Intersección de dos circunferencias – Ejercicios resueltos

Paso 1: Restando las ecuaciones de las circunferencias, podemos encontrar la ecuación de la cuerda común:

$latex x^2+y^2-3x+5y-4=0$

$latex x^2+y^2-x+4y-7=0~(-$

______________________

$latex -2x+y+3=0$

Paso 2: Resolviendo la ecuación para y, tenemos:

$latex y=2x-3$

Paso 3: Sustituyendo la ecuación del paso 2 en la ecuación de la segunda circunferencia, tenemos:

$latex x^2+y^2-x+4y-7=0$

$$x^2+(2x-3)^2-x+4(2x-3)-7=0$$

$latex 5x^2-5x-10=0$

$latex 5(x-2)(x+1)=0$

Resolviendo, tenemos $latex x=2$ y $latex x=-1$.

Paso 4: Cuando $latex x=2$, tenemos $latex y=1$ y cuando $latex x=-1$, tenemos $latex y=-5$.

Entonces, los puntos de intersección de las circunferencias son $latex (-1,~-5)$ y $latex (2, 1)$.

Paso 1: Al restar las ecuaciones de las circunferencias, tenemos:

$latex x^2+y^2-5x+3y-4=0$

$latex x^2+y^2-4x+6y-12=0~(-$

______________________

$latex -x-3y+8=0$

Paso 2: Resolviendo la ecuación para x, tenemos:

$latex x=-3y+8$

Paso 3: Sustituyendo la ecuación del paso 2 en la ecuación de la primera circunferencia, tenemos:

$latex x^2+y^2-5x+3y-4=0$

$$(-3y+8)^2+y^2-5(-3y+8)+3y-4=0$$

$latex 10y^2-30y+20=0$

$latex 10(y-2)(y-1)=0$

Resolviendo, tenemos $latex y=2$ y $latex y=1$.

Paso 4: Cuando $latex y=2$, tenemos $latex x=2$ y cuando $latex y=1$, tenemos $latex x=5$.

Entonces, los puntos de intersección de las circunferencias son $latex (2, ~2)$ y $latex (5,~ 1)$.

Paso 1: Vamos a encontrar la ecuación de la cuerda común al restar las ecuaciones de las circunferencias:

$latex x^2+y^2-4x+3y+5=0$

$latex x^2+y^2-6x+5y+9=0~(-$

______________________

$latex 2x-2y-4=0$

Paso 2: Podemos simplificar la ecuación obtenida al dividir por 2, y al resolver para x, tenemos:

$latex x-y-2=0$

$latex x=y-2$

Paso 3: Vamos a sustituir la ecuación del paso 2 en la ecuación de la primera circunferencia. Entonces, tenemos:

$latex x^2+y^2-4x+3y+5=0$

$$(y-2)^2+y^2+4(y-2)+3y+5=0$$

$latex 2y^2+3y+1=0$

$latex (2y+1)(y+1)=0$

Resolviendo, tenemos $latex y=-\frac{1}{2}$ y $latex y=-1$.

Paso 4: Cuando $latex y=-\frac{1}{2}$, tenemos $latex x=1~\frac{1}{2}$ y cuando $latex y=-1$, tenemos $latex x=1$.

Entonces, los puntos de intersección de las circunferencias son $latex (1 ~\frac{1}{2},~-\frac{1}{2})$ y $latex (1, -1)$.

Paso 1: Restando las ecuaciones de las circunferencias, tenemos:

$latex x^2+y^2+3x-2y-7=0$

$latex x^2+y^2+x-y-8=0~(-$

______________________

$latex 2x-y+1=0$

Paso 2: Resolviendo la ecuación para y, tenemos:

$latex y=2x+1$

Paso 3: Usando la ecuación del paso 2 en la ecuación de la segunda circunferencia, tenemos:

$latex x^2+y^2+x-y-8=0$

$$x^2+(2x+1)^2+x-(2x+1)-8=0$$

$latex 5x^2+3x-8=0$

$latex (5x+8)(x-1)=0$

Resolviendo, tenemos $latex x=-\frac{8}{3}$ y $latex x=1$.

Paso 4: Cuando $latex x=-\frac{8}{3}$, tenemos $latex y=-\frac{11}{5}$ y cuando $latex x=1$, tenemos $latex y=3$.

Entonces, los puntos de intersección de las circunferencias son $latex (-\frac{8}{3},~\frac{11}{5})$ y $latex (1, 3)$.

Paso 1: Encontramos la ecuación de la cuerda común al restar a las ecuaciones de las circunferencias:

$latex x^2+y^2-3x+13y-48=0$

$latex x^2+y^2+x-3y=0~~(-$

______________________

$latex -4x+16y-48=0$

Paso 2: Podemos simplificar la ecuación obtenida al dividir por 4, y al resolver para x, tenemos:

$latex -x+4y-12=0$

$latex x=4y-12$

Paso 3: Sustituyendo la ecuación del paso 2 en la ecuación de la segunda circunferencia, tenemos:

$latex x^2+y^2+x-3y=0$

$$(4y-12)^2+y^2+(4y-12)-3y=0$$

$latex 17y^2-95y+132=0$

$latex (17y-44)(y-3)=0$

Resolviendo, tenemos $latex y=\frac{44}{17}$ y $latex y=3$.

Paso 4: Cuando $latex y=\frac{44}{17}$, tenemos $latex x=-\frac{28}{17}$ y cuando $latex y=3$, tenemos $latex x=0$.

Entonces, los puntos de intersección de las circunferencias son $latex (-\frac{28}{17},~\frac{44}{17})$ y $latex (0, 3)$.