Completar el cuadrado – Ejercicios resueltos y para resolver

La técnica de completar el cuadrado es una técnica de factorización que nos permite convertir una expresión o ecuación cuadrática dada en la forma ax2+bx+c a la forma a(xh)2+k. Podemos usar esta técnica para simplificar el proceso de resolución de ecuaciones cuando tenemos ecuaciones cuadráticas complejas.

A continuación, veremos un resumen sobre la técnica de completar el cuadrado. Usaremos esta técnica para resolver algunos ejercicios de práctica.

ÁLGEBRA
Fórmula para completar el cuadrado fondo blanco

Relevante para

Aprender a completar el cuadrado con ejercicios.

Ver ejercicios

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Fórmula para completar el cuadrado fondo blanco

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Aprender a completar el cuadrado con ejercicios.

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Resumen de cómo completar el cuadrado

Completar el cuadrado consiste en convertir a una expresión cuadrática dada en la forma $latex ax^2+bx+c$ a la siguiente forma:

$latex a(x+p)^2+q$

en donde, p y q son constantes.

Podemos seguir los siguientes pasos para completar el cuadrado de cualquier expresión o ecuación cuadrática:

Paso 1: Dividimos a toda la expresión por a cuando a es diferente de 1. De este modo siempre obtendremos un término cuadrático con un coeficiente igual a 1:

$latex x^2+bx+c$

Paso 2: Tomamos al coeficiente de x (el coeficiente b) y lo dividimos por 2:

$$\left(\frac{b}{2}\right)$$

Paso 3: Tomamos la expresión del paso 2 y la elevamos al cuadrado:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Paso 4: Sumamos y restamos la expresión obtenida en el paso 3 a la expresión obtenida en el paso 1:

$$x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c$$

Paso 5: Usamos la identidad $latex x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$ para factorizar a la expresión:

$$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c$$

Paso 6: Multiplicamos a la expresión resultante del paso 5 por el número por el que dividimos en el paso 1.

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado

Podemos aplicar el método de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas fácilmente. Luego de completar el cuadrado y obtener una expresión en la forma $latex (x-h)^2+k$, podemos escribirla de la siguiente forma:

$latex (x-h)^2=-k$

Teniendo esta ecuación, podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados. Esto nos permitirá despejar la variable x fácilmente.


Completar el cuadrado – Ejercicios resueltos

El método de completar el cuadrado es aplicado para resolver los siguientes ejercicios. En algunos ejercicios, solo tendremos que completar el cuadrado y en otros, tendremos que resolver las ecuaciones cuadráticas.

EJERCICIO 1

Completa el cuadrado de la expresión $latex x^2+2x-5$.

Dado que el coeficiente del término cuadrático es igual a 1, no tenemos que dividir a la expresión por ningún número inicialmente.

Vemos que el coeficiente b es igual a 2. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{2}{2}\right)^2=1$$

Al sumar y restar este valor, tenemos:

$$x^2+2x-5=x^2+2x+1-1-5$$

Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:

$latex = (x+1)^2-1-5$

$latex = (x+1)^2-6$

EJERCICIO 2

Completa el cuadrado de la expresión $latex x^2+4x+10$.

No tenemos que aplicar el primer paso, ya que el coeficiente del término cuadrático es igual a 1.

Ahora, podemos ver que el coeficiente b es igual a 4. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$

$$=2^2$$

Cuando sumamos y restamos esta expresión, tenemos:

$$x^2+4x+10=x^2+4x+2^2-2^2+10$$

Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:

$latex = (x+2)^2-4+10$

$latex = (x+2)^2+6$

EJERCICIO 3

Completa el cuadrado de la expresión $latex 2x^2+6x+6$.

Aquí, la expresión tiene un término cuadrático con un coeficiente diferente de 1. Entonces, podemos dividir a toda la expresión por 2 para obtener lo siguiente

⇒ $latex x^2+3x+3$.

Dado que el coeficiente b igual a 3, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2$$

Al sumar y restar este valor, tenemos:

$$x^2+3x+3=x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+3$$

Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:

$latex = (x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+3$

$latex = (x+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}$

Dado que dividimos a la expresión por 2 inicialmente, multiplicamos el resultado por 2:

⇒  $latex 2(x+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}$

EJERCICIO 4

Resuelve la ecuación $latex x^2+4x-5=0$ usando el método de completar el cuadrado.

En esta ecuación, b es igual a 4. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$

$$=2^2$$

Sumado y restando este valor a la ecuación cuadrática, tenemos:

$$x^2+4x-5=x^2+4x+2^2-2^2-5$$

Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:

$latex = (x+2)^2-4-5$

$latex = (x+2)^2-9$

Ahora, podemos escribir a la ecuación de la siguiente manera:

⇒  $latex (x+2)^2=9$

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:

⇒  $latex x+2=\sqrt{9}$

⇒  $latex x+2=3$

⇒  $latex x=1$

EJERCICIO 5

Resuelve la ecuación $latex 2x^2-8x-8=0$ usando el método de completar el cuadrado.

Dividimos a la ecuación por 2 para obtener una ecuación en donde el coeficiente del término cuadrático es igual a 1:

$latex x^2-4x-4=0$

Ahora, vemos que el coeficiente b es igual a -4. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{-4}{2}\right)^2$$

$$=(-2)^2$$

Sumando y restando ese valor a la ecuación, tenemos:

$$x^2-4x-4=x^2-4x+(-2)^2-(-2)^2-4$$

Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:

$latex = (x-2)^2-4-4$

$latex = (x-2)^2-8$

Ahora, escribimos a la ecuación de la siguiente forma:

⇒  $latex (x-2)^2=8$

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:

⇒  $latex x-2=\sqrt{8}$

⇒  $latex x=2\pm \sqrt{8}$

EJERCICIO 6

Encuentra las soluciones de la ecuación $latex 2x^2+12x-14=0$ usando el método de completar el cuadrado.

Dividiendo a la ecuación por 2, podemos lograr que el coeficiente del término cuadrático sea igual a 1:

⇒ $latex x^2+6x-7=0$

Ahora, tenemos que el coeficiente b es igual a 6. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{6}{2}\right)^2$$

$$=3^2$$

Si es que sumamos y restamos este valor a la ecuación, tenemos:

$$x^2+6x-7=x^2+6x+3^2-3^2-7$$

Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:

$latex = (x+3)^2-9-7$

$latex = (x+3)^2-16$

Podemos escribir a la ecuación de la siguiente forma:

$latex (x+3)^2=16$

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:

⇒ $latex x+3=4$

⇒ $latex x=1$

EJERCICIO 7

Resuelve la ecuación cuadrática $latex 3x^2-12x-3=0$ usando el método de completar el cuadrado.

Empezamos dividiendo a la ecuación por 3 para lograr que el coeficiente del término cuadrático sea igual a 1:

⇒ $latex x^2-4x-1=0$

Vemos que el coeficiente b es igual a -4. Entonces, tenemos:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{-4}{2}\right)^2$$

$$=(-2)^2$$

Al sumar y restar este valor a la ecuación, tenemos:

$$x^2-4x-1=x^2-4x+(-2)^2-(-2)^2-1$$

Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:

$latex = (x-2)^2-4-1$

$latex = (x-2)^2-5$

Podemos escribir a la ecuación de la siguiente forma:

$latex (x-2)^2=5$

Podemos resolver la ecuación al sacar la raíz cuadrada de ambos lados:

⇒ $latex (x-2)=\sqrt{5}$

⇒ $latex x=2\pm \sqrt{5}$


Completar el cuadrado – Ejercicios para resolver

En los siguientes ejercicios, tendrás que completar el cuadrado de las expresiones cuadráticas y tendrás que resolver las ecuaciones usando el método de completar el cuadrado.

Encuentra las soluciones a la ecuación $latex x^2-4x-1=0$ usando el método de completar el cuadrado.

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Completa el cuadrado de la expresión $latex x^2-3x+1$

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¿Cuál la solución a la ecuación $latex x^2+x-1=0$ usando el método de completar el cuadrado?

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Encuentra la solución a la ecuación $latex x^2-8x-3=0$ usando el método de completar el cuadrado.

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Resuelve la ecuación $latex 3x^2-6x+1=0$ usando el método de completar el cuadrado.

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Véase también

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