Para resolver ecuaciones cuadráticas con el método de completar el cuadrado, tenemos que convertir a una ecuación de la forma ax2+bx+c a la forma a(x–h)2=k. Luego, podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados. Esto hará que podamos resolver para x fácilmente.
A continuación, aprenderemos a resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado. Veremos un proceso paso a paso y lo usaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.
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Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado – Método paso a paso
Para resolver ecuaciones cuadráticas a través del método de completar el cuadrado, podemos seguir los siguientes pasos asumiendo que empezamos con una ecuación escrita en la forma $latex ax^2+bx+c=0$.
Paso 1: Cuando el coeficiente del término cuadrático (a) es diferente de 1, dividimos a la ecuación cuadrática por a de modo que obtengamos una ecuación con un valor de a igual a 1:
$latex x^2+bx+c=0$
Paso 2: Tomamos al coeficiente b y lo dividimos por 2:
$$\left(\frac{b}{2}\right)$$
Paso 3: Tomamos la expresión del paso 2 y la elevamos al cuadrado:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$
Paso 4: Sumamos y restamos la expresión obtenida en el paso 3 a la ecuación obtenida en el paso 1:
$$x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0$$
Paso 5: Aplicamos la identidad $latex x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$ para factorizar la ecuación cuadrática:
$$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0$$
Paso 6: Multiplicamos a la expresión resultante del paso 5 por el número por el que dividimos en el paso 1 y simplificamos para obtener una ecuación de la siguiente forma:
$latex (x-h)^2+k=0$
Paso 7: Escribimos a la ecuación de la siguiente forma:
$latex (x-h)^2=-k$
Paso 8: Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:
$latex x-h=\sqrt{-k}$
Paso 9: Las soluciones de la ecuación cuadrática son:
$latex x=h\pm \sqrt{-k}$
Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado – Ejercicios resueltos
La técnica de completar el cuadrado es usada para resolver los siguientes ejercicios. Los pasos vistos arriba son aplicados pero en una forma más simplificada.
EJERCICIO 1
Completa el cuadrado de la expresión $latex x^2+2x-3=0$ y resuelve la ecuación.
Solución
Dado que el valor del coeficiente a es igual a 1, no tenemos que dividir a la ecuación por ningún número inicialmente.
El coeficiente b es igual a 2. Entonces, tenemos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{2}{2}\right)^2=1$$
Al sumar y restar ese valor, tenemos:
$$x^2+2x-3=x^2+2x+1-1-3$$
Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:
$latex = (x+1)^2-1-3$
$latex = (x+1)^2-4$
Ahora, podemos escribimos a la ecuación de la siguiente forma:
$latex (x+1)^2=4$
Y sacamos la raíz cuadrada de ambos lados:
⇒ $latex x+1=2~~$ o $latex ~~x+1=-2$
Resolviendo, tenemos:
⇒ $latex x=1~~$ o $latex ~~x=-3$
EJERCICIO 2
Resuelve la ecuación $latex x^2+4x-6=0$ usando el método de completar el cuadrado.
Solución
No tenemos que aplicar el primer paso, ya que el coeficiente del término es igual a 1.
Aquí, el coeficiente b es igual a 4. Entonces, tenemos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$
$$=2^2$$
Al sumar y restar ese valor a la ecuación cuadrática, tenemos:
$$x^2+4x-6=x^2+4x+2^2-2^2-6$$
Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:
$latex = (x+2)^2-4-6$
$latex = (x+2)^2-10$
Entonces, tenemos la ecuación:
$latex (x+2)^2=10$
Al sacar la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:
⇒ $latex x+2=\sqrt{10}$
Resolviendo, tenemos:
⇒ $latex x=-2\pm \sqrt{10}$
EJERCICIO 3
Resuelve la ecuación cuadrática $latex x^2+6x-1=0$ al completar el cuadrado.
Solución
En esta ecuación, tenemos un coeficiente b igual a 3, entonces tenemos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{6}{2}\right)^2$$
$$=3^2$$
Sumando y restando ese valor a la expresión cuadrática, tenemos:
$$x^2+6x-1=x^2+6x+3^2-3^2-1$$
Completando el cuadrado y simplificando, tenemos:
$latex = (x+3)^2-9-1$
$latex = (x+3)^2-10$
Para resolver la ecuación, la escribimos de la siguiente forma:
$latex (x+3)^2=10$
Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:
⇒ $latex x+3=\sqrt{10}$
Resolviendo, tenemos:
⇒ $latex x=-3\pm \sqrt{10}$
EJERCICIO 4
Completa el cuadrado de la expresión $latex 2x^2+8x-10=0$ y resuelve la ecuación.
Solución
Empezamos dividiendo a la expresión por 2 para lograr que el coeficiente del término cuadrático sea igual a 1:
⇒ $latex x^2+4x-5=0$
Ahora, el coeficiente b es igual a 4. Entonces, tenemos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$
$$=2^2$$
Sumando y restando a la expresión cuadrática, tenemos:
$$x^2+4x-5=x^2+4x+2^2-2^2-5$$
Completamos el cuadrado y simplificamos
$latex = (x+2)^2-4-5$
$latex = (x+2)^2-9$
Ahora, escribimos a la ecuación así:
⇒ $latex (x+2)^2=9$
Y sacamos la raíz cuadrada de ambos lados:
⇒ $latex x+2=3~~$ o $latex ~~x+2=-3$
Resolviendo, tenemos:
⇒ $latex x=1~~$ o $latex ~~x=-5$
EJERCICIO 5
Usa el método de completar el cuadrado para resolver la ecuación $latex x^2-3x+1=0$
Solución
El coeficiente b en esta ecuación es igual a -3. Entonces, tenemos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{-3}{2}\right)^2$$
Sumado y restando esta expresión a la ecuación cuadrática, tenemos:
$$x^2-3x+1=x^2-2x+\left(\frac{-3}{2}\right)^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$$
Al completar el cuadrado y simplificar, tenemos:
$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$
$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$
Ahora, podemos escribimos a la ecuación de la siguiente forma:
$latex ⇒ (x-\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$
Al sacar la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:
⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}}$
⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
Resolviendo, tenemos:
⇒ $latex x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$
EJERCICIO 6
Encuentra las soluciones a la ecuación $latex x^2+6x-7=0$ usando el método de completar el cuadrado.
Solución
En esta ecuación, el coeficiente b es igual a 6. Entonces, tenemos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{6}{2}\right)^2$$
$$=3^2$$
Sumando esa expresión a la ecuación cuadrática, tenemos:
$$x^2+6x-7=x^2+6x+3^2-3^2-7$$
Al completar el cuadrado y simplificar, tenemos:
$latex = (x+3)^2-9-7$
$latex = (x+3)^2-16$
Ahora, podemos escribir a la ecuación de la siguiente forma:
$latex (x+3)^2=16$
Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados para resolver:
$latex x+3=4~~$ o $latex ~~x+3=-4$
⇒ $latex x=1~~ $ o $latex ~~x=-7$
EJERCICIO 7
Resuelve la ecuación cuadrática $latex 3x^2+15x+15=0$ usando el método de completar el cuadrado.
Solución
Empezamos dividiendo a la ecuación por 3 para lograr que el coeficiente del término cuadrático sea igual a 1:
$latex x^2+3x+3=0$
Aquí, el coeficiente b es igual a 3. Entonces, tenemos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2$$
Sumando y restando este valor a la expresión cuadrática, tenemos:
$$x^2+3x+3=x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+3$$
Al completar el cuadrado y simplificar, tenemos:
$latex = (x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+3$
$latex = (x+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}$
Ahora, escribimos de la siguiente manera:
$latex = (x+\frac{3}{2})^2=-\frac{3}{4}$
Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:
$latex (x+\frac{3}{2})=\sqrt{-\frac{3}{4}}$
Dado que $latex \sqrt{-\frac{3}{4}}$ no es real, la ecuación no tiene raíces reales.
Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado – Ejercicios para resolver
Usa la técnica de completar el cuadrado para resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas. Haz clic en «Verificar» para comprobar que obtuviste la respuesta correcta.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
