Para encontrar el radio y las coordenadas del centro de un círculo cuando tenemos su ecuación escrita en forma general, tenemos que escribir a la ecuación en su forma estándar. Esto es realizado al completar el cuadrado de tanto de x, como de y. Una vez tengamos la forma estándar, podemos identificar al centro y al radio fácilmente.
A continuación, conoceremos cómo encontrar el radio y el centro de un círculo cuando tenemos su ecuación dada en forma general. Veremos algunos problemas de práctica para aplicar lo aprendido.
Pasos para encontrar el radio y el centro de un círculo
Para encontrar el radio y el centro de un círculo, vamos a empezar encontrando la ecuación estándar de un círculo.
Supongamos que tenemos un círculo con el centro $latex C=(a,~b)$ y el radio $latex r$. Además, el punto $latex P=(x,~y)$ se encuentra en la circunferencia del círculo.
Si es que usamos la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:
$$ r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$$
Al elevar al cuadrado, tenemos:
$$ r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$$
Esta es la forma estándar de la ecuación del círculo. En esta forma, $latex r$ es el radio y $latex (a, ~b)$ es el centro del círculo.
Cuando expandimos y simplificamos esta ecuación, tenemos la ecuación general del círculo:
$$ x^2+y^2-2ax-2by+c=0$$
en donde, $latex c=a^2+b^2-r^2$.
Entonces, si es que tenemos a la ecuación de un círculo dada en su forma general, podemos encontrar su centro y su radio de la siguiente forma:
1. Escribir a la ecuación del círculo en su forma estándar, $latex r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$.
Podemos lograr esto al completar el cuadrado de x y de y.
2. Sacar la raíz cuadrada de $latex r^2$ para obtener el radio del círculo.
3. El centro del círculo es igual a $latex (a, ~b)$.
La forma estándar $latex r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$ nos da el centro del círculo.
Ejercicios resueltos del radio y el centro de un círculo usando su ecuación
EJERCICIO 1
Encuentra el radio y las coordenadas del centro de un círculo que tiene la ecuación $latex (x-5)^2+(y+3)^2=16$.
Solución
En este ejemplo, tenemos a la ecuación del círculo dada en su forma estándar. Entonces, podemos obtener las coordenadas del centro y el radio comparándola con la ecuación:
$latex (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Entonces, vemos que $latex a=5$ y $latex b=-3$, por lo que el centro es $latex (5,~-3)$.
Para encontrar el radio, tenemos que sacar la raíz cuadrada de 16, lo cual es igual a 4, por lo que el radio es $latex r=4$.
EJERCICIO 2
¿Cuál es el centro y el radio de un círculo que tiene la ecuación $latex (x+7)^2+(y-4)^2+6=10$?
Solución
Este ejemplo es similar al anterior, con la diferencia que tenemos que simplificar la ecuación dada primero. Entonces, tenemos:
$latex (x+7)^2+(y-4)^2+6=10$
$latex (x+7)^2+(y-4)^2=4$
Ahora, la comparamos con la forma estándar:
$latex (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Entonces, tenemos $latex a=-7$ y $latex b=4$, por lo que el centro es $latex (5,~-3)$.
El radio es igual a $latex r=2$.
EJERCICIO 3
Encuentra el radio y el centro de un círculo que tiene la ecuación $latex x^2+y^2+2x-4y-4=0$.
Solución
En esta caso, tenemos a la ecuación del círculo en su forma general. Entonces, tenemos que empezar convirtiendo la ecuación a forma estándar.
Para esto, completamos el cuadrado tanto de x, como de y y tenemos:
$latex x^2+y^2+2x-4y-4=0$
$latex x^2+2x+y^2-4y-4=0$
$$(x+1)^2-1+(y-2)^2-4-4=0$$
$latex (x+1)^2+(y-2)^2=9$
Ahora que tenemos a la ecuación del círculo en su forma estándar, podemos ver fácilmente que el centro es $latex (-1, ~2)$ y su radio es $latex r=3$.
EJERCICIO 4
¿Cuáles son las coordenadas del centro y el radio del círculo con la ecuación $latex x^2+y^2-4x-2y+1=0$?
Solución
Para encontrar el radio y las coordenadas del centro, tenemos que encontrar la forma estándar de la ecuación del círculo. Entonces, completamos el cuadrado de ambas variables:
$latex x^2+y^2-4x-2y+1=0$
$latex x^2-4x+y^2-2y+1=0$
$$(x-2)^2-4+(y-1)^2-1+1=0$$
$latex (x-2)^2+(y-1)^2=4$
El centro del círculo es $latex (2, ~1)$ y su radio es $latex r=2$.
EJERCICIO 5
Encuentra el radio y el centro de un círculo que tiene la ecuación $latex x^2+y^2-2x-8y+8=0$.
Solución
Vamos a completar el cuadrado de ambas variables para encontrar la forma estándar de la ecuación del círculo dado:
$latex x^2+y^2-2x-8y+8=0$
$latex x^2-2x+y^2-8y+8=0$
$$(x-1)^2-1+(y-4)^2-16+8=0$$
$latex (x-1)^2+(y-4)^2=9$
Las coordenadas del centro del círculo son $latex (1, ~4)$ y su radio es $latex r=3$.
EJERCICIO 6
¿Cuál es el radio y el centro de un círculo representado por la ecuación $latex 9x^2+9y^2-12x+18y+4=0$?
Solución
Para simplificar la resolución de este problema, podemos dividir a toda la ecuación por 9. Entonces, tenemos:
$$ x^2+y^2-\frac{4}{3}x+2y+\frac{4}{9}=0$$
Reorganizando a la ecuación y completando el cuadrado de x y de y, tenemos:
$$ x^2-\frac{4}{3}x+y^2+2y+\frac{4}{9}=0$$
$$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9}+(y+1)^2-1+\frac{4}{9}=0$$
$$ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2+(y+1)^2=1$$
Las coordenadas del centro del círculo son $latex (\frac{2}{3},~-1)$ y el radio es 1.
Radio y centro de un círculo – Ejercicios para resolver
¿Cuáles son las coordenadas del centro del siguiente círculo? $$x^2+16x+y^2-10y+89=10$$
Escribe las coordenadas en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
