Las circunferencias son definidas como un conjunto de puntos que se encuentran a una distancia constante desde un punto fijo. El punto fijo es llamado el centro, mientras que la distancia constante es llamada el radio. Podemos definir a una circunferencia usando tres ecuaciones dependiendo de si su vértice se ubica en el origen o afuera del origen. Además, podemos reescribir a estas ecuaciones en su forma general.

A continuación, veremos las diferentes maneras de escribir a ecuaciones de circunferencias junto con algunos ejemplos.

PRECÁLCULO
ecuacion de la circunferencia en su forma general

Relevante para

Conocer las ecuaciones generales de la circunferencia.

Ver ecuaciones

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ecuacion de la circunferencia en su forma general

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Circunferencia con centro en el origen

Podemos usar el teorema de Pitágoras para derivar una ecuación para las circunferencias centradas en el origen. Trazamos una circunferencia en el plano cartesiano junto con un triángulo rectángulo:

El centro de esta circunferencia es (0, 0). Las coordenadas (x, y) representan a un punto general que es parte de la circunferencia. La coordenada en x del punto forma a la base del triángulo rectángulo y la coordenada en y forma a la altura del triángulo.

Además, la hipotenusa del triángulo es formada por el radio de la circunferencia. Usando el teorema de Pitágoras, podemos escribir la siguiente ecuación:

{{x}^2}+{{y}^2}={{r}^2}

Esta ecuación representa a una circunferencia que está centrada en el origen, en donde r es el radio y (x, y) son las coordenadas de un punto que se ubica en la circunferencia.

EJEMPLO 1

  • ¿Cuál es la ecuación de una circunferencia que está centrada en el origen y tiene un radio de 8?

Solución: Usamos la ecuación obtenida con el radio r=8. Entonces, tenemos:

{{x}^2}+{{y}^2}={{r}^2}

{{x}^2}+{{y}^2}={{8}^2}

{{x}^2}+{{y}^2}=64

EJEMPLO 2

  • ¿Cuál es la ecuación de una circunferencia que está centrada en el origen y pasa a través del punto (3, 5)?

Solución: Dado que el punto (3, 5) es parte de la circunferencia, tenemos las coordenadas x=3 y y=5. Entonces, reemplazamos a estos valores en la ecuación de la circunferencia y encontramos el radio:

{{x}^2}+{{y}^2}={{r}^2}

{{3}^2}+{{5}^2}={{r}^2}

9+25={{r}^2}

{{r}^2}=36

Ahora, usamos este valor en la ecuación general para obtener la ecuación para esta circunferencia:

{{x}^2}+{{y}^2}={{r}^2}

{{x}^2}+{{y}^2}=36


Circunferencia con centro fuera del origen

Encontramos la ecuación de una circunferencia que no está centrada en el origen al usar la ecuación de una circunferencia centrada en el origen y aplicar traslaciones verticales y horizontales.

Si es que reescribimos a la ecuación obtenida arriba usando el centro, tendríamos {{(x-0)}^2}+{{(y-0)}^2}={{r}^2}.

Ahora, miremos la siguiente circunferencia:

diagrama de circunferencia con centro y radio

Esta circunferencia tiene el centro en (h, k). Entonces, aplicando la traslación de h unidades en el eje x y k unidades en el eje y, tenemos:

{{(x-h)}^2}+{{(y-k)}^2}={{r}^2}

en donde r es el radio, (x, y) son las coordenadas de los puntos en la circunferencia y (h, k) representa al centro de la circunferencia.

EJEMPLO 1

  • ¿Cuál es el radio y el centro de la circunferencia {{(x-4)}^2}+{{(x-5)}^2}=16?

Solución: Sabemos que la ecuación de una circunferencia es {{(x-h)}^2}+{{(y-k)}^2}={{r}^2}. En esta ecuación, el centro es (h, k) y el radio es r. Comparando esta ecuación con la ecuación dada, tenemos:

{{r}^2}=16

r=4

h=4

k=5

Entonces, el centro de la circunferencia es (4, 5) y el radio es 4.

EJEMPLO 2

  • Determina la ecuación de la circunferencia que tiene un radio de 8 unidades y el centro en (-2, 5).

Solución: Tenemos los datos h=-2, k=5 y r=8. Reemplazamos a estos datos en la ecuación general {{(x-h)}^2}+{{(y-k)}^2}={{r}^2}. Entonces, tenemos:

{{(x-h)}^2}+{{(y-k)}^2}={{r}^2}

{{(x-(-2))}^2}+{{(y-5)}^2}={{8}^2}

{{(x+2)}^2}+{{(y-5)}^2}=64

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Circunferencia escrita en su forma general

Podemos expandir a la ecuación {{(x-h)}^2}+{{(y-k)}^2}={{r}^2} para obtener:

{{x}^2}+{{y}^2}-2hx-2ky+{{h}^2}+{{k}^2}-{{r}^2}=0

Ahora, podemos realizar las sustituciones A=-2h, B=-2k, C={{h}^2}+{{k}^2}-{{r}^2}. Entonces, tenemos:

{{x}^2}+{{y}^2}+Ax+Bx+C=0

Esta es la ecuación de la circunferencia escrita en su forma general. Usando las siguientes sustituciones, podemos determinar el radio y las coordenadas del centro:

A=-2h   B=-2k   C={{h}^2}+{{k}^2}-{{r}^2}

Resolvemos estas expresiones para h, k y y tenemos:

h=-\frac{A}{2}

k=-\frac{B}{2}

{{r}^2}={{h}^2}+{{k}^2}-C

{{r}^2}={{(-\frac{A}{2})}^2}+{{(-\frac{B}{2})}^2}-C

{{r}^2}=\frac{{{A}^2}+{{B}^2}-4C}{4}

Dado que en la ecuación original el centro de la circunferencia es (h, k), sabemos que el centro de la circunferencia en su forma general es (-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}). Además, el radio está dado por r=\sqrt{\frac{{{A}^2}+{{B}^2}-4C}{4}}.

EJEMPLO 1

  • ¿Cuál es el centro y el radio de la circunferencia {{x}^2}+{{y}^2}-2x+4y-4=0?

Solución: El centro de una circunferencia en su forma general está dado por:

(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})=(-\frac{-2}{2}, -\frac{4}{2})=(1, -2)

El radio está dado por:

r=\sqrt{\frac{{{A}^2}+{{B}^2}-4C}{4}}

=\sqrt{\frac{{{(-2)}^2}+{{4}^2}-4(-4)}{4}}

=\sqrt{\frac{4+16+16}{4}}

=\sqrt{\frac{36}{4}}

=\frac{6}{2}=3

El centro de la circunferencia es (1, -2) y el radio es 3.

EJEMPLO 2

  • Determina la ecuación de la circunferencia que tiene un centro en (3, -2) y un radio de 4.

Solución: Usamos las expresiones dadas arriba para encontrar las constantes A, B C:

A=-2h=-2(3)=-6

B=-2k=-2(-2)=4

C={{h}^2}+{{k}^2}-{{r}^2}

C={{3}^2}+{{(-2)}^2}-{{4}^2}

C=9+4-16=-3

Sustituimos a estos valores en la ecuación general:

{{x}^2}+{{y}^2}+Ax+Bx+C=0

{{x}^2}+{{y}^2}-6x+4x-3=0


Véase también

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