Intersección de dos circunferencias – Pasos y Ejemplos

Para encontrar los puntos de intersección de dos circunferencias, empezamos encontrando la ecuación de la cuerda común. Esto es logrado al restar las ecuaciones de las circunferencias para obtener una ecuación lineal. Luego, sustituimos esta ecuación en una de las ecuaciones de las circunferencias y resolvimos.

A continuación, conoceremos el proceso que podemos usar para encontrar los puntos de intersección de dos circunferencias. Luego, resolveremos algunos ejemplos de práctica.

GEOMETRÍA
Intersección de dos circunferencias con cuerda común

Relevante para

Aprender a encontrar los puntos de intersección de dos circunferencias.

Ver pasos

GEOMETRÍA
Intersección de dos circunferencias con cuerda común

Relevante para

Aprender a encontrar los puntos de intersección de dos circunferencias.

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Pasos para encontrar los puntos de intersección de dos circunferencias

Dos circunferencias pueden intersecar en dos puntos diferentes, como se muestra en el siguiente diagrama:

Intersección de dos circunferencias con cuerda común

Las coordenadas de los puntos de intersección, P y Q, satisfacen las ecuaciones de ambas circunferencias. Además, las coordenadas de P y Q también satisfacen la ecuación de la cuerda común.

Considerando esto, podemos encontrar las coordenadas de los puntos de intersección de dos circunferencias, siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1: Encontrar la ecuación de la cuerda común.

Esta ecuación es una ecuación lineal encontrada al restar a las ecuaciones de las circunferencias, de modo que eliminemos los términos cuadráticos.

Paso 2: Resolver la ecuación del paso 1 para una de las variables.

Paso 3: Sustituir la ecuación del paso 2 en una de las ecuaciones de las circunferencias. Al resolver esto, encontraremos ambas coordenadas en x o en y de los puntos.

Paso 4: Usar las coordenadas del paso 3 en cualquiera de las ecuaciones de las circunferencias para encontrar las coordenadas faltantes.


Ejemplos resueltos de la intersección de dos circunferencias

Los pasos vistos arriba son aplicados para encontrar las coordenadas de los puntos de intersección de dos circunferencias en cada uno de los ejemplos a seguir.

EJEMPLO 1

¿Cuáles son las coordenadas de los puntos de intersección de las circunferencias con las ecuaciones $latex x^2+y^2-3x+5y-4=0$ y $latex x^2+y^2-x+4y-7=0$?

Paso 1: Restando las ecuaciones de las circunferencias, podemos encontrar la ecuación de la cuerda común:

$latex x^2+y^2-3x+5y-4=0$

$latex x^2+y^2-x+4y-7=0~(-$

______________________

$latex -2x+y+3=0$

Paso 2: Resolviendo la ecuación para y, tenemos:

$latex y=2x-3$

Paso 3: Sustituyendo la ecuación del paso 2 en la ecuación de la segunda circunferencia, tenemos:

$latex x^2+y^2-x+4y-7=0$

$$x^2+(2x-3)^2-x+4(2x-3)-7=0$$

$latex 5x^2-5x-10=0$

$latex 5(x-2)(x+1)=0$

Resolviendo, tenemos $latex x=2$ y $latex x=-1$.

Paso 4: Cuando $latex x=2$, tenemos $latex y=1$ y cuando $latex x=-1$, tenemos $latex y=-5$.

Entonces, los puntos de intersección de las circunferencias son $latex (-1,~-5)$ y $latex (2, 1)$.

EJEMPLO 2

Determina las coordenadas de los puntos de intersección de las circunferencias con las ecuaciones $latex x^2+y^2-5x+3y-4=0$ y $latex x^2+y^2-4x+6y-12=0$.

Paso 1: Al restar las ecuaciones de las circunferencias, tenemos:

$latex x^2+y^2-5x+3y-4=0$

$latex x^2+y^2-4x+6y-12=0~(-$

______________________

$latex -x-3y+8=0$

Paso 2: Resolviendo la ecuación para x, tenemos:

$latex x=-3y+8$

Paso 3: Sustituyendo la ecuación del paso 2 en la ecuación de la primera circunferencia, tenemos:

$latex x^2+y^2-5x+3y-4=0$

$$(-3y+8)^2+y^2-5(-3y+8)+3y-4=0$$

$latex 10y^2-30y+20=0$

$latex 10(y-2)(y-1)=0$

Resolviendo, tenemos $latex y=2$ y $latex y=1$.

Paso 4: Cuando $latex y=2$, tenemos $latex x=2$ y cuando $latex y=1$, tenemos $latex x=5$.

Entonces, los puntos de intersección de las circunferencias son $latex (2, ~2)$ y $latex (5,~ 1)$.

EJEMPLO 3

¿Cuáles son los puntos de intersección de las circunferencias $latex x^2+y^2-4x+3y+5=0$ y $latex x^2+y^2-6x+5y+9=0$?

Paso 1: Vamos a encontrar la ecuación de la cuerda común al restar las ecuaciones de las circunferencias:

$latex x^2+y^2-4x+3y+5=0$

$latex x^2+y^2-6x+5y+9=0~(-$

______________________

$latex 2x-2y-4=0$

Paso 2: Podemos simplificar la ecuación obtenida al dividir por 2, y al resolver para x, tenemos:

$latex x-y-2=0$

$latex x=y-2$

Paso 3: Vamos a sustituir la ecuación del paso 2 en la ecuación de la primera circunferencia. Entonces, tenemos:

$latex x^2+y^2-4x+3y+5=0$

$$(y-2)^2+y^2+4(y-2)+3y+5=0$$

$latex 2y^2+3y+1=0$

$latex (2y+1)(y+1)=0$

Resolviendo, tenemos $latex y=-\frac{1}{2}$ y $latex y=-1$.

Paso 4: Cuando $latex y=-\frac{1}{2}$, tenemos $latex x=1~\frac{1}{2}$ y cuando $latex y=-1$, tenemos $latex x=1$.

Entonces, los puntos de intersección de las circunferencias son $latex (1 ~\frac{1}{2},~-\frac{1}{2})$ y $latex (1, -1)$.

EJEMPLO 4

Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de las circunferencias $latex x^2+y^2+3x-2y-7=0$ y $latex x^2+y^2+x-y-8=0$.

Paso 1: Restando las ecuaciones de las circunferencias, tenemos:

$latex x^2+y^2+3x-2y-7=0$

$latex x^2+y^2+x-y-8=0~(-$

______________________

$latex 2x-y+1=0$

Paso 2: Resolviendo la ecuación para y, tenemos:

$latex y=2x+1$

Paso 3: Usando la ecuación del paso 2 en la ecuación de la segunda circunferencia, tenemos:

$latex x^2+y^2+x-y-8=0$

$$x^2+(2x+1)^2+x-(2x+1)-8=0$$

$latex 5x^2+3x-8=0$

$latex (5x+8)(x-1)=0$

Resolviendo, tenemos $latex x=-\frac{8}{3}$ y $latex x=1$.

Paso 4: Cuando $latex x=-\frac{8}{3}$, tenemos $latex y=-\frac{11}{5}$ y cuando $latex x=1$, tenemos $latex y=3$.

Entonces, los puntos de intersección de las circunferencias son $latex (-\frac{8}{3},~\frac{11}{5})$ y $latex (1, 3)$.

EJEMPLO 5

Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de las circunferencias con las ecuaciones $latex x^2+y^2-3x+13y-48=0$ y $latex x^2+y^2+x-3y=0$.

Paso 1: Encontramos la ecuación de la cuerda común al restar a las ecuaciones de las circunferencias:

$latex x^2+y^2-3x+13y-48=0$

$latex x^2+y^2+x-3y=0~~(-$

______________________

$latex -4x+16y-48=0$

Paso 2: Podemos simplificar la ecuación obtenida al dividir por 4, y al resolver para x, tenemos:

$latex -x+4y-12=0$

$latex x=4y-12$

Paso 3: Sustituyendo la ecuación del paso 2 en la ecuación de la segunda circunferencia, tenemos:

$latex x^2+y^2+x-3y=0$

$$(4y-12)^2+y^2+(4y-12)-3y=0$$

$latex 17y^2-95y+132=0$

$latex (17y-44)(y-3)=0$

Resolviendo, tenemos $latex y=\frac{44}{17}$ y $latex y=3$.

Paso 4: Cuando $latex y=\frac{44}{17}$, tenemos $latex x=-\frac{28}{17}$ y cuando $latex y=3$, tenemos $latex x=0$.

Entonces, los puntos de intersección de las circunferencias son $latex (-\frac{28}{17},~\frac{44}{17})$ y $latex (0, 3)$.


Intersección de dos circunferencias – Ejercicios para resolver

Aplica todo lo aprendido para encontrar los puntos de intersección de las circunferencias dadas.

Encuentra los puntos de intersección de las circunferencias $latex x^2+y^2-6y+4=0$ y $latex x^2+y^2+6x-4y+8=0$.

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¿Cuáles son los puntos de intersección de las circunferencias $latex x^2+y^2-2x-8y+12=0$ y $latex x^2+y^2-4x-6y+12=0$?

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Encuentra los puntos de intersección de las circunferencias $latex x^2+y^2-2x-2y-6=0$ y $latex x^2+y^2-2x+6y+2=0$.

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¿Cuáles son los puntos de intersección de las circunferencias $latex x^2+y^2+4x-2y-5=0$ y $latex x^2+y^2-2x+4y-11=0$?

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Véase también

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