación del círculo dado:

$latex x^2+y^2-2x-8y+8=0$

$latex x^2-2x+y^2-8y+8=0$

$$(x-1)^2-1+(y-4)^2-16+8=0$$

$latex (x-1)^2+(y-4)^2=9$

Las coordenadas del centro del círculo son $latex (1, ~4)$ y su radio es $latex r=3$.

EJEMPLO 6

¿Cuál es el radio y el centro de un círculo representado por la ecuación $latex 9x^2+9y^2-12x+18y+4=0$?

Para simplificar la resolución de este problema, podemos dividir a toda la ecuación por 9. Entonces, tenemos:

$$ x^2+y^2-\frac{4}{3}x+2y+\frac{4}{9}=0$$

Reorganizando a la ecuación y completando el cuadrado de x y de y, tenemos:

$$ x^2-\frac{4}{3}x+y^2+2y+\frac{4}{9}=0$$

$$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9}+(y+1)^2-1+\frac{4}{9}=0$$

$$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2+(y+1)^2=1$$

Las coordenadas del centro del círculo son $latex (\frac{2}{3},~-1)$ y el radio es 1.


Radio y centro de un círculo – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando todo lo aprendido sobre el radio y el centro de un círculo usando sus ecuaciones.

Encuentra el centro y el radio del círculo $latex x^2+y^2+6x-4y+12=0$.

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¿Cuál es el centro y el radio del círculo $latex x^2+y^2-4x=0$?

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Encuentra el centro y el radio del círculo $latex x^2+y^2+6y-16=0$.

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¿Cuál es el centro y el radio del círculo $latex x^2+y^2-6x+8y-11=0$?

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